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7. 某校科技小组在一次野外考察中遇到一片湿地，为了安全、迅速地通过这片湿地，他们沿着前进路线铺了若干块木板，构筑成一条临时便道. 每块木板对地面的压强 $p(\mathrm{Pa})$ 是木板面积 $S(\mathrm{m}^2)$ 的反比例函数，其图象如图所示.
（1）求 $p$ 关于 $S$ 的函数表达式.
（2）当 $S=0.25$ 时，求每块木板对地面的压强.
（3）当 $1\,000＜p＜4\,000$ 时，求 $S$ 的取值范围.
（1）求 $p$ 关于 $S$ 的函数表达式.
（2）当 $S=0.25$ 时，求每块木板对地面的压强.
（3）当 $1\,000＜p＜4\,000$ 时，求 $S$ 的取值范围.
答案
（1）设$p=\frac{k}{S}(S＞0)$.$\because$ 点$(0.1,1\,000)$在这个函数的图象上，$\therefore k=100$.$\therefore p$关于$S$的函数表达式为$p=\frac{100}{S}(S＞0)$.
（2）当$S=0.25$时，$p=\frac{100}{0.25}=400$.
（3）令$p=1\,000$，则$S=\frac{100}{1\,000}=0.1$；令$p=4\,000$，则$S=\frac{100}{4\,000}=0.025$.$\therefore$ 当$1\,000＜p＜4\,000$时，$0.025＜S＜0.1$.
（2）当$S=0.25$时，$p=\frac{100}{0.25}=400$.
（3）令$p=1\,000$，则$S=\frac{100}{1\,000}=0.1$；令$p=4\,000$，则$S=\frac{100}{4\,000}=0.025$.$\therefore$ 当$1\,000＜p＜4\,000$时，$0.025＜S＜0.1$.
解析
【分析】
这是一道反比例函数的实际应用类题目，解题思路可以按三步梳理：
1. 第一问已知p是S的反比例函数，先设出反比例函数的标准形式$p=\frac{k}{S}$，再从图像中提取已知点$(0.1,1000)$，将点代入解析式求出待定系数k，同时结合面积的实际意义确定自变量S的取值范围为S＞0。
2. 第二问属于已知自变量求函数值的基础计算，直接把S=0.25代入已经求出的函数表达式，即可算出对应的压强p。
3. 第三问已知p的取值范围求S的范围，由于该反比例函数的k＞0，在S＞0的区间内p随S的增大而减小，我们先分别算出p取两个边界值1000和4000时对应的S值，再结合函数的增减性，就能推导出S的完整取值范围。
【解析】
（1）设p关于S的反比例函数表达式为$p=\frac{k}{S}(S＞0)$，
由图像可知函数经过点$(0.1,1000)$，将该点代入表达式：
$1000=\frac{k}{0.1}$，解得$k=1000×0.1=100$，
因此p关于S的函数表达式为$p=\frac{100}{S}(S＞0)$。
（2）将$S=0.25$代入$p=\frac{100}{S}$，可得：
$p=\frac{100}{0.25}=400$，
即此时每块木板对地面的压强为400Pa。
（3）对于$p=\frac{100}{S}$，k=100＞0，当S＞0时p随S的增大而减小：
令$p=1000$，代入得$S=\frac{100}{1000}=0.1$；
令$p=4000$，代入得$S=\frac{100}{4000}=0.025$；
因此当$1000＜p＜4000$时，S的取值范围是$0.025＜S＜0.1$。
【答案】
（1）$p=\frac{100}{S}(S＞0)$；（2）400Pa；（3）$0.025＜S＜0.1$
【知识点】
待定系数法求反比例函数，反比例函数增减性，反比例函数实际应用
【点评】
本题是结合压强场景的反比例函数基础应用题，核心考察待定系数法求反比例解析式的常规方法，同时考察利用反比例函数性质求解取值范围的能力，解题时要注意实际问题中自变量的隐含限制，不要忽略面积S＞0的条件。
【难度系数】
0.8
这是一道反比例函数的实际应用类题目，解题思路可以按三步梳理：
1. 第一问已知p是S的反比例函数，先设出反比例函数的标准形式$p=\frac{k}{S}$，再从图像中提取已知点$(0.1,1000)$，将点代入解析式求出待定系数k，同时结合面积的实际意义确定自变量S的取值范围为S＞0。
2. 第二问属于已知自变量求函数值的基础计算，直接把S=0.25代入已经求出的函数表达式，即可算出对应的压强p。
3. 第三问已知p的取值范围求S的范围，由于该反比例函数的k＞0，在S＞0的区间内p随S的增大而减小，我们先分别算出p取两个边界值1000和4000时对应的S值，再结合函数的增减性，就能推导出S的完整取值范围。
【解析】
（1）设p关于S的反比例函数表达式为$p=\frac{k}{S}(S＞0)$，
由图像可知函数经过点$(0.1,1000)$，将该点代入表达式：
$1000=\frac{k}{0.1}$，解得$k=1000×0.1=100$，
因此p关于S的函数表达式为$p=\frac{100}{S}(S＞0)$。
（2）将$S=0.25$代入$p=\frac{100}{S}$，可得：
$p=\frac{100}{0.25}=400$，
即此时每块木板对地面的压强为400Pa。
（3）对于$p=\frac{100}{S}$，k=100＞0，当S＞0时p随S的增大而减小：
令$p=1000$，代入得$S=\frac{100}{1000}=0.1$；
令$p=4000$，代入得$S=\frac{100}{4000}=0.025$；
因此当$1000＜p＜4000$时，S的取值范围是$0.025＜S＜0.1$。
【答案】
（1）$p=\frac{100}{S}(S＞0)$；（2）400Pa；（3）$0.025＜S＜0.1$
【知识点】
待定系数法求反比例函数，反比例函数增减性，反比例函数实际应用
【点评】
本题是结合压强场景的反比例函数基础应用题，核心考察待定系数法求反比例解析式的常规方法，同时考察利用反比例函数性质求解取值范围的能力，解题时要注意实际问题中自变量的隐含限制，不要忽略面积S＞0的条件。
【难度系数】
0.8
8. 新情境 学科融合 杠杆原理在生活中有着广泛的应用(杠杆原理:阻力×阻力臂=动力×动力臂),小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”(如图①).制作方法如下:
第一步:在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度(单位长度为1 cm),确定支点O,并用细麻绳固定,在支点O左侧2 cm的点A处固定一个金属吊钩,作为秤钩.
第二步:取一个质量为0.5 kg的金属物体作为秤砣.设重物的质量为x kg,OB的长为y cm.
(1)如图①,把重物挂在秤钩上,秤砣挂在支点O右侧的点B处,秤杆平衡,就能称得重物的质量.当重物的质量变化时,OB的长随之变化.写出y关于x的函数表达式;当0＜y＜48时,求x的取值范围.
(2)调换秤砣与重物的位置,把秤砣挂在秤钩上,重物挂在支点O右侧的点B处,使秤杆平衡(如图②).写出y关于x的函数表达式,完成下表,并在如图③所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
第一步:在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度(单位长度为1 cm),确定支点O,并用细麻绳固定,在支点O左侧2 cm的点A处固定一个金属吊钩,作为秤钩.
第二步:取一个质量为0.5 kg的金属物体作为秤砣.设重物的质量为x kg,OB的长为y cm.
(1)如图①,把重物挂在秤钩上,秤砣挂在支点O右侧的点B处,秤杆平衡,就能称得重物的质量.当重物的质量变化时,OB的长随之变化.写出y关于x的函数表达式;当0＜y＜48时,求x的取值范围.
(2)调换秤砣与重物的位置,把秤砣挂在秤钩上,重物挂在支点O右侧的点B处,使秤杆平衡(如图②).写出y关于x的函数表达式,完成下表,并在如图③所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象.
答案
（1）$\because$ 阻力×阻力臂=动力×动力臂，$\therefore$ 重物的质量×OA的长=秤砣的质量×OB的长.$\because OA=2\ \mathrm{cm}$，重物的质量为$x\ \mathrm{kg}$，$OB$的长为$y\ \mathrm{cm}$，秤砣的质量为$0.5\ \mathrm{kg}$，$\therefore 2x=0.5y$，即$y=4x$.$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=4x$.$\therefore$ 当$y=0$时，$x=0$；当$y=48$时，$x=12$.$\because 4＞0$，$\therefore y$随$x$的增大而增大.$\therefore$ 当$0＜y＜48$时，$x$的取值范围是$0＜x＜12$.
（2）$\because$ 阻力×阻力臂=动力×动力臂，$\therefore$ 秤砣的质量×OA的长=重物的质量×OB的长.$\because OA=2\ \mathrm{cm}$，重物的质量为$x\ \mathrm{kg}$，$OB$的长为$y\ \mathrm{cm}$，秤砣的质量为$0.5\ \mathrm{kg}$，$\therefore 0.5× 2=xy$，即$y=\frac{1}{x}$.$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{x}(x＞0)$.当$x=0.25$时，$y=\frac{1}{0.25}=4$；当$x=0.5$时，$y=\frac{1}{0.5}=2$；当$x=1$时，$y=1$；当$x=2$时，$y=0.5$；当$x=4$时，$y=0.25$.
填表如下：
| $x/\mathrm{kg}$ | $···$ | $0.25$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $···$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y/\mathrm{cm}$ | $···$ | $4$ | $2$ | $1$ | $0.5$ | $0.25$ | $···$ |
函数图象如图所示.
（第8题）
（2）$\because$ 阻力×阻力臂=动力×动力臂，$\therefore$ 秤砣的质量×OA的长=重物的质量×OB的长.$\because OA=2\ \mathrm{cm}$，重物的质量为$x\ \mathrm{kg}$，$OB$的长为$y\ \mathrm{cm}$，秤砣的质量为$0.5\ \mathrm{kg}$，$\therefore 0.5× 2=xy$，即$y=\frac{1}{x}$.$\therefore y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{x}(x＞0)$.当$x=0.25$时，$y=\frac{1}{0.25}=4$；当$x=0.5$时，$y=\frac{1}{0.5}=2$；当$x=1$时，$y=1$；当$x=2$时，$y=0.5$；当$x=4$时，$y=0.25$.
填表如下：
| $x/\mathrm{kg}$ | $···$ | $0.25$ | $0.5$ | $1$ | $2$ | $4$ | $···$ |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| $y/\mathrm{cm}$ | $···$ | $4$ | $2$ | $1$ | $0.5$ | $0.25$ | $···$ |
函数图象如图所示.
（第8题）
解析
【分析】
这是一道物理杠杆原理和初中函数知识结合的跨学科应用题，解题思路非常清晰：
1. 第(1)问：先紧扣题目给出的杠杆原理等量关系「阻力×阻力臂=动力×动力臂」，对应场景里的各个已知量：重物质量为x kg、阻力臂OA长2cm，秤砣质量0.5kg、动力臂OB长y cm，代入等量关系就能推导出y关于x的一次函数表达式。由于该一次函数的系数为正，y随x增大而增大，把y的边界值0和48代入函数，就能算出对应的x边界值，得到x的取值范围。
2. 第(2)问：调换重物和秤砣的位置后，重新对应杠杆原理的各个物理量：此时阻力是秤砣的质量、阻力臂仍为OA=2cm，动力是重物的质量x kg、动力臂是OB长y cm，代入杠杆公式就能得到反比例函数表达式，之后把表格给出的x值依次代入函数算出对应y值，用描点法即可画出第一象限的反比例函数图像。
【解析】
(1) 根据杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，可得等量关系：
重物的质量×OA的长 = 秤砣的质量×OB的长
已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，重物质量为$x\ \mathrm{kg}$，$OB$长为$y\ \mathrm{cm}$，秤砣质量为$0.5\ \mathrm{kg}$，代入得：
$2x=0.5y$
整理得y关于x的函数表达式为$y=4x$。
由于一次项系数$4＞0$，y随x的增大而增大：
当$y=0$时，解得$x=0$；当$y=48$时，代入得$48=4x$，解得$x=12$，
因此当$0＜y＜48$时，x的取值范围是$0＜x＜12$。
(2) 调换秤砣与重物的位置后，再次代入杠杆原理，可得等量关系：
秤砣的质量×OA的长 = 重物的质量×OB的长
代入已知量得：$0.5× 2 = xy$，整理得y关于x的函数表达式为$y=\frac{1}{x}\ (x＞0)$。
将表格中给出的x值依次代入函数计算对应y值：
当$x=0.25$时，$y=\frac{1}{0.25}=4$
当$x=0.5$时，$y=\frac{1}{0.5}=2$
当$x=1$时，$y=\frac{1}{1}=1$
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}=0.5$
当$x=4$时，$y=\frac{1}{4}=0.25$
将上述y值填入表格，在平面直角坐标系第一象限内描出对应点，用平滑曲线连接即可得到该反比例函数的图象。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数表达式为$y=4x$，当$0＜y＜48$时，$x$的取值范围是$0＜x＜12$；
(2) $y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{x}(x＞0)$，表格中对应$y$值从左到右依次为4、2、1、0.5、0.25，图象为第一象限内反比例函数$y=\frac{1}{x}$的对应分支。
【知识点】
杠杆原理应用，一次函数性质，反比例函数图象
【点评】
本题属于新情境跨学科融合题型，将物理杠杆知识和初中函数知识点结合，解题核心是准确对应不同场景下杠杆原理的各个物理量，建立等量关系推导函数表达式，再结合函数性质求解相关问题，同时要注意实际应用场景下自变量的取值范围必须为正，符合物理实际意义，能很好考查学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道物理杠杆原理和初中函数知识结合的跨学科应用题，解题思路非常清晰：
1. 第(1)问：先紧扣题目给出的杠杆原理等量关系「阻力×阻力臂=动力×动力臂」，对应场景里的各个已知量：重物质量为x kg、阻力臂OA长2cm，秤砣质量0.5kg、动力臂OB长y cm，代入等量关系就能推导出y关于x的一次函数表达式。由于该一次函数的系数为正，y随x增大而增大，把y的边界值0和48代入函数，就能算出对应的x边界值，得到x的取值范围。
2. 第(2)问：调换重物和秤砣的位置后，重新对应杠杆原理的各个物理量：此时阻力是秤砣的质量、阻力臂仍为OA=2cm，动力是重物的质量x kg、动力臂是OB长y cm，代入杠杆公式就能得到反比例函数表达式，之后把表格给出的x值依次代入函数算出对应y值，用描点法即可画出第一象限的反比例函数图像。
【解析】
(1) 根据杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，可得等量关系：
重物的质量×OA的长 = 秤砣的质量×OB的长
已知$OA=2\ \mathrm{cm}$，重物质量为$x\ \mathrm{kg}$，$OB$长为$y\ \mathrm{cm}$，秤砣质量为$0.5\ \mathrm{kg}$，代入得：
$2x=0.5y$
整理得y关于x的函数表达式为$y=4x$。
由于一次项系数$4＞0$，y随x的增大而增大：
当$y=0$时，解得$x=0$；当$y=48$时，代入得$48=4x$，解得$x=12$，
因此当$0＜y＜48$时，x的取值范围是$0＜x＜12$。
(2) 调换秤砣与重物的位置后，再次代入杠杆原理，可得等量关系：
秤砣的质量×OA的长 = 重物的质量×OB的长
代入已知量得：$0.5× 2 = xy$，整理得y关于x的函数表达式为$y=\frac{1}{x}\ (x＞0)$。
将表格中给出的x值依次代入函数计算对应y值：
当$x=0.25$时，$y=\frac{1}{0.25}=4$
当$x=0.5$时，$y=\frac{1}{0.5}=2$
当$x=1$时，$y=\frac{1}{1}=1$
当$x=2$时，$y=\frac{1}{2}=0.5$
当$x=4$时，$y=\frac{1}{4}=0.25$
将上述y值填入表格，在平面直角坐标系第一象限内描出对应点，用平滑曲线连接即可得到该反比例函数的图象。
【答案】
(1) $y$关于$x$的函数表达式为$y=4x$，当$0＜y＜48$时，$x$的取值范围是$0＜x＜12$；
(2) $y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac{1}{x}(x＞0)$，表格中对应$y$值从左到右依次为4、2、1、0.5、0.25，图象为第一象限内反比例函数$y=\frac{1}{x}$的对应分支。
【知识点】
杠杆原理应用，一次函数性质，反比例函数图象
【点评】
本题属于新情境跨学科融合题型，将物理杠杆知识和初中函数知识点结合，解题核心是准确对应不同场景下杠杆原理的各个物理量，建立等量关系推导函数表达式，再结合函数性质求解相关问题，同时要注意实际应用场景下自变量的取值范围必须为正，符合物理实际意义，能很好考查学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
