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1. [2025 杭州模拟]综合实践小组的同学利用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度$h\ (\mathrm{cm})$是液体的密度$\rho\ (\mathrm{g/cm}^3)$的反比例函数,其图象如图所示($\rho＞0$).下列说法中,正确的是（
A.当$\rho≥1$时,$h≥20$
B.当$\rho=2$时,$h=40$
C.当$0＜h≤10$时,$\rho≥2$
D.当$0＜\rho≤1$时,$h≤20$
C
）A.当$\rho≥1$时,$h≥20$
B.当$\rho=2$时,$h=40$
C.当$0＜h≤10$时,$\rho≥2$
D.当$0＜\rho≤1$时,$h≤20$
答案
1. C 根据题意,得反比例函数的表达式为$h=\dfrac{20}{\rho}$.当$\rho≥1$时,$h≤20$,故选项A错误,不符合题意.当$\rho=2$时,$h=10$,故选项B错误,不符合题意.令$h=10$,得$\rho=2$. $\therefore$ 当$0＜h≤10$时,$\rho≥2$. 故选项C正确,符合题意. 当$0＜\rho≤1$时,$h≥20$,故选项D错误,不符合题意.
解析
【分析】
解题思路：题目明确浸在液体中的高度h是液体密度ρ的反比例函数，首先我们先设出反比例函数的一般形式$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$，再代入图像给出的已知点$(1,20)$计算出比例系数k，确定完整的函数解析式。之后结合反比例函数在第一象限单调递减的性质，逐个验证四个选项的描述是否正确，注意不要把ρ和h的反向大小对应关系搞反，即可选出正确答案。
【解析】
解：由题意，设h关于ρ的反比例函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}\ (k≠0,\rho＞0)$
将图像上的点$\rho=1、h=20$代入表达式，得：
$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$，因此函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}$。
逐个判断选项：
1. 选项A：当$\rho≥1$时，$h=\frac{20}{\rho}$在$\rho＞0$区间随ρ增大而减小，因此此时$h≤20$，并非$h≥20$，A错误。
2. 选项B：将$\rho=2$代入解析式，得$h=\frac{20}{2}=10$，并非$h=40$，B错误。
3. 选项C：令$h=10$，代入解析式得$10=\frac{20}{\rho}$，解得$\rho=2$。由于函数在$\rho＞0$区间单调递减，因此当$0＜h≤10$时，对应$\rho≥2$，C正确。
4. 选项D：当$0＜\rho≤1$时，代入解析式可得$h=\frac{20}{\rho}≥20$，并非$h≤20$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用，反比例函数性质
【点评】本题结合密度计测量液体密度的实际情境考察反比例函数的实际应用，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再利用反比例函数的递减性质判断变量的取值范围，易错点是容易混淆ρ和h的反向变化关系，误选其他选项。
【难度系数】0.7
解题思路：题目明确浸在液体中的高度h是液体密度ρ的反比例函数，首先我们先设出反比例函数的一般形式$h=\frac{k}{\rho}(k≠0,\rho＞0)$，再代入图像给出的已知点$(1,20)$计算出比例系数k，确定完整的函数解析式。之后结合反比例函数在第一象限单调递减的性质，逐个验证四个选项的描述是否正确，注意不要把ρ和h的反向大小对应关系搞反，即可选出正确答案。
【解析】
解：由题意，设h关于ρ的反比例函数表达式为$h=\frac{k}{\rho}\ (k≠0,\rho＞0)$
将图像上的点$\rho=1、h=20$代入表达式，得：
$20=\frac{k}{1}$，解得$k=20$，因此函数解析式为$h=\frac{20}{\rho}$。
逐个判断选项：
1. 选项A：当$\rho≥1$时，$h=\frac{20}{\rho}$在$\rho＞0$区间随ρ增大而减小，因此此时$h≤20$，并非$h≥20$，A错误。
2. 选项B：将$\rho=2$代入解析式，得$h=\frac{20}{2}=10$，并非$h=40$，B错误。
3. 选项C：令$h=10$，代入解析式得$10=\frac{20}{\rho}$，解得$\rho=2$。由于函数在$\rho＞0$区间单调递减，因此当$0＜h≤10$时，对应$\rho≥2$，C正确。
4. 选项D：当$0＜\rho≤1$时，代入解析式可得$h=\frac{20}{\rho}≥20$，并非$h≤20$，D错误。
综上，正确选项为C。
【答案】C
【知识点】反比例函数应用，反比例函数性质
【点评】本题结合密度计测量液体密度的实际情境考察反比例函数的实际应用，解题核心是先通过已知点确定函数解析式，再利用反比例函数的递减性质判断变量的取值范围，易错点是容易混淆ρ和h的反向变化关系，误选其他选项。
【难度系数】0.7
2. 物理实验中，同学们分别测量甲、乙、丙、丁四种液体的体积$V(\mathrm{cm}^3)$和它们的质量$m(\mathrm{g})$，根据相关数据，在如图所示的平面直角坐标系中依次画出相应的图象. 根据图象及物理学知识$m=\rho V$，可判断这四种液体中密度$\rho(\mathrm{g/cm}^3)$最大的是（
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
C
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
2. C $\because m=\rho V,\therefore \rho=\dfrac{m}{V}$.由题图可知,$m_2＞m_1,V_1＜V_2,\therefore \dfrac{m_2}{V_1}＞\dfrac{m_1}{V_1},\dfrac{m_2}{V_1}＞\dfrac{m_2}{V_2},\dfrac{m_2}{V_2}＞\dfrac{m_1}{V_2}$. $\therefore$ 丙的密度大于甲的密度,丙的密度大于丁的密度,丁的密度大于乙的密度.$\therefore$ 这四种液体中密度$\rho(g/cm^3)$最大的是丙.
解析
【分析】
我们要比较四种液体的密度大小，首先回忆密度的计算公式ρ=m/V，在m-V图像中，图像的斜率恰好等于对应物质的密度。解题时可以用控制变量的思路：既可以取相同体积，比较对应质量，质量越大密度越大；也可以取相同质量，比较对应体积，体积越小密度越大。我们先从图中提取四个物质对应点的坐标，分别代入密度公式后对比四个密度的大小，就能快速得到密度最大的液体。
【解析】
解：根据密度定义式可得$\rho = \frac{m}{V}$，m-V图像中过原点直线的斜率等于对应物质的密度。
从图像中读取四个液体对应特征点的物理量：
1. 丙液体：体积为$V_1$时，质量为$m_2$，因此$\rho_丙 = \frac{m_2}{V_1}$
2. 甲液体：体积为$V_1$时，质量为$m_1$，因此$\rho_甲 = \frac{m_1}{V_1}$
3. 丁液体：体积为$V_2$时，质量为$m_2$，因此$\rho_丁 = \frac{m_2}{V_2}$
4. 乙液体：体积为$V_2$时，质量为$m_1$，因此$\rho_乙 = \frac{m_1}{V_2}$
结合图像标注可知$m_2＞m_1$，$V_2＞V_1$，对四个密度做大小比较：
相同体积$V_1$时，$m_2＞m_1$，因此$\frac{m_2}{V_1} ＞ \frac{m_1}{V_1}$，即$\rho_丙＞\rho_甲$
相同质量$m_2$时，$V_1＜V_2$，因此$\frac{m_2}{V_1} ＞ \frac{m_2}{V_2}$，即$\rho_丙＞\rho_丁$
相同体积$V_2$时，$m_2＞m_1$，因此$\frac{m_2}{V_2} ＞ \frac{m_1}{V_2}$，即$\rho_丁＞\rho_乙$
综上可得$\rho_丙＞\rho_甲＞\rho_丁＞\rho_乙$，密度最大的是丙。
所以答案选C。
【答案】C
【知识点】
密度公式，m-V图像分析
【点评】
本题属于密度相关的基础图像题，结合数学正比例函数图像考察对密度物理意义的理解，利用控制变量法无需计算具体数值就可以快速比较密度大小，解题时注意区分横纵坐标对应的物理量，避免把斜率判断错误。
【难度系数】
0.8
我们要比较四种液体的密度大小，首先回忆密度的计算公式ρ=m/V，在m-V图像中，图像的斜率恰好等于对应物质的密度。解题时可以用控制变量的思路：既可以取相同体积，比较对应质量，质量越大密度越大；也可以取相同质量，比较对应体积，体积越小密度越大。我们先从图中提取四个物质对应点的坐标，分别代入密度公式后对比四个密度的大小，就能快速得到密度最大的液体。
【解析】
解：根据密度定义式可得$\rho = \frac{m}{V}$，m-V图像中过原点直线的斜率等于对应物质的密度。
从图像中读取四个液体对应特征点的物理量：
1. 丙液体：体积为$V_1$时，质量为$m_2$，因此$\rho_丙 = \frac{m_2}{V_1}$
2. 甲液体：体积为$V_1$时，质量为$m_1$，因此$\rho_甲 = \frac{m_1}{V_1}$
3. 丁液体：体积为$V_2$时，质量为$m_2$，因此$\rho_丁 = \frac{m_2}{V_2}$
4. 乙液体：体积为$V_2$时，质量为$m_1$，因此$\rho_乙 = \frac{m_1}{V_2}$
结合图像标注可知$m_2＞m_1$，$V_2＞V_1$，对四个密度做大小比较：
相同体积$V_1$时，$m_2＞m_1$，因此$\frac{m_2}{V_1} ＞ \frac{m_1}{V_1}$，即$\rho_丙＞\rho_甲$
相同质量$m_2$时，$V_1＜V_2$，因此$\frac{m_2}{V_1} ＞ \frac{m_2}{V_2}$，即$\rho_丙＞\rho_丁$
相同体积$V_2$时，$m_2＞m_1$，因此$\frac{m_2}{V_2} ＞ \frac{m_1}{V_2}$，即$\rho_丁＞\rho_乙$
综上可得$\rho_丙＞\rho_甲＞\rho_丁＞\rho_乙$，密度最大的是丙。
所以答案选C。
【答案】C
【知识点】
密度公式，m-V图像分析
【点评】
本题属于密度相关的基础图像题，结合数学正比例函数图像考察对密度物理意义的理解，利用控制变量法无需计算具体数值就可以快速比较密度大小，解题时注意区分横纵坐标对应的物理量，避免把斜率判断错误。
【难度系数】
0.8
3. 数学综合实践课上,某同学用自制密度计测量液体的密度. 密度计悬浮在不同的液体中时,浸在液体中的高度$h$(单位:$\mathrm{cm}$)是液体的密度$\rho$(单位:$\mathrm{g/cm^3}$)的反比例函数,当密度计悬浮在密度为$1\ \mathrm{g/cm^3}$的水中时,浸在液体中的高度为$18\ \mathrm{cm}$. 若当该密度计悬浮在另一种液体中时,浸在液体中的高度为$20\ \mathrm{cm}$,则该液体的密度为
0.9
$\mathrm{g/cm^3}$.答案
3. 0.9 设$h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\dfrac{k}{\rho}(k≠0)$.把$\rho=1,h=18$代入,得$k=1×18=18$. $\therefore h$关于$\rho$的函数表达式为$h=\dfrac{18}{\rho}$.把$h=20$代入$h=\dfrac{18}{\rho}$,得$\rho=0.9$.$\therefore$ 该液体的密度为$0.9\ \mathrm{g/cm^3}$.
解析
【分析】
首先读题明确核心条件：浸在液体中的高度h是液体密度ρ的反比例函数，因此我们可以先设出反比例函数的一般形式。题目给出了一组已知的对应值：ρ=1g/cm³时h=18cm，将这组值代入所设的反比例函数中，就可以用待定系数法求出比例系数k，得到h和ρ的完整函数关系式。最后将题目给出的浸入高度h=20cm代入得到的函数式，解方程就能求出对应的液体密度ρ。
【解析】
1. 设h关于ρ的反比例函数表达式为$h=\dfrac{k}{\rho} \ (k≠0)$
2. 代入已知条件$\rho=1$，$h=18$，可得：
$18=\dfrac{k}{1}$，解得$k=1×18=18$
3. 因此h关于ρ的函数表达式为$h=\dfrac{18}{\rho}$
4. 将$h=20$代入上述函数表达式：
$20=\dfrac{18}{\rho}$，解得$\rho=\dfrac{18}{20}=0.9$
【答案】
0.9
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数结合物理密度计场景的实际应用题，题型基础，解题的核心是熟练掌握待定系数法求解反比例函数解析式，理清两个变量的对应关系，代入数值计算即可得到结果，几乎没有易错失分点。
【难度系数】
0.8
首先读题明确核心条件：浸在液体中的高度h是液体密度ρ的反比例函数，因此我们可以先设出反比例函数的一般形式。题目给出了一组已知的对应值：ρ=1g/cm³时h=18cm，将这组值代入所设的反比例函数中，就可以用待定系数法求出比例系数k，得到h和ρ的完整函数关系式。最后将题目给出的浸入高度h=20cm代入得到的函数式，解方程就能求出对应的液体密度ρ。
【解析】
1. 设h关于ρ的反比例函数表达式为$h=\dfrac{k}{\rho} \ (k≠0)$
2. 代入已知条件$\rho=1$，$h=18$，可得：
$18=\dfrac{k}{1}$，解得$k=1×18=18$
3. 因此h关于ρ的函数表达式为$h=\dfrac{18}{\rho}$
4. 将$h=20$代入上述函数表达式：
$20=\dfrac{18}{\rho}$，解得$\rho=\dfrac{18}{20}=0.9$
【答案】
0.9
【知识点】
反比例函数应用，待定系数法求反比例函数解析式
【点评】
本题是反比例函数结合物理密度计场景的实际应用题，题型基础，解题的核心是熟练掌握待定系数法求解反比例函数解析式，理清两个变量的对应关系，代入数值计算即可得到结果，几乎没有易错失分点。
【难度系数】
0.8
4. 数学综合实践课上,同学用自制密度计测量液体的密度,密度计悬浮在密度为$\rho$(单位:$ \mathrm{g/cm^3} $)的液体中,浸在液体中的高度$h$(单位:$ \mathrm{cm} $)与液体的密度$\rho$的函数表达式为$\rho=\dfrac{20}{h}$. 已知橘子汁的密度是水的密度的$\dfrac{5}{4}$倍,密度计浸在水中的高度比浸在橘子汁中多4 cm.
(1) 当密度计悬浮在一种液体中时,浸在液体中的高度为25 cm,则该液体的密度为
(2) 求水的密度.
(1) 当密度计悬浮在一种液体中时,浸在液体中的高度为25 cm,则该液体的密度为
0.8
$ \mathrm{g/cm^3} $.(2) 求水的密度.
答案
4. (1) 0.8. 把$h=25$代入$\rho=\dfrac{20}{h}$,得$\rho=\dfrac{20}{25}=0.8$.
(2) 设密度计浸在水中的高度为$x$ cm,则浸在橘子汁中的高度为$(x-4)$cm. 根据题意,得$\dfrac{20}{x}×\dfrac{5}{4}=\dfrac{20}{x-4}$,解得$x=20$.经检验,$x=20$为所列方程的解,且符合题意. $\therefore$ 水的密度为$\dfrac{20}{20}=1(\mathrm{g/cm^3})$.
(2) 设密度计浸在水中的高度为$x$ cm,则浸在橘子汁中的高度为$(x-4)$cm. 根据题意,得$\dfrac{20}{x}×\dfrac{5}{4}=\dfrac{20}{x-4}$,解得$x=20$.经检验,$x=20$为所列方程的解,且符合题意. $\therefore$ 水的密度为$\dfrac{20}{20}=1(\mathrm{g/cm^3})$.
解析
【分析】
先处理第一小问：题目已经直接给出浸在液体中的高度h和液体密度ρ的函数关系式$\rho=\dfrac{20}{h}$，已知h=25cm，直接把h的数值代入函数表达式，就能直接算出对应的液体密度，思路非常直观。
再处理第二小问：首先明确两个核心等量关系，一是密度计浸在水中的高度比浸在橘子汁中多4cm，二是橘子汁的密度是水的密度的$\dfrac{5}{4}$倍。我们可以先设密度计浸在水中的高度为x cm，根据第一个等量关系就能表示出浸在橘子汁中的高度为$(x-4)$cm，再结合给出的$\rho=\dfrac{20}{h}$的关系式，分别把水的密度、橘子汁的密度用含x的代数式表示出来，代入第二个等量关系就能列出分式方程，解出x之后先检验分式方程的解是否符合实际意义，最后再代入计算水的密度即可。
【解析】
(1) 已知函数表达式为$\rho=\dfrac{20}{h}$，将$h=25\ \mathrm{cm}$代入该式：
$\rho=\dfrac{20}{25}=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
(2) 设密度计浸在水中的高度为$x\ \mathrm{cm}$，由题意可知，密度计浸在橘子汁中的高度为$(x-4)\ \mathrm{cm}$。
根据$\rho=\dfrac{20}{h}$，可得水的密度为$\dfrac{20}{x}\ \mathrm{g/cm^3}$，橘子汁的密度为$\dfrac{20}{x-4}\ \mathrm{g/cm^3}$。
结合“橘子汁的密度是水的密度的$\dfrac{5}{4}$倍”列方程：
$\dfrac{5}{4}×\dfrac{20}{x}=\dfrac{20}{x-4}$
化简得$\dfrac{25}{x}=\dfrac{20}{x-4}$，交叉相乘得$25(x-4)=20x$，展开整理得$5x=100$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是所列分式方程的解，且符合实际意义。
将$x=20$代入水的密度表达式，得水的密度为$\dfrac{20}{20}=1\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) 0.8；(2) 水的密度为$1\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
反比例函数求值，分式方程实际应用
【点评】
本题结合自制密度计的综合实践场景，将反比例函数和分式方程的知识点结合，第一问为基础代入计算，难度很低；第二问需要梳理两个物理量之间的数量关系列方程，注意分式方程求解后必须检验解的合理性，整体贴合生活实际，考查学生用数学知识解决跨学科小问题的能力。
【难度系数】
0.8
先处理第一小问：题目已经直接给出浸在液体中的高度h和液体密度ρ的函数关系式$\rho=\dfrac{20}{h}$，已知h=25cm，直接把h的数值代入函数表达式，就能直接算出对应的液体密度，思路非常直观。
再处理第二小问：首先明确两个核心等量关系，一是密度计浸在水中的高度比浸在橘子汁中多4cm，二是橘子汁的密度是水的密度的$\dfrac{5}{4}$倍。我们可以先设密度计浸在水中的高度为x cm，根据第一个等量关系就能表示出浸在橘子汁中的高度为$(x-4)$cm，再结合给出的$\rho=\dfrac{20}{h}$的关系式，分别把水的密度、橘子汁的密度用含x的代数式表示出来，代入第二个等量关系就能列出分式方程，解出x之后先检验分式方程的解是否符合实际意义，最后再代入计算水的密度即可。
【解析】
(1) 已知函数表达式为$\rho=\dfrac{20}{h}$，将$h=25\ \mathrm{cm}$代入该式：
$\rho=\dfrac{20}{25}=0.8\ \mathrm{g/cm^3}$。
(2) 设密度计浸在水中的高度为$x\ \mathrm{cm}$，由题意可知，密度计浸在橘子汁中的高度为$(x-4)\ \mathrm{cm}$。
根据$\rho=\dfrac{20}{h}$，可得水的密度为$\dfrac{20}{x}\ \mathrm{g/cm^3}$，橘子汁的密度为$\dfrac{20}{x-4}\ \mathrm{g/cm^3}$。
结合“橘子汁的密度是水的密度的$\dfrac{5}{4}$倍”列方程：
$\dfrac{5}{4}×\dfrac{20}{x}=\dfrac{20}{x-4}$
化简得$\dfrac{25}{x}=\dfrac{20}{x-4}$，交叉相乘得$25(x-4)=20x$，展开整理得$5x=100$，解得$x=20$。
经检验，$x=20$是所列分式方程的解，且符合实际意义。
将$x=20$代入水的密度表达式，得水的密度为$\dfrac{20}{20}=1\ \mathrm{g/cm^3}$。
【答案】
(1) 0.8；(2) 水的密度为$1\ \mathrm{g/cm^3}$
【知识点】
反比例函数求值，分式方程实际应用
【点评】
本题结合自制密度计的综合实践场景，将反比例函数和分式方程的知识点结合，第一问为基础代入计算，难度很低；第二问需要梳理两个物理量之间的数量关系列方程，注意分式方程求解后必须检验解的合理性，整体贴合生活实际，考查学生用数学知识解决跨学科小问题的能力。
【难度系数】
0.8
