1. (教材习题变式)利用直接开平方法解下列方程:
(1)$4(x-3)^2=25$;
(2)$(3x+2)^2-24=0$.

(1)$x_1=\frac{11}{2},x_2=\frac{1}{2}$.
(2)$x_1=\frac{-2+2\sqrt{6}}{3},x_2=\frac{-2-2\sqrt{6}}{3}$.

【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，核心思路是将方程整理为“某个整式的平方等于非负数”的形式，再根据平方根的定义，对等式两边直接开平方，转化为两个一元一次方程求解。
【解析】
(1) 对于方程$4(x-3)^2=25$：
第一步，将方程两边同时除以4，把$(x-3)^2$的系数化为1，得：
$(x-3)^2=\frac{25}{4}$；
第二步，根据平方根的定义，对等式两边开平方，得：
$x-3=\pm\frac{5}{2}$；
第三步，分别求解两个一元一次方程：
当$x-3=\frac{5}{2}$时，$x=3+\frac{5}{2}=\frac{11}{2}$；
当$x-3=-\frac{5}{2}$时，$x=3-\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$。
(2) 对于方程$(3x+2)^2-24=0$：
第一步，移项，将常数项移到等式右边，得：
$(3x+2)^2=24$；
第二步，根据平方根的定义，对等式两边开平方，得：
$3x+2=\pm\sqrt{24}=\pm2\sqrt{6}$；
第三步，分别求解两个一元一次方程：
当$3x+2=2\sqrt{6}$时，$3x=-2+2\sqrt{6}$，$x=\frac{-2+2\sqrt{6}}{3}$；
当$3x+2=-2\sqrt{6}$时，$3x=-2-2\sqrt{6}$，$x=\frac{-2-2\sqrt{6}}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=\frac{11}{2},x_2=\frac{1}{2}$；(2)$x_1=\frac{-2+2\sqrt{6}}{3},x_2=\frac{-2-2\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是教材习题的基础变式题，重点考查直接开平方法的基本应用，步骤清晰，只要掌握将方程转化为平方等于非负数的形式，再利用平方根的定义转化为一元一次方程求解，即可轻松完成，适合巩固一元二次方程的基础解法。
【难度系数】
0.8

2. 利用配方法解下列方程：
(1)$x^{2}+3x+\dfrac{1}{2}=0$；
(2)$3x^{2}-6x-12=0$。

(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{7}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{7}}{2}$.
(2)$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$.

【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程转化为完全平方式，再用直接开平方法求解，步骤为：①若二次项系数不为1，先将方程两边同除以二次项系数，使二次项系数化为1；②移项，把常数项移到方程右侧；③配方，在方程两边加一次项系数一半的平方，让左侧成为完全平方式；④开方求解得根。本题第(1)题二次项系数为1，直接按步骤操作；第(2)题二次项系数为3，需先化为1再配方。
【解析】
(1) 移项，得 $x^2 + 3x = -\dfrac{1}{2}$
配方，两边加 $(\dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{9}{4}$，得
$x^2 + 3x + \dfrac{9}{4} = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{9}{4}$
即 $(x + \dfrac{3}{2})^2 = \dfrac{7}{4}$
开平方，得 $x + \dfrac{3}{2} = \pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}$
解得 $x_1 = \dfrac{-3 + \sqrt{7}}{2}$，$x_2 = \dfrac{-3 - \sqrt{7}}{2}$
(2) 方程两边同除以3，得 $x^2 - 2x - 4 = 0$
移项，得 $x^2 - 2x = 4$
配方，两边加 $(\dfrac{-2}{2})^2 = 1$，得
$x^2 - 2x + 1 = 4 + 1$
即 $(x - 1)^2 = 5$
开平方，得 $x - 1 = \pm \sqrt{5}$
解得 $x_1 = 1 + \sqrt{5}$，$x_2 = 1 - \sqrt{5}$
【答案】
(1)$x_1=\frac{-3+\sqrt{7}}{2},x_2=\frac{-3-\sqrt{7}}{2}$；(2)$x_1=1+\sqrt{5},x_2=1-\sqrt{5}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查配方法解一元二次方程，是初中数学基础题型，需熟练掌握配方法的操作逻辑：二次项系数不为1时先化1，配方时准确添加一次项系数一半的平方，计算时注意符号与分数运算，整体难度适中，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6

3. 利用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2}-2\sqrt{3}x = 0$；
(2)$3x(x + 1) = 3x + 3$.

(1)$x_1=0,x_2=2\sqrt{3}$.
(2)$x_1=-1,x_2=1$.

【分析】
因式分解法解方程的核心是将方程转化为几个因式乘积等于0的形式，利用“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的性质，把高次方程转化为低次方程求解。本题中，(1)直接提取公因式即可；(2)需先对右边式子变形，再移项提取公因式。
【解析】
(1) 对原方程提取公因式$x$：
$x(x - 2\sqrt{3}) = 0$
根据因式分解法解方程的规则，得：
$x = 0$ 或 $x - 2\sqrt{3} = 0$
解得：$x_1=0$，$x_2=2\sqrt{3}$。
(2) 先将原方程右边变形：
$3x(x + 1) = 3(x + 1)$
移项，将右边项移到左边：
$3x(x + 1) - 3(x + 1) = 0$
提取公因式$3(x + 1)$：
$3(x + 1)(x - 1) = 0$
因为$3≠0$，所以：
$x + 1 = 0$ 或 $x - 1 = 0$
解得：$x_1=-1$，$x_2=1$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=2\sqrt{3}$；(2)$x_1=-1,x_2=1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、提取公因式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解法解一元二次方程，关键是熟练掌握提取公因式的方法，第(2)题需注意移项后再提取公因式，避免直接两边除以$3(x+1)$导致漏解，属于基础题型。
【难度系数】
0.6

4. 利用公式法解下列方程：
(1)$2x^{2}-x=-3$；
(2)$3x^{2}-5(2x+1)=0.$

(1)无实数解.
(2)$x_1=\frac{5+2\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{5-2\sqrt{10}}{3}$.

【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：第一步将方程整理为一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$；第二步确定$a、b、c$的取值；第三步计算判别式$\Delta = b^2 -4ac$，根据$\Delta$的值判断方程根的情况（$\Delta＞0$有两个不等实根、$\Delta=0$有两个相等实根、$\Delta＜0$无实根）；第四步若有实根，代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$求解。本题需先把两个方程化为一般形式，再按上述步骤计算。
【解析】
(1) 整理方程为一般形式：
移项得$2x^2 - x + 3 = 0$，其中$a=2$，$b=-1$，$c=3$；
计算判别式：$\Delta = (-1)^2 - 4×2×3 = 1 -24 = -23$；
因为$\Delta=-23＜0$，所以方程无实数解。
(2) 整理方程为一般形式：
去括号得$3x^2 -10x -5 =0$，其中$a=3$，$b=-10$，$c=-5$；
计算判别式：$\Delta = (-10)^2 -4×3×(-5)=100 +60=160$；
代入求根公式：$x=\frac{10\pm\sqrt{160}}{2×3}=\frac{10\pm4\sqrt{10}}{6}$，约分后得$x_1=\frac{5+2\sqrt{10}}{3}$，$x_2=\frac{5-2\sqrt{10}}{3}$。
【答案】
(1) 无实数解；(2) $x_1=\frac{5+2\sqrt{10}}{3},x_2=\frac{5-2\sqrt{10}}{3}$
【知识点】
公式法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查公式法解一元二次方程，核心是正确将方程化为一般形式、准确确定$a、b、c$的值，计算判别式时需注意符号，最后代入公式后要及时约分，避免计算错误，属于基础题型。
【难度系数】
0.5