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10. 在平面直角坐标系中,若直线 $y=-x+m$ 不经过第一象限,则关于 $x$ 的方程 $mx^2+x+1=$0 的实数根有（
A.0个
B.1个
C.2个
D.1个或2个
D
）A.0个
B.1个
C.2个
D.1个或2个
答案
D 解析:
∵直线$y=-x+m$不经过第一象限,
∴$m≤0$.当$m=0$时,方程$mx^2+x+1=0$是一次方程,有一个实数根;当$m＜0$时,方程$mx^2+x+1=0$是一元二次方程,且Δ=$1^2-4m＞0$,
∴关于$x$的方程$mx^2+x+1=0$有两个不相等的实数根.综上所述,关于$x$的方程$mx^2+x+1=0$的实数根有1个或2个.
∵直线$y=-x+m$不经过第一象限,
∴$m≤0$.当$m=0$时,方程$mx^2+x+1=0$是一次方程,有一个实数根;当$m＜0$时,方程$mx^2+x+1=0$是一元二次方程,且Δ=$1^2-4m＞0$,
∴关于$x$的方程$mx^2+x+1=0$有两个不相等的实数根.综上所述,关于$x$的方程$mx^2+x+1=0$的实数根有1个或2个.
解析
【分析】
要解决本题，需先根据直线不经过第一象限确定参数$m$的取值范围，再分情况讨论方程$mx^2+x+1=0$的类型（一次方程或一元二次方程），分别计算两种情况下方程的实数根个数，最终综合得出结果。
【解析】
1. 确定$m$的范围：
直线$y=-x+m$的斜率为$-1$，不经过第一象限，说明其在$y$轴的截距$m≤0$。
2. 分情况讨论方程的根：
当$m=0$时，方程$mx^2+x+1=0$化为一次方程$x+1=0$，解得$x=-1$，有$1$个实数根；
当$m＜0$时，方程$mx^2+x+1=0$是一元二次方程，计算判别式$\Delta=1^2 - 4× m×1=1-4m$，因为$m＜0$，所以$-4m＞0$，则$\Delta=1-4m＞0$，此时一元二次方程有$2$个不相等的实数根。
3. 综合两种情况：方程的实数根有$1$个或$2$个。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像性质、一元二次方程根的判别式、一次方程的根
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，需注意参数$m$的取值会改变方程类型，容易忽略$m=0$时的一次方程情况，是初中数学的常考题型。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先根据直线不经过第一象限确定参数$m$的取值范围，再分情况讨论方程$mx^2+x+1=0$的类型（一次方程或一元二次方程），分别计算两种情况下方程的实数根个数，最终综合得出结果。
【解析】
1. 确定$m$的范围：
直线$y=-x+m$的斜率为$-1$，不经过第一象限，说明其在$y$轴的截距$m≤0$。
2. 分情况讨论方程的根：
当$m=0$时，方程$mx^2+x+1=0$化为一次方程$x+1=0$，解得$x=-1$，有$1$个实数根；
当$m＜0$时，方程$mx^2+x+1=0$是一元二次方程，计算判别式$\Delta=1^2 - 4× m×1=1-4m$，因为$m＜0$，所以$-4m＞0$，则$\Delta=1-4m＞0$，此时一元二次方程有$2$个不相等的实数根。
3. 综合两种情况：方程的实数根有$1$个或$2$个。
【答案】
D
【知识点】
一次函数图像性质、一元二次方程根的判别式、一次方程的根
【点评】
本题考查分类讨论思想的应用，需注意参数$m$的取值会改变方程类型，容易忽略$m=0$时的一次方程情况，是初中数学的常考题型。
【难度系数】
0.6
11. 如果关于 $x$ 的一元二次方程 $2x(ax-4)-x^2+6=0$ 没有实数根,那么 $a$ 的最小整数值是
2
.答案
2 解析:整理原方程,得$(2a-1)x^2-8x+6=0$.根据题意,得$2a-1≠0$且Δ=$(-8)^2-4×(2a-1)×6＜0$,解得$a＞\dfrac{11}{6}$,
∴$a$的最小整数值为2.
∴$a$的最小整数值为2.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再结合一元二次方程的定义和根的判别式的性质逐步求解：
1. 先把原方程展开、合并同类项，化为一元二次方程的一般式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）；
2. 根据“一元二次方程”的定义，二次项系数不能为0，确定参数的初步范围；
3. 再根据“方程没有实数根”，利用根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC ＜ 0$，解不等式得到参数的取值范围；
4. 最后在取值范围内找出最小的整数即可。
【解析】
整理原方程：
$\begin{aligned}2x(ax - 4) - x^2 + 6 &= 0 \\2ax^2 - 8x - x^2 + 6 &= 0 \\(2a - 1)x^2 - 8x + 6 &= 0\end{aligned}$
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$2a - 1 ≠ 0$，得$a ≠ \frac{1}{2}$。
又因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta ＜ 0$，其中$A=2a-1$，$B=-8$，$C=6$，则：
$\begin{aligned}\Delta &= (-8)^2 - 4×(2a - 1)×6 \\&= 64 - 24×(2a - 1) \\&= 64 - 48a + 24 \\&= 88 - 48a\end{aligned}$
令$\Delta ＜ 0$，即$88 - 48a ＜ 0$，移项得$48a ＞ 88$，解得$a ＞ \frac{11}{6} ≈ 1.83$。
结合$a ≠ \frac{1}{2}$，在$a ＞ 1.83$的范围内，最小的整数是2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义
【点评】
本题综合考查一元二次方程的定义和根的判别式的应用，解题的关键是牢记：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程无实根时判别式小于0。需注意的是，虽然本题中二次项系数不为0的条件对最终结果无影响，但该条件是一元二次方程的必要条件，解题时不能遗漏。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先将原方程整理为一元二次方程的标准形式，再结合一元二次方程的定义和根的判别式的性质逐步求解：
1. 先把原方程展开、合并同类项，化为一元二次方程的一般式$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$）；
2. 根据“一元二次方程”的定义，二次项系数不能为0，确定参数的初步范围；
3. 再根据“方程没有实数根”，利用根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC ＜ 0$，解不等式得到参数的取值范围；
4. 最后在取值范围内找出最小的整数即可。
【解析】
整理原方程：
$\begin{aligned}2x(ax - 4) - x^2 + 6 &= 0 \\2ax^2 - 8x - x^2 + 6 &= 0 \\(2a - 1)x^2 - 8x + 6 &= 0\end{aligned}$
因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数不为0，即$2a - 1 ≠ 0$，得$a ≠ \frac{1}{2}$。
又因为方程没有实数根，所以根的判别式$\Delta ＜ 0$，其中$A=2a-1$，$B=-8$，$C=6$，则：
$\begin{aligned}\Delta &= (-8)^2 - 4×(2a - 1)×6 \\&= 64 - 24×(2a - 1) \\&= 64 - 48a + 24 \\&= 88 - 48a\end{aligned}$
令$\Delta ＜ 0$，即$88 - 48a ＜ 0$，移项得$48a ＞ 88$，解得$a ＞ \frac{11}{6} ≈ 1.83$。
结合$a ≠ \frac{1}{2}$，在$a ＞ 1.83$的范围内，最小的整数是2。
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义
【点评】
本题综合考查一元二次方程的定义和根的判别式的应用，解题的关键是牢记：一元二次方程要求二次项系数不为0，方程无实根时判别式小于0。需注意的是，虽然本题中二次项系数不为0的条件对最终结果无影响，但该条件是一元二次方程的必要条件，解题时不能遗漏。
【难度系数】
0.5
12. 已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-\sqrt{2k+4}x+k=0$有两个不相等的实数根，则$k$的取值范围是
$-2≤k＜2$
。答案
$-2≤k＜2$ 解析:
∵一元二次方程$x^2-\sqrt{2k+4}x+k=0$有两个不相等的实数根,
∴Δ=$(-\sqrt{2k+4})^2-4k＞0$且$2k+4≥0$,解得$-2≤k＜2$.
∵一元二次方程$x^2-\sqrt{2k+4}x+k=0$有两个不相等的实数根,
∴Δ=$(-\sqrt{2k+4})^2-4k＞0$且$2k+4≥0$,解得$-2≤k＜2$.
解析
【分析】
要确定k的取值范围，需结合两个关键条件：一是二次根式√(2k+4)有意义，被开方数必须非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于0，联立这两个条件即可求解。
【解析】
∵关于x的一元二次方程$x^2-\sqrt{2k+4}x+k=0$有两个不相等的实数根，
∴需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$2k + 4 ≥ 0$，解得$k ≥ -2$；
2. 判别式$\Delta ＞ 0$：$\Delta = (-\sqrt{2k+4})^2 - 4×1×k = (2k + 4) - 4k = 4 - 2k ＞ 0$，解得$k ＜ 2$；
联立两个不等式的解，得$-2 ≤ k ＜ 2$。
【答案】
$-2≤k＜2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式与二次根式的意义，解题时需同时考虑被开方数非负和判别式大于0两个条件，避免遗漏二次根式的限制，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要确定k的取值范围，需结合两个关键条件：一是二次根式√(2k+4)有意义，被开方数必须非负；二是一元二次方程有两个不相等的实数根，判别式需大于0，联立这两个条件即可求解。
【解析】
∵关于x的一元二次方程$x^2-\sqrt{2k+4}x+k=0$有两个不相等的实数根，
∴需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$2k + 4 ≥ 0$，解得$k ≥ -2$；
2. 判别式$\Delta ＞ 0$：$\Delta = (-\sqrt{2k+4})^2 - 4×1×k = (2k + 4) - 4k = 4 - 2k ＞ 0$，解得$k ＜ 2$；
联立两个不等式的解，得$-2 ≤ k ＜ 2$。
【答案】
$-2≤k＜2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式与二次根式的意义，解题时需同时考虑被开方数非负和判别式大于0两个条件，避免遗漏二次根式的限制，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
13. 已知关于 $x$ 的方程 $k x^{2}-(k-2) x-2=0$.
(1)求证:无论 $k$ 取何值,方程总有实数根.
(2)若方程的两个实数根都为正整数,求整数 $k$ 的值.
(1)求证:无论 $k$ 取何值,方程总有实数根.
(2)若方程的两个实数根都为正整数,求整数 $k$ 的值.
答案
(1)证明:当$k=0$时,原方程为$2x-2=0$,解得$x=1$,
∴方程有实数根;当$k≠0$时,方程是一元二次方程,
∵Δ=$[-(k-2)]^2-4×k×(-2)=k^2-4k+4+8k=k^2+4k+4=(k+2)^2≥0$,
∴方程有两个实数根.综上所述,无论$k$取何值,方程总有实数根.
(2)解方程$kx^2-(k-2)x-2=0$,得$x_1=-\dfrac{2}{k}$,$x_2=1$.又
∵方程的两个实数根都为正整数,
∴$k=-1$或$-2$.
∴方程有实数根;当$k≠0$时,方程是一元二次方程,
∵Δ=$[-(k-2)]^2-4×k×(-2)=k^2-4k+4+8k=k^2+4k+4=(k+2)^2≥0$,
∴方程有两个实数根.综上所述,无论$k$取何值,方程总有实数根.
(2)解方程$kx^2-(k-2)x-2=0$,得$x_1=-\dfrac{2}{k}$,$x_2=1$.又
∵方程的两个实数根都为正整数,
∴$k=-1$或$-2$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需分$k=0$和$k≠0$两种情况讨论方程是否有实根：$k=0$时方程为一次方程，直接判断是否有解；$k≠0$时方程为一元二次方程，通过计算判别式$\Delta$，证明$\Delta≥0$即可。第(2)问先求解方程的两个根，再根据根为正整数的条件，结合$k$是整数，确定$k$的取值。
【解析】
(1)分情况讨论：
①当$k=0$时，原方程化为$2x - 2 = 0$，解得$x=1$，方程有实数根；
②当$k≠0$时，方程为一元二次方程，计算判别式：
$\Delta = [-(k-2)]^2 - 4×k×(-2) = (k-2)^2 + 8k = k^2 - 4k + 4 + 8k = k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$
∵$(k+2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴方程有两个实数根。
综上，无论$k$取何值，方程总有实数根。
(2)解方程$kx^2 - (k-2)x -2=0$，对左边因式分解得：$(kx + 2)(x - 1)=0$
解得$x_1=-\dfrac{2}{k}$，$x_2=1$。
∵方程的两个实数根都为正整数，且$x_2=1$是正整数，
∴$x_1=-\dfrac{2}{k}$必须为正整数，且$k$为整数，
则$-\dfrac{2}{k}＞0$，即$k＜0$，且$k$是$-2$的负约数，
∴$k=-1$或$k=-2$。
【答案】
(1)无论$k$取何值，方程总有实数根；(2)整数$k$的值为$-1$或$-2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的整数根
【点评】
本题考查方程根的情况的判断及整数根的求解，关键是注意$k=0$时方程为一次方程的特殊情况，避免漏解；因式分解求根是本题的重要技巧，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需分$k=0$和$k≠0$两种情况讨论方程是否有实根：$k=0$时方程为一次方程，直接判断是否有解；$k≠0$时方程为一元二次方程，通过计算判别式$\Delta$，证明$\Delta≥0$即可。第(2)问先求解方程的两个根，再根据根为正整数的条件，结合$k$是整数，确定$k$的取值。
【解析】
(1)分情况讨论：
①当$k=0$时，原方程化为$2x - 2 = 0$，解得$x=1$，方程有实数根；
②当$k≠0$时，方程为一元二次方程，计算判别式：
$\Delta = [-(k-2)]^2 - 4×k×(-2) = (k-2)^2 + 8k = k^2 - 4k + 4 + 8k = k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$
∵$(k+2)^2≥0$，即$\Delta≥0$，
∴方程有两个实数根。
综上，无论$k$取何值，方程总有实数根。
(2)解方程$kx^2 - (k-2)x -2=0$，对左边因式分解得：$(kx + 2)(x - 1)=0$
解得$x_1=-\dfrac{2}{k}$，$x_2=1$。
∵方程的两个实数根都为正整数，且$x_2=1$是正整数，
∴$x_1=-\dfrac{2}{k}$必须为正整数，且$k$为整数，
则$-\dfrac{2}{k}＞0$，即$k＜0$，且$k$是$-2$的负约数，
∴$k=-1$或$k=-2$。
【答案】
(1)无论$k$取何值，方程总有实数根；(2)整数$k$的值为$-1$或$-2$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的整数根
【点评】
本题考查方程根的情况的判断及整数根的求解，关键是注意$k=0$时方程为一次方程的特殊情况，避免漏解；因式分解求根是本题的重要技巧，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
14. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-2x+m-1=0$ 有两个实数根.
(1)求 $m$ 的取值范围.
(2)设 $p$ 是方程的一个实数根, 且满足 $(p^2-2p+3)(m+4)=7$, 求 $m$ 的值.
(1)求 $m$ 的取值范围.
(2)设 $p$ 是方程的一个实数根, 且满足 $(p^2-2p+3)(m+4)=7$, 求 $m$ 的值.
答案
(1)
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+m-1=0$有两个实数根,
∴Δ=$(-2)^2-4(m-1)≥0$,解得$m≤2$.
(2)
∵$p$是方程的一个实数根,
∴$p^2-2p+m-1=0$,
∴$p^2-2p=1-m$.
∵$(p^2-2p+3)(m+4)=7$,
∴$(1-m+3)(m+4)=7$,即$m^2=9$,解得$m=3$或$m=-3$,又由(1)可知,$m≤2$,
∴$m=-3$.
∵关于$x$的一元二次方程$x^2-2x+m-1=0$有两个实数根,
∴Δ=$(-2)^2-4(m-1)≥0$,解得$m≤2$.
(2)
∵$p$是方程的一个实数根,
∴$p^2-2p+m-1=0$,
∴$p^2-2p=1-m$.
∵$(p^2-2p+3)(m+4)=7$,
∴$(1-m+3)(m+4)=7$,即$m^2=9$,解得$m=3$或$m=-3$,又由(1)可知,$m≤2$,
∴$m=-3$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式求解参数范围；第(2)问利用方程根的定义转化式子，结合第(1)问的范围取舍结果。具体思路：(1)一元二次方程有两个实数根，需满足判别式Δ≥0，代入系数计算不等式得m的范围；(2)将方程的根p代入原方程，得到p²-2p的表达式，代入已知等式得到关于m的方程，求解后结合第(1)问的m范围舍去不符合的值。
【解析】
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^2-2x+m-1=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-1) ≥ 0$，
计算得：$4 - 4(m-1) ≥ 0$，
化简：$4 - 4m + 4 ≥ 0$ → $8 - 4m ≥ 0$，
解得：$m ≤ 2$。
(2)
∵p是方程的一个实数根，
∴将p代入原方程得：$p^2 - 2p + m - 1 = 0$，
移项得：$p^2 - 2p = 1 - m$。
将$p^2 - 2p = 1 - m$代入等式$(p^2 - 2p + 3)(m + 4) = 7$，
得：$(1 - m + 3)(m + 4) = 7$，
化简：$(4 - m)(m + 4) = 7$ → $16 - m^2 = 7$，
整理得：$m^2 = 9$，
解得：$m = 3$或$m = -3$。
结合(1)中$m ≤ 2$，舍去$m = 3$，故$m = -3$。
【答案】
(1) $m ≤ 2$；(2) $m = -3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心考查根的判别式和方程根的定义，解题时需注意两点：一是利用判别式时需准确计算，二是求解后要结合前序条件对结果取舍，避免遗漏范围限制。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用一元二次方程根的判别式求解参数范围；第(2)问利用方程根的定义转化式子，结合第(1)问的范围取舍结果。具体思路：(1)一元二次方程有两个实数根，需满足判别式Δ≥0，代入系数计算不等式得m的范围；(2)将方程的根p代入原方程，得到p²-2p的表达式，代入已知等式得到关于m的方程，求解后结合第(1)问的m范围舍去不符合的值。
【解析】
(1)
∵关于x的一元二次方程$x^2-2x+m-1=0$有两个实数根，
∴判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(m-1) ≥ 0$，
计算得：$4 - 4(m-1) ≥ 0$，
化简：$4 - 4m + 4 ≥ 0$ → $8 - 4m ≥ 0$，
解得：$m ≤ 2$。
(2)
∵p是方程的一个实数根，
∴将p代入原方程得：$p^2 - 2p + m - 1 = 0$，
移项得：$p^2 - 2p = 1 - m$。
将$p^2 - 2p = 1 - m$代入等式$(p^2 - 2p + 3)(m + 4) = 7$，
得：$(1 - m + 3)(m + 4) = 7$，
化简：$(4 - m)(m + 4) = 7$ → $16 - m^2 = 7$，
整理得：$m^2 = 9$，
解得：$m = 3$或$m = -3$。
结合(1)中$m ≤ 2$，舍去$m = 3$，故$m = -3$。
【答案】
(1) $m ≤ 2$；(2) $m = -3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题，核心考查根的判别式和方程根的定义，解题时需注意两点：一是利用判别式时需准确计算，二是求解后要结合前序条件对结果取舍，避免遗漏范围限制。
【难度系数】
0.6
15. 我们规定:对于任意实数 $a$、$b$、$c$、$d$,有 $[a,b]*[c,d]=ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,例如:$[3,2]*[5,1]=3×5-2×1=13$.
(1) 已知 $[x,3]*[x-1,4]$ 的值为 0,求 $x$ 的值.
(2) 若关于 $x$ 的方程 $[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$ 有两个实数根,求 $m$ 的取值范围.
(1) 已知 $[x,3]*[x-1,4]$ 的值为 0,求 $x$ 的值.
(2) 若关于 $x$ 的方程 $[x,2x-1]*[mx+1,m]=0$ 有两个实数根,求 $m$ 的取值范围.
答案
(1)
∵$[x,3]*[x-1,4]=0$,
∴$x(x-1)-12=0$,解得$x_1=4$,$x_2=-3$.
(2)根据题意,得$x(mx+1)-m(2x-1)=0$,整理,得$mx^2+(1-2m)x+m=0$.
∵关于$x$的方程有两个实数根,
∴Δ=$(1-2m)^2-4m·m≥0$且$m≠0$,解得$m≤\dfrac{1}{4}$且$m≠0$.
∵$[x,3]*[x-1,4]=0$,
∴$x(x-1)-12=0$,解得$x_1=4$,$x_2=-3$.
(2)根据题意,得$x(mx+1)-m(2x-1)=0$,整理,得$mx^2+(1-2m)x+m=0$.
∵关于$x$的方程有两个实数根,
∴Δ=$(1-2m)^2-4m·m≥0$且$m≠0$,解得$m≤\dfrac{1}{4}$且$m≠0$.
解析
【分析】
本题是新定义运算的应用，需先明确运算规则：对于有序数对[a,b]与[c,d]，运算结果为ac - bd。第(1)问将对应数对代入规则得到关于x的一元二次方程，解方程即可；第(2)问代入规则得到方程，根据“有两个实数根”判断为一元二次方程，需满足二次项系数不为0且判别式≥0，解不等式得m的范围。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，[x,3]*[x-1,4] = x·(x-1) - 3×4，已知该值为0，因此：
x(x-1) - 12 = 0
展开整理得：x² - x - 12 = 0
因式分解得：(x - 4)(x + 3) = 0
解得：x₁=4，x₂=-3。
(2) 根据新定义运算规则，[x,2x-1]*[mx+1,m] = x·(mx+1) - (2x - 1)·m，该式等于0，因此：
x(mx + 1) - m(2x - 1) = 0
展开并整理得：mx² + (1 - 2m)x + m = 0
因为方程有两个实数根，所以该方程为一元二次方程，需满足：
① 二次项系数m≠0；
② 判别式Δ=(1-2m)² - 4·m·m ≥ 0
计算判别式：Δ=1 - 4m + 4m² - 4m²=1 - 4m ≥ 0，解得m ≤ 1/4
结合①得：m ≤ 1/4且m≠0。
【答案】
(1) x的值为4或-3；(2) m的取值范围是m≤1/4且m≠0。
【知识点】
新定义运算、一元二次方程解法、根的判别式
【点评】
本题考查新定义运算与一元二次方程的综合应用，核心是准确理解新运算规则并转化为常规数学问题，第(2)问需注意“两个实数根”隐含一元二次方程的条件（二次项系数不为0），避免遗漏，是易失分点。
【难度系数】
0.6
本题是新定义运算的应用，需先明确运算规则：对于有序数对[a,b]与[c,d]，运算结果为ac - bd。第(1)问将对应数对代入规则得到关于x的一元二次方程，解方程即可；第(2)问代入规则得到方程，根据“有两个实数根”判断为一元二次方程，需满足二次项系数不为0且判别式≥0，解不等式得m的范围。
【解析】
(1) 根据新定义运算规则，[x,3]*[x-1,4] = x·(x-1) - 3×4，已知该值为0，因此：
x(x-1) - 12 = 0
展开整理得：x² - x - 12 = 0
因式分解得：(x - 4)(x + 3) = 0
解得：x₁=4，x₂=-3。
(2) 根据新定义运算规则，[x,2x-1]*[mx+1,m] = x·(mx+1) - (2x - 1)·m，该式等于0，因此：
x(mx + 1) - m(2x - 1) = 0
展开并整理得：mx² + (1 - 2m)x + m = 0
因为方程有两个实数根，所以该方程为一元二次方程，需满足：
① 二次项系数m≠0；
② 判别式Δ=(1-2m)² - 4·m·m ≥ 0
计算判别式：Δ=1 - 4m + 4m² - 4m²=1 - 4m ≥ 0，解得m ≤ 1/4
结合①得：m ≤ 1/4且m≠0。
【答案】
(1) x的值为4或-3；(2) m的取值范围是m≤1/4且m≠0。
【知识点】
新定义运算、一元二次方程解法、根的判别式
【点评】
本题考查新定义运算与一元二次方程的综合应用，核心是准确理解新运算规则并转化为常规数学问题，第(2)问需注意“两个实数根”隐含一元二次方程的条件（二次项系数不为0），避免遗漏，是易失分点。
【难度系数】
0.6
