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3. 如图,在矩形 $ABCD$ 中, $BC=20\ \mathrm{cm}$, 点 $P$、$Q$、$M$、$N$ 分别从点 $A$、$B$、$C$、$D$ 出发, 沿 $AD$、$BC$、$CB$、$DA$ 方向在矩形的边上同时运动, 当有一个点到达所在运动边的另一个端点时, 所有点即停止运动. 已知在相同时间内, 若 $BQ=x\ \mathrm{cm}(x≠0)$, 则 $AP=2x\ \mathrm{cm}$, $CM=3x\ \mathrm{cm}$, $DN=x^2\ \mathrm{cm}$.
(1) 当 $x$ 为何值时, 点 $P$、$N$ 重合?
(2) 当 $x$ 为何值时, 以 $P$、$Q$、$M$、$N$ 为顶点的四边形是平行四边形?
(1) 当 $x$ 为何值时, 点 $P$、$N$ 重合?
(2) 当 $x$ 为何值时, 以 $P$、$Q$、$M$、$N$ 为顶点的四边形是平行四边形?
答案
3. (1)$\because$点$P、N$重合,$\therefore 2x+x^2=20$,$\therefore x_1=\sqrt{21}-1,x_2=-\sqrt{21}-1$(舍去). 即当$x=\sqrt{21}-1$时,点$P、N$重合.
(2)$\because$当点$N$到达点$A$时,$x=2\sqrt{5}$,此时点$M$和点$Q$还未相遇,$\therefore$点$Q$只能在点$M$的左侧. ①当点$P$在点$N$的左侧时,根据题意,得$20-(x+3x)=20-(2x+x^2)$,解得$x_1=0$(舍去),$x_2=2$,$\therefore$当$x=2$时,四边形$PQMN$是平行四边形;②当点$P$在点$N$的右侧时,根据题意,得$20-(x+3x)=(2x+x^2)-20$,解得$x_1=-10$(舍去),$x_2=4$,$\therefore$当$x=4$时,四边形$NQMP$是平行四边形. 综上所述,当$x=2$或$x=4$时,以$P、Q、M、N$为顶点的四边形是平行四边形.
(2)$\because$当点$N$到达点$A$时,$x=2\sqrt{5}$,此时点$M$和点$Q$还未相遇,$\therefore$点$Q$只能在点$M$的左侧. ①当点$P$在点$N$的左侧时,根据题意,得$20-(x+3x)=20-(2x+x^2)$,解得$x_1=0$(舍去),$x_2=2$,$\therefore$当$x=2$时,四边形$PQMN$是平行四边形;②当点$P$在点$N$的右侧时,根据题意,得$20-(x+3x)=(2x+x^2)-20$,解得$x_1=-10$(舍去),$x_2=4$,$\therefore$当$x=4$时,四边形$NQMP$是平行四边形. 综上所述,当$x=2$或$x=4$时,以$P、Q、M、N$为顶点的四边形是平行四边形.
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形对边相等的性质分析动点的位置关系：
1. 求点P、N重合时的x值：矩形AD边长度等于BC=20cm，点P从A向D运动，点N从D向A运动，两者重合时，走过的路程和等于AD长度，据此列方程求解。
2. 求四边形PQMN为平行四边形时的x值：平行四边形对边相等，Q、M在BC上，P、N在AD上，需先表示BC上QM和AD上PN的长度，再分P在N左侧、右侧两种情况，根据对边相等列方程，舍去不合题意的解。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=20cm。
点P从A出发沿AD向D运动，AP=2x cm；点N从D出发沿DA向A运动，DN=x² cm。
当P、N重合时，AP + DN = AD，即：
2x + x² = 20
整理得：x² + 2x - 20 = 0
由求根公式得：x = [-2 ± √(2² + 4×20)]/2 = -1 ± √21
∵x＞0，舍去负根，
∴x=√21 -1。
(2) 四边形PQMN为平行四边形时，对边QM=PN。
BC上，BQ=x，CM=3x，故QM=20 - x - 3x=20 -4x；
AD上，分两种情况：
① 当P在N左侧时，PN=20 -2x -x²，由QM=PN得：
20 -4x =20 -2x -x² →x² -2x=0，解得x=0（舍去）或x=2；
② 当P在N右侧时，PN=2x +x² -20，由QM=PN得：
20 -4x=2x +x² -20 →x² +6x -40=0，解得x=-10（舍去）或x=4；
综上，x=2或x=4。
【答案】
(1) x=√21 -1；(2) x=2或x=4
【知识点】
矩形性质、动点问题、平行四边形判定、一元二次方程应用
【点评】
本题是矩形背景下的动点综合题，需结合平行四边形性质与一元二次方程求解，关键是分情况讨论动点位置，舍去不合题意的解，考查逻辑分析与方程应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形对边相等的性质分析动点的位置关系：
1. 求点P、N重合时的x值：矩形AD边长度等于BC=20cm，点P从A向D运动，点N从D向A运动，两者重合时，走过的路程和等于AD长度，据此列方程求解。
2. 求四边形PQMN为平行四边形时的x值：平行四边形对边相等，Q、M在BC上，P、N在AD上，需先表示BC上QM和AD上PN的长度，再分P在N左侧、右侧两种情况，根据对边相等列方程，舍去不合题意的解。
【解析】
(1)
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=20cm。
点P从A出发沿AD向D运动，AP=2x cm；点N从D出发沿DA向A运动，DN=x² cm。
当P、N重合时，AP + DN = AD，即：
2x + x² = 20
整理得：x² + 2x - 20 = 0
由求根公式得：x = [-2 ± √(2² + 4×20)]/2 = -1 ± √21
∵x＞0，舍去负根，
∴x=√21 -1。
(2) 四边形PQMN为平行四边形时，对边QM=PN。
BC上，BQ=x，CM=3x，故QM=20 - x - 3x=20 -4x；
AD上，分两种情况：
① 当P在N左侧时，PN=20 -2x -x²，由QM=PN得：
20 -4x =20 -2x -x² →x² -2x=0，解得x=0（舍去）或x=2；
② 当P在N右侧时，PN=2x +x² -20，由QM=PN得：
20 -4x=2x +x² -20 →x² +6x -40=0，解得x=-10（舍去）或x=4；
综上，x=2或x=4。
【答案】
(1) x=√21 -1；(2) x=2或x=4
【知识点】
矩形性质、动点问题、平行四边形判定、一元二次方程应用
【点评】
本题是矩形背景下的动点综合题，需结合平行四边形性质与一元二次方程求解，关键是分情况讨论动点位置，舍去不合题意的解，考查逻辑分析与方程应用能力。
【难度系数】
0.5
1. 若$x^{2}+4x+k=(x+2)^{2}$，则常数$k$的值是（
A.2
B.4
C.1
D.$-4$
B
）A.2
B.4
C.1
D.$-4$
答案
1. B 解析:$x^2+4x+k=(x+2)^2=x^2+4x+4$,$\therefore k=4$.
解析
【分析】要确定常数k的值，需利用完全平方公式将等式右边的式子展开，再根据多项式相等时对应项的系数相等，即可求出k的值，进而选出正确选项。
【解析】根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式右边展开：$(x+2)^2=x^2 + 2· x·2 + 2^2=x^2+4x+4$。已知$x^2+4x+k=(x+2)^2$，即$x^2+4x+k=x^2+4x+4$，对比等式两边的常数项，可得$k=4$。
【答案】B
【知识点】完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式的基本应用，属于整式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对应项系数相等求解，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将等式右边展开：$(x+2)^2=x^2 + 2· x·2 + 2^2=x^2+4x+4$。已知$x^2+4x+k=(x+2)^2$，即$x^2+4x+k=x^2+4x+4$，对比等式两边的常数项，可得$k=4$。
【答案】B
【知识点】完全平方公式
【点评】本题考查完全平方公式的基本应用，属于整式运算的基础题型，解题关键是熟练掌握完全平方公式的展开形式，通过对应项系数相等求解，难度较低。
【难度系数】0.9
2. 若代数式$x^{2}-4x+a$可化为$(x-b)^{2}-1$，则$a+b$的值为（
A.5
B.4
C.3
D.2
A
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
2. A 解析:$\because x^2-4x+a=(x-b)^2-1$,$\therefore x^2-4x+a=x^2-2bx+b^2-1$,$\therefore -2b=-4,a=b^2-1$,$\therefore b=2,a=3$,$\therefore a+b=3+2=5$.
解析
【分析】要解决本题，需利用多项式恒等的性质：两个相等的多项式，对应同类项的系数相等。首先将右边的完全平方式展开，再与左边的多项式对比，分别求出b和a的值，最后计算a+b即可。
【解析】
解：先将等式右边的式子展开：
$(x-b)^2 -1 = x^2 - 2bx + b^2 -1$
因为$x^2 -4x +a = (x-b)^2 -1$，所以两个多项式对应同类项系数相等：
1. 一次项系数：$-2b = -4$，解得$b=2$；
2. 常数项：$a = b^2 -1$，将$b=2$代入得$a=2^2 -1 = 3$；
因此$a+b=3+2=5$。
【答案】A
【知识点】配方法、完全平方公式
【点评】本题考查配方法的应用，核心是利用多项式恒等时对应系数相等的性质求解，属于基础题型，主要考查学生对完全平方公式的掌握及代数运算能力。
【难度系数】0.7
【解析】
解：先将等式右边的式子展开：
$(x-b)^2 -1 = x^2 - 2bx + b^2 -1$
因为$x^2 -4x +a = (x-b)^2 -1$，所以两个多项式对应同类项系数相等：
1. 一次项系数：$-2b = -4$，解得$b=2$；
2. 常数项：$a = b^2 -1$，将$b=2$代入得$a=2^2 -1 = 3$；
因此$a+b=3+2=5$。
【答案】A
【知识点】配方法、完全平方公式
【点评】本题考查配方法的应用，核心是利用多项式恒等时对应系数相等的性质求解，属于基础题型，主要考查学生对完全平方公式的掌握及代数运算能力。
【难度系数】0.7
3. 已知 $M=x^{2}+x,N=3x-1$, 则 $M、N$ 的大小关系是（
A.$M ≥ N$
B.$M＞N$
C.$M ≤ N$
D.$M＜N$
A
）A.$M ≥ N$
B.$M＞N$
C.$M ≤ N$
D.$M＜N$
答案
3. A 解析:$\because M-N=(x^2+x)-(3x-1)=x^2+x-3x+1=x^2-2x+1=(x-1)^2≥0$,$\therefore M≥ N$.
解析
【分析】
要比较两个代数式$M$和$N$的大小，常用作差法：计算$M$与$N$的差，通过判断差的正负性确定两者大小关系。若差$≥0$，则$M≥ N$；若差$≤0$，则$M≤ N$；若差$＞0$，则$M＞N$；若差$＜0$，则$M＜N$。
【解析】
计算$M - N$：
$\begin{aligned}M - N&=(x^2 + x)-(3x - 1)\\&=x^2 + x - 3x + 1\\&=x^2 - 2x + 1\\&=(x - 1)^2\end{aligned}$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(x - 1)^2≥0$，即$M - N≥0$，因此$M≥ N$。
【答案】
A
【知识点】
代数式大小比较、作差法、完全平方公式
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题，核心考查作差法的应用，通过去括号、合并同类项、因式分解得到完全平方形式，利用平方的非负性即可快速得出结论，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
要比较两个代数式$M$和$N$的大小，常用作差法：计算$M$与$N$的差，通过判断差的正负性确定两者大小关系。若差$≥0$，则$M≥ N$；若差$≤0$，则$M≤ N$；若差$＞0$，则$M＞N$；若差$＜0$，则$M＜N$。
【解析】
计算$M - N$：
$\begin{aligned}M - N&=(x^2 + x)-(3x - 1)\\&=x^2 + x - 3x + 1\\&=x^2 - 2x + 1\\&=(x - 1)^2\end{aligned}$
因为任何数的平方都为非负数，所以$(x - 1)^2≥0$，即$M - N≥0$，因此$M≥ N$。
【答案】
A
【知识点】
代数式大小比较、作差法、完全平方公式
【点评】
本题是代数式大小比较的基础题，核心考查作差法的应用，通过去括号、合并同类项、因式分解得到完全平方形式，利用平方的非负性即可快速得出结论，解题思路清晰，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
4. $x^{2}-4x+1=(x-2)^{2}-$
$3$
.答案
4. 3 解析:$x^2-4x+1=x^2-4x+4-3=(x-2)^2-3$.
解析
【分析】这道题考查完全平方公式的应用，解题思路是先将等式右边的完全平方式展开，再与等式左边的多项式对比，通过代数变形求出空缺的常数项。具体步骤：先展开$(x-2)^2$，再将展开后的式子与原式左边作差，即可得到空缺处的数值。
【解析】根据完全平方公式，$(x-2)^2 = x^2 -4x +4$。要使$x^2 -4x +1=(x-2)^2 - \_\_\_\_\_\_$成立，将$(x-2)^2$代入右边得：$x^2 -4x +1 = (x^2 -4x +4) - \mathrm{空缺项}$，因此空缺项为$(x^2 -4x +4)-(x^2 -4x +1)=3$。
【答案】3
【知识点】完全平方公式
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，属于代数运算中的配方法简单题型，主要考查学生对完全平方公式的掌握和基本代数变形能力，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】根据完全平方公式，$(x-2)^2 = x^2 -4x +4$。要使$x^2 -4x +1=(x-2)^2 - \_\_\_\_\_\_$成立，将$(x-2)^2$代入右边得：$x^2 -4x +1 = (x^2 -4x +4) - \mathrm{空缺项}$，因此空缺项为$(x^2 -4x +4)-(x^2 -4x +1)=3$。
【答案】3
【知识点】完全平方公式
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，属于代数运算中的配方法简单题型，主要考查学生对完全平方公式的掌握和基本代数变形能力，难度较低。
【难度系数】0.7
5. 代数式 $x^{2}-6x+25$ 的最小值是
$16$
.答案
5. 16 解析:$x^2-6x+25=x^2-6x+9+16=(x-3)^2+16$.$\because (x-3)^2≥0$,$\therefore (x-3)^2+16≥16$,$\therefore$代数式$x^2-6x+25$的最小值是16.
解析
【分析】求二次代数式的最小值，可通过配方法将其转化为“完全平方项+常数”的形式，利用完全平方项的非负性确定代数式的最小值。具体思路是：对二次项和一次项配方凑成完全平方，再结合平方数的性质分析最值。
【解析】对代数式$x^2 -6x +25$配方：
$x^2 -6x +25 = x^2 -6x +9 +16 = (x -3)^2 +16$
因为任何数的平方都满足$(x -3)^2 ≥0$，所以$(x -3)^2 +16 ≥0 +16 =16$，因此代数式$x^2 -6x +25$的最小值是16。
【答案】16
【知识点】配方法求最值、完全平方公式、非负数的性质
【点评】本题是利用配方法求二次代数式最值的基础题，核心是掌握完全平方公式的变形，结合平方数的非负性即可快速得出结果，属于初中代数的基础考点。
【难度系数】0.8
【解析】对代数式$x^2 -6x +25$配方：
$x^2 -6x +25 = x^2 -6x +9 +16 = (x -3)^2 +16$
因为任何数的平方都满足$(x -3)^2 ≥0$，所以$(x -3)^2 +16 ≥0 +16 =16$，因此代数式$x^2 -6x +25$的最小值是16。
【答案】16
【知识点】配方法求最值、完全平方公式、非负数的性质
【点评】本题是利用配方法求二次代数式最值的基础题，核心是掌握完全平方公式的变形，结合平方数的非负性即可快速得出结果，属于初中代数的基础考点。
【难度系数】0.8
6. 已知代数式$-x^{2}+4x+1$,当$x=$
$2$
时,代数式有最大值,其最大值为$5$
.答案
6. 2 5 解析:$-x^2+4x+1=-(x^2-4x+4-4)+1=-(x-2)^2+5$. 又$\because (x-2)^2≥0$,$\therefore -(x-2)^2≤0$,$\therefore -(x-2)^2+5≤5$,$\therefore$当$x=2$时,代数式有最大值,其最大值为5.
解析
【分析】
要确定代数式$-x^2 + 4x + 1$的最大值及对应$x$的值，需用配方法将二次代数式转化为顶点式，再结合平方的非负性分析最值情况。核心思路是通过配方把原式变形为含完全平方式的形式，利用平方数的性质判断最值。
【解析】
对代数式$-x^2 + 4x + 1$配方：
$\begin{aligned}-x^2 + 4x + 1&=-(x^2 - 4x) + 1\\&=-(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1\\&=-(x - 2)^2 + 4 + 1\\&=-(x - 2)^2 + 5\end{aligned}$
因为$(x - 2)^2 ≥ 0$，所以$-(x - 2)^2 ≤ 0$，则$-(x - 2)^2 + 5 ≤ 5$。当$(x - 2)^2 = 0$时，代数式取得最大值，此时$x = 2$，最大值为5。
【答案】
2；5
【知识点】
配方法求代数式最值，二次函数的最值
【点评】
本题是利用配方法求二次代数式最值的基础题型，核心是将一般式转化为顶点式，结合平方的非负性分析最值，属于常规基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.8
要确定代数式$-x^2 + 4x + 1$的最大值及对应$x$的值，需用配方法将二次代数式转化为顶点式，再结合平方的非负性分析最值情况。核心思路是通过配方把原式变形为含完全平方式的形式，利用平方数的性质判断最值。
【解析】
对代数式$-x^2 + 4x + 1$配方：
$\begin{aligned}-x^2 + 4x + 1&=-(x^2 - 4x) + 1\\&=-(x^2 - 4x + 4 - 4) + 1\\&=-(x - 2)^2 + 4 + 1\\&=-(x - 2)^2 + 5\end{aligned}$
因为$(x - 2)^2 ≥ 0$，所以$-(x - 2)^2 ≤ 0$，则$-(x - 2)^2 + 5 ≤ 5$。当$(x - 2)^2 = 0$时，代数式取得最大值，此时$x = 2$，最大值为5。
【答案】
2；5
【知识点】
配方法求代数式最值，二次函数的最值
【点评】
本题是利用配方法求二次代数式最值的基础题型，核心是将一般式转化为顶点式，结合平方的非负性分析最值，属于常规基础题，解题思路清晰，步骤明确。
【难度系数】
0.8
7. 某品牌服装进价为每件 60 元，当售价为 80 元时，平均每天可售出 50 件. 为了增加销售量，提高盈利，并尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经市场调查发现：如果每件服装降价 1 元，那么平均每天就可多售出 5 件.
(1)若想平均每天销售这种服装盈利 1 080 元，则每件服装应降价多少元？
(2)用配方法证明：若想盈利最多，则每件服装销售价应定为多少元？
(1)若想平均每天销售这种服装盈利 1 080 元，则每件服装应降价多少元？
(2)用配方法证明：若想盈利最多，则每件服装销售价应定为多少元？
答案
7. (1)设每件服装应降价$x$元. 根据题意,得$(80-60-x)(50+5x)=1080$,整理,得$x^2-10x+16=0$,即$(x-2)(x-8)=0$,解得$x_1=2,x_2=8$.$\because$需要尽量减少库存,$\therefore x_1=2$舍去,故每件服装应降价8元.
(2)根据题意,得利润$y=(80-60-x)(50+5x)=-5x^2+50x+1000=-5(x-5)^2+1125$,$\therefore$当$x=5$时,利润$y$最大,即若想利润最多,每件服装销售价应定为$80-5=75$(元).
(2)根据题意,得利润$y=(80-60-x)(50+5x)=-5x^2+50x+1000=-5(x-5)^2+1125$,$\therefore$当$x=5$时,利润$y$最大,即若想利润最多,每件服装销售价应定为$80-5=75$(元).
解析
【分析】
解决这类利润问题的核心是利用“总利润=每件利润×销售量”的数量关系。第(1)问需设降价金额为未知数，结合总利润列一元二次方程，再根据“尽量减少库存”的条件筛选解；第(2)问需建立总利润关于降价的二次函数，用配方法将函数化为顶点式，找到利润最大时的降价，进而确定售价。
【解析】
(1)设每件服装应降价$x$元。
根据总利润公式，每件利润为$(80 - 60 - x)$元，销售量为$(50 + 5x)$件，可列方程：
$(80 - 60 - x)(50 + 5x) = 1080$
整理得：$(20 - x)(50 + 5x) = 1080$
展开并化简：$-5x^2 + 50x + 1000 = 1080$，即$x^2 - 10x + 16 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 8) = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 8$。
因为要尽量减少库存，降价越多销售量越大，所以舍去$x = 2$，故每件服装应降价8元。
(2)设总利润为$y$元，根据题意得：
$y = (80 - 60 - x)(50 + 5x) = -5x^2 + 50x + 1000$
用配方法变形：
$y = -5(x^2 - 10x) + 1000 = -5[(x - 5)^2 - 25] + 1000 = -5(x - 5)^2 + 1125$
因为$-5 ＜ 0$，函数图象开口向下，当$x = 5$时，$y$取最大值。此时售价为$80 - 5 = 75$元，即盈利最多时售价定为75元。
【答案】
(1)每件服装应降价8元；(2)每件服装销售价应定为75元。
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的应用、配方法求最值
【点评】
本题为实际应用类的利润问题，考查数学建模能力与配方法的运用，需注意第(1)问的解的取舍条件，整体难度适中，是初中数学的重点题型。
【难度系数】
0.6
解决这类利润问题的核心是利用“总利润=每件利润×销售量”的数量关系。第(1)问需设降价金额为未知数，结合总利润列一元二次方程，再根据“尽量减少库存”的条件筛选解；第(2)问需建立总利润关于降价的二次函数，用配方法将函数化为顶点式，找到利润最大时的降价，进而确定售价。
【解析】
(1)设每件服装应降价$x$元。
根据总利润公式，每件利润为$(80 - 60 - x)$元，销售量为$(50 + 5x)$件，可列方程：
$(80 - 60 - x)(50 + 5x) = 1080$
整理得：$(20 - x)(50 + 5x) = 1080$
展开并化简：$-5x^2 + 50x + 1000 = 1080$，即$x^2 - 10x + 16 = 0$
因式分解得：$(x - 2)(x - 8) = 0$
解得$x_1 = 2$，$x_2 = 8$。
因为要尽量减少库存，降价越多销售量越大，所以舍去$x = 2$，故每件服装应降价8元。
(2)设总利润为$y$元，根据题意得：
$y = (80 - 60 - x)(50 + 5x) = -5x^2 + 50x + 1000$
用配方法变形：
$y = -5(x^2 - 10x) + 1000 = -5[(x - 5)^2 - 25] + 1000 = -5(x - 5)^2 + 1125$
因为$-5 ＜ 0$，函数图象开口向下，当$x = 5$时，$y$取最大值。此时售价为$80 - 5 = 75$元，即盈利最多时售价定为75元。
【答案】
(1)每件服装应降价8元；(2)每件服装销售价应定为75元。
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的应用、配方法求最值
【点评】
本题为实际应用类的利润问题，考查数学建模能力与配方法的运用，需注意第(1)问的解的取舍条件，整体难度适中，是初中数学的重点题型。
【难度系数】
0.6
