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8. 阅读理解: “$a^2 ≥ 0$”这个结论在数学中非常有用,我们在将代数式配成完全平方式并求最值时会用到. 例如: $x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1. \because (x+2)^2 ≥ 0, \therefore (x+2)^2+1 ≥ 1. \therefore x^2+4x+5 ≥ 1$.
请根据以上信息,解决下列问题.
(1) 填空: $x^2-8x+20=(x \_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_$.
(2) 已知 $x^2-2xy+2y^2+2y+1=0$, 则 $x+y$ 的值为
(3) 若 $A=2x^2-1, B=4x-4$, 请比较 $A$ 与 $B$ 的大小, 并说明理由.
请根据以上信息,解决下列问题.
(1) 填空: $x^2-8x+20=(x \_\_\_\_\_\_)^2+\_\_\_\_\_\_$.
(2) 已知 $x^2-2xy+2y^2+2y+1=0$, 则 $x+y$ 的值为
$-2$
.(3) 若 $A=2x^2-1, B=4x-4$, 请比较 $A$ 与 $B$ 的大小, 并说明理由.
答案
8. (1)$-4$ 4 解析:$x^2-8x+20=x^2-8x+16+4=(x-4)^2+4$.
(2)$-2$ 解析:$\because x^2-2xy+2y^2+2y+1=0$,$\therefore x^2-2xy+y^2+y^2+2y+1=0$,$\therefore (x-y)^2+(y+1)^2=0$,$\therefore x-y=0,y+1=0$,$\therefore x=-1,y=-1$,$\therefore x+y=-2$.
(3)$A＞B$,理由如下:$A-B=(2x^2-1)-(4x-4)=2x^2-1-4x+4=2x^2-4x+2=2(x-1)^2+1$.$\because (x-1)^2≥0$,$\therefore 2(x-1)^2+1≥1$,$\therefore A＞B$.
(2)$-2$ 解析:$\because x^2-2xy+2y^2+2y+1=0$,$\therefore x^2-2xy+y^2+y^2+2y+1=0$,$\therefore (x-y)^2+(y+1)^2=0$,$\therefore x-y=0,y+1=0$,$\therefore x=-1,y=-1$,$\therefore x+y=-2$.
(3)$A＞B$,理由如下:$A-B=(2x^2-1)-(4x-4)=2x^2-1-4x+4=2x^2-4x+2=2(x-1)^2+1$.$\because (x-1)^2≥0$,$\therefore 2(x-1)^2+1≥1$,$\therefore A＞B$.
解析
【分析】
本题围绕配方法的应用展开，核心是利用完全平方公式将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，结合平方数的非负性解决问题。第(1)题直接对二次式配方，确定完全平方式的底数和常数项；第(2)题将等式拆分为两个完全平方式的和，根据平方非负性求出x、y的值，进而计算x+y；第(3)题通过作差法比较A与B的大小，对差式配方后利用平方非负性判断差的正负，得出结论。
【解析】
(1) 对代数式$x^2 -8x +20$进行配方：
$x^2 -8x +20 = x^2 -8x +16 +4 = (x -4)^2 +4$，故填空依次为$-4$、$4$。
(2) 对等式$x^2 -2xy +2y^2 +2y +1=0$变形，拆分完全平方式：
$x^2 -2xy + y^2 + y^2 +2y +1 = 0$，即$(x - y)^2 + (y +1)^2 = 0$。
因为平方数非负，所以$(x - y)^2 ≥0$，$(y +1)^2 ≥0$，要使两式和为0，则：
$x - y = 0$，$y +1 =0$，解得$y=-1$，$x=y=-1$，因此$x+y = -1 + (-1) = -2$。
(3) 比较$A$与$B$的大小，采用作差法：
$A - B = (2x^2 -1) - (4x -4) = 2x^2 -1 -4x +4 = 2x^2 -4x +2$，
对差式配方得：$2x^2 -4x +2 = 2(x -1)^2 +1$。
因为$(x -1)^2 ≥0$，所以$2(x -1)^2 +1 ≥1 ＞0$，即$A - B ＞0$，故$A ＞ B$。
【答案】
(1)$-4$，$4$；(2)$-2$；(3)$A＞B$
【知识点】
配方法、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型基础题型，通过配方法将代数式转化为完全平方式，利用平方的非负性解决代数式变形、求值及大小比较问题，需熟练掌握配方法的操作，是初中代数的核心知识点应用。
【难度系数】
0.6
本题围绕配方法的应用展开，核心是利用完全平方公式将代数式转化为“完全平方式+常数”的形式，结合平方数的非负性解决问题。第(1)题直接对二次式配方，确定完全平方式的底数和常数项；第(2)题将等式拆分为两个完全平方式的和，根据平方非负性求出x、y的值，进而计算x+y；第(3)题通过作差法比较A与B的大小，对差式配方后利用平方非负性判断差的正负，得出结论。
【解析】
(1) 对代数式$x^2 -8x +20$进行配方：
$x^2 -8x +20 = x^2 -8x +16 +4 = (x -4)^2 +4$，故填空依次为$-4$、$4$。
(2) 对等式$x^2 -2xy +2y^2 +2y +1=0$变形，拆分完全平方式：
$x^2 -2xy + y^2 + y^2 +2y +1 = 0$，即$(x - y)^2 + (y +1)^2 = 0$。
因为平方数非负，所以$(x - y)^2 ≥0$，$(y +1)^2 ≥0$，要使两式和为0，则：
$x - y = 0$，$y +1 =0$，解得$y=-1$，$x=y=-1$，因此$x+y = -1 + (-1) = -2$。
(3) 比较$A$与$B$的大小，采用作差法：
$A - B = (2x^2 -1) - (4x -4) = 2x^2 -1 -4x +4 = 2x^2 -4x +2$，
对差式配方得：$2x^2 -4x +2 = 2(x -1)^2 +1$。
因为$(x -1)^2 ≥0$，所以$2(x -1)^2 +1 ≥1 ＞0$，即$A - B ＞0$，故$A ＞ B$。
【答案】
(1)$-4$，$4$；(2)$-2$；(3)$A＞B$
【知识点】
配方法、完全平方公式、平方的非负性
【点评】
本题是配方法的典型基础题型，通过配方法将代数式转化为完全平方式，利用平方的非负性解决代数式变形、求值及大小比较问题，需熟练掌握配方法的操作，是初中代数的核心知识点应用。
【难度系数】
0.6
1. (2025·扬州)关于一元二次方程$x^{2}-3x+1=0$的根的情况,下列结论正确的是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断根的情况
答案
1. A 解析:$\because \Delta=(-3)^2-4×1×1=5＞0$,$\therefore$方程$x^2-3x+1=0$有两个不相等的实数根.
解析
【分析】要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式Δ=b²-4ac：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根。首先确定方程x²-3x+1=0中a、b、c的取值，再计算判别式Δ的值，根据结果判断根的情况即可。
【解析】对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），根的判别式Δ=b²-4ac。在方程x²-3x+1=0中，a=1，b=-3，c=1，代入得：Δ=(-3)² - 4×1×1=9-4=5＞0，因此该方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，只要掌握判别式的计算方法及根的情况与判别式的关系，就能快速得出答案，是中考常见的基础考点。
【难度系数】0.9
【解析】对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），根的判别式Δ=b²-4ac。在方程x²-3x+1=0中，a=1，b=-3，c=1，代入得：Δ=(-3)² - 4×1×1=9-4=5＞0，因此该方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，只要掌握判别式的计算方法及根的情况与判别式的关系，就能快速得出答案，是中考常见的基础考点。
【难度系数】0.9
2. (2025·湖北)一元二次方程 $x^{2}-4x+3=0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$,下列结论正确的是（
A.$x_{1}+x_{2}=-4$
B.$x_{1}+x_{2}=3$
C.$x_{1}x_{2}=4$
D.$x_{1}x_{2}=3$
D
）A.$x_{1}+x_{2}=-4$
B.$x_{1}+x_{2}=3$
C.$x_{1}x_{2}=4$
D.$x_{1}x_{2}=3$
答案
2. D 解析:$\because$一元二次方程$x^2-4x+3=0$的两个实数根分别为$x_1、x_2$,$\therefore x_1+x_2=-\dfrac{-4}{1}=4$,$x_1x_2=\dfrac{3}{1}=3$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。首先确定题目中方程的$a$、$b$、$c$的值，再代入公式计算，最后对比选项得出正确结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$。根据韦达定理：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$，故选项A、B错误；
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$，故选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的基础应用，属于直接套用公式的题目，只要牢记韦达定理公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，需利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。首先确定题目中方程的$a$、$b$、$c$的值，再代入公式计算，最后对比选项得出正确结论。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 - 4x + 3 = 0$，其中$a=1$，$b=-4$，$c=3$。根据韦达定理：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-4}{1} = 4$，故选项A、B错误；
两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3}{1} = 3$，故选项C错误，选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的基础应用，属于直接套用公式的题目，只要牢记韦达定理公式即可快速解答，难度较低。
【难度系数】
0.9
3. (2025·内江)若关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^{2}+2x+1=0$有实数根，则实数$a$的取值范围是（
A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
C
）A.$a ≤ 2$
B.$a ＜ 2$
C.$a ≤ 2$且$a ≠ 1$
D.$a ＜ 2$且$a ≠ 1$
答案
3. C 解析:$\because$关于$x$的一元二次方程$(a-1)x^2+2x+1=0$有实数根,$\therefore \begin{cases} a-1≠0, \\ 2^2-4×(a-1)×1≥0, \end{cases}$解得$a≤2$且$a≠1$,$\therefore$实数$a$的取值范围是$a≤2$且$a≠1$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两个关键条件思考：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是一元二次方程的定义要求；其次，一元二次方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，据此列出不等式组，解不等式组时要同时满足两个条件，不能遗漏二次项系数不为0的限制。
【解析】
解：
∵方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程且有实数根，
∴需同时满足以下两个条件：
1. 一元二次方程的二次项系数不为0：$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$；
2. 一元二次方程有实数根的判别式条件：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，当$\Delta ≥ 0$时方程有实根。
本题中$A=a-1$，$B=2$，$C=1$，因此$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$，
化简计算：$4 - 4(a - 1) ≥ 0$ → $4 - 4a + 4 ≥ 0$ → $8 - 4a ≥ 0$ → $a ≤ 2$；
结合两个条件，解得$a ≤ 2$且$a ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程有实数根的取值范围，核心是需同时满足“二次项系数不为0”和“判别式≥0”两个条件，属于基础题型，易错点为忽略二次项系数不为0的限制。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两个关键条件思考：首先，题目明确是一元二次方程，因此二次项系数不能为0，这是一元二次方程的定义要求；其次，一元二次方程有实数根，需满足根的判别式Δ≥0，据此列出不等式组，解不等式组时要同时满足两个条件，不能遗漏二次项系数不为0的限制。
【解析】
解：
∵方程$(a-1)x^2+2x+1=0$是一元二次方程且有实数根，
∴需同时满足以下两个条件：
1. 一元二次方程的二次项系数不为0：$a - 1 ≠ 0$，即$a ≠ 1$；
2. 一元二次方程有实数根的判别式条件：对于一元二次方程$Ax^2+Bx+C=0$，根的判别式$\Delta = B^2 - 4AC$，当$\Delta ≥ 0$时方程有实根。
本题中$A=a-1$，$B=2$，$C=1$，因此$\Delta = 2^2 - 4×(a-1)×1 ≥ 0$，
化简计算：$4 - 4(a - 1) ≥ 0$ → $4 - 4a + 4 ≥ 0$ → $8 - 4a ≥ 0$ → $a ≤ 2$；
结合两个条件，解得$a ≤ 2$且$a ≠ 1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义、根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程有实数根的取值范围，核心是需同时满足“二次项系数不为0”和“判别式≥0”两个条件，属于基础题型，易错点为忽略二次项系数不为0的限制。
【难度系数】
0.6
4. (2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为 （
A.$10\%$
B.$20\%$
C.$22\%$
D.$44\%$
B
）A.$10\%$
B.$20\%$
C.$22\%$
D.$44\%$
答案
4. B 解析:设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$x$. 根据题意,得$25(1+x)^2=36$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=-2.2$(不符合题意,舍去),$\therefore$该景区这两年接待游客的年平均增长率为$20\%$.
解析
【分析】
本题是增长率相关的一元二次方程应用题，解题思路为：1. 回忆年平均增长率公式：若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，经过$n$年后的量为$a(1+x)^n$；2. 确定本题初始量（2022年游客数25万人）、时间（经过2年到2024年）、最终量（36万人）；3. 根据公式列一元二次方程；4. 解方程后，结合实际意义舍去负的增长率，得到正确结果，对应选项。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$x$。
根据题意，2022年游客数经过2年增长到2024年的游客数，可列方程：
$25(1+x)^2 = 36$
解方程：
$(1+x)^2 = \frac{36}{25}$
开平方得：$1+x = \pm\frac{6}{5}$
解得：$x_1 = \frac{6}{5} -1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -\frac{6}{5} -1 = -2.2$
因为年平均增长率不能为负数（游客数为增长趋势，增长率需为正），所以舍去$x_2=-2.2$。
因此，年平均增长率为$20\%$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题为一元二次方程在增长率问题中的基础应用题，核心是掌握增长率计算公式，需注意舍去不符合实际意义的负解，属于学生易掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
本题是增长率相关的一元二次方程应用题，解题思路为：1. 回忆年平均增长率公式：若初始量为$a$，年平均增长率为$x$，经过$n$年后的量为$a(1+x)^n$；2. 确定本题初始量（2022年游客数25万人）、时间（经过2年到2024年）、最终量（36万人）；3. 根据公式列一元二次方程；4. 解方程后，结合实际意义舍去负的增长率，得到正确结果，对应选项。
【解析】
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为$x$。
根据题意，2022年游客数经过2年增长到2024年的游客数，可列方程：
$25(1+x)^2 = 36$
解方程：
$(1+x)^2 = \frac{36}{25}$
开平方得：$1+x = \pm\frac{6}{5}$
解得：$x_1 = \frac{6}{5} -1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -\frac{6}{5} -1 = -2.2$
因为年平均增长率不能为负数（游客数为增长趋势，增长率需为正），所以舍去$x_2=-2.2$。
因此，年平均增长率为$20\%$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的应用、增长率问题
【点评】
本题为一元二次方程在增长率问题中的基础应用题，核心是掌握增长率计算公式，需注意舍去不符合实际意义的负解，属于学生易掌握的常规题型。
【难度系数】
0.7
5. (2025·河北)若一元二次方程 $x(x+2)-3=0$ 的两根之和与两根之积分别为 $m$、$n$,则点$(m,n)$在平面直角坐标系中位于（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
5. C 解析:整理,得$x^2+2x-3=0$,$\therefore m=-\dfrac{2}{1}=-2$,$n=\dfrac{-3}{1}=-3$,$\therefore$点$(m,n)$位于第三象限.
解析
【分析】
要解决这个问题，需先将给定的一元二次方程整理为标准形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$m$与两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限点的坐标特征判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
1. 整理方程：原方程$x(x+2)-3=0$展开并整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
2. 利用韦达定理求$m$、$n$：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$。代入得：$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$。
3. 判断象限：点$(m,n)$为$(-2,-3)$，横坐标为负，纵坐标为负，根据平面直角坐标系象限特征，横坐标负、纵坐标负的点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查韦达定理的应用和平面直角坐标系象限的坐标特征，解题关键是正确整理方程并熟练运用韦达定理，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需先将给定的一元二次方程整理为标准形式，再利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和$m$与两根之积$n$，最后根据平面直角坐标系中各象限点的坐标特征判断点$(m,n)$所在的象限。
【解析】
1. 整理方程：原方程$x(x+2)-3=0$展开并整理为一元二次方程的标准形式：$x^2 + 2x - 3 = 0$，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=2$，常数项$c=-3$。
2. 利用韦达定理求$m$、$n$：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，两根之和$m=-\frac{b}{a}$，两根之积$n=\frac{c}{a}$。代入得：$m=-\frac{2}{1}=-2$，$n=\frac{-3}{1}=-3$。
3. 判断象限：点$(m,n)$为$(-2,-3)$，横坐标为负，纵坐标为负，根据平面直角坐标系象限特征，横坐标负、纵坐标负的点位于第三象限。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；平面直角坐标系象限判断
【点评】
本题属于基础题，主要考查韦达定理的应用和平面直角坐标系象限的坐标特征，解题关键是正确整理方程并熟练运用韦达定理，难度较低。
【难度系数】
0.7
6. (2025·苏州) 已知 $x_{1}$、$x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2x-m=0$ 的两个实数根,其中 $x_{1}=1$,则 $x_{2}=$
$-3$
.答案
6. $-3$ 解析:$\because x_1、x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=-2$. 又$\because x_1=1$,$\therefore x_2=-2-x_1=-2-1=-3$.
解析
【分析】
本题给出一元二次方程的两个实数根，已知其中一个根求另一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，据此列出两根的和的等式，代入已知根即可算出未知根。
【解析】
因为$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，其中$a=1$，$b=2$，所以$x_1+x_2=-2$。已知$x_1=1$，代入得：$x_2=-2 - x_1=-2 -1=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的基础应用，属于常规基础题，直接运用韦达定理即可快速得出结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
本题给出一元二次方程的两个实数根，已知其中一个根求另一个根，可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解。对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，两根之和为$-\frac{b}{a}$，据此列出两根的和的等式，代入已知根即可算出未知根。
【解析】
因为$x_1$、$x_2$是一元二次方程$x^2+2x-m=0$的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，其中$a=1$，$b=2$，所以$x_1+x_2=-2$。已知$x_1=1$，代入得：$x_2=-2 - x_1=-2 -1=-3$。
【答案】
$-3$
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数关系的基础应用，属于常规基础题，直接运用韦达定理即可快速得出结果，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
7. (2025·上海) 已知一元二次方程$2x^{2}+x+m=0$没有实数根，则$m$的取值范围是
$m＞\dfrac{1}{8}$
.答案
7. $m＞\dfrac{1}{8}$ 解析:$\because$一元二次方程$2x^2+x+m=0$没有实数根,$\therefore \Delta=1^2-4×2× m=1-8m＜0$,$\therefore m＞\dfrac{1}{8}$.
解析
【分析】要确定一元二次方程中参数$m$的取值范围，需利用一元二次方程根的判别式与根的关系：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac＜0$时，方程没有实数根。本题中方程为$2x^2+x+m=0$，先确定$a=2$、$b=1$、$c=m$，再根据“无实数根”得出$\Delta＜0$，代入判别式公式得到关于$m$的不等式，解此不等式即可得到$m$的范围。
【解析】因为一元二次方程$2x^2+x+m=0$没有实数根，所以其判别式$\Delta＜0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，代入本题中$a=2$，$b=1$，$c=m$，得：
$\Delta=1^2 - 4×2×m = 1 - 8m$
令$\Delta＜0$，即：
$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$-8m ＜ -1$
两边同时除以$-8$（不等号方向改变），得：$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，核心是掌握判别式与根的对应关系，计算过程简单，只要细心即可正确解答。
【难度系数】0.7
【解析】因为一元二次方程$2x^2+x+m=0$没有实数根，所以其判别式$\Delta＜0$。
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$\Delta=b^2-4ac$，代入本题中$a=2$，$b=1$，$c=m$，得：
$\Delta=1^2 - 4×2×m = 1 - 8m$
令$\Delta＜0$，即：
$1 - 8m ＜ 0$
移项得：$-8m ＜ -1$
两边同时除以$-8$（不等号方向改变），得：$m ＞ \frac{1}{8}$
【答案】$m＞\dfrac{1}{8}$
【知识点】一元二次方程根的判别式
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，核心是掌握判别式与根的对应关系，计算过程简单，只要细心即可正确解答。
【难度系数】0.7
8. (2025·绥化) 已知 $m$、$n$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 2025x + 1 = 0$ 的两个根, 则 $(m+1)(n+1)=$
$2027$
.答案
8. 2027 解析:$\because m、n$是关于$x$的一元二次方程$x^2-2025x+1=0$的两个根,$\therefore m+n=2025$,$mn=1$,$\therefore (m+1)(n+1)=mn+m+n+1=1+2025+1=2027$.
解析
【分析】本题给出一元二次方程的两个根，要求计算含两根的代数式的值，解题思路是先利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出两根之和与两根之积，再将所求代数式展开变形，代入已求得的两根和与积进行计算。
【解析】因为$m$、$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，这里$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，所以$m+n=2025$，$mn=1$。将$(m+1)(n+1)$展开得：$mn + m + n + 1$，把$m+n=2025$，$mn=1$代入，可得$1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】2027
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题，核心是掌握韦达定理并能对代数式进行合理变形，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
【解析】因为$m$、$n$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2025x + 1 = 0$的两个根，根据韦达定理，对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），两根之和$m+n=-\frac{b}{a}$，两根之积$mn=\frac{c}{a}$，这里$a=1$，$b=-2025$，$c=1$，所以$m+n=2025$，$mn=1$。将$(m+1)(n+1)$展开得：$mn + m + n + 1$，把$m+n=2025$，$mn=1$代入，可得$1 + 2025 + 1 = 2027$。
【答案】2027
【知识点】一元二次方程根与系数的关系，代数式求值
【点评】本题属于一元二次方程根与系数关系的基础应用题，核心是掌握韦达定理并能对代数式进行合理变形，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.8
9. (2025·泸州)若一元二次方程$2x^{2}-6x-1=0$的两根分别为$α$、$β$，则$2α^{2}-3α+3β$的值为
$10$
。答案
9. 10 解析:将$x=α$代入原方程,得$2α^2-6α-1=0$,$\therefore 2α^2-6α=1$.$\because$一元二次方程$2x^2-6x-1=0$的两根分别为$α、β$,$\therefore α+β=3$,$\therefore 2α^2-3α+3β=(2α^2-6α)+3(α+β)=1+3×3=10$.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合一元二次方程根的定义和韦达定理（根与系数的关系）。首先，利用α是方程的根，将α代入原方程得到关于α的关系式，对所求代数式进行降次变形；再根据韦达定理求出两根之和α+β的值，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：
∵α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴将$x=α$代入原方程得：$2α^2 -6α -1=0$，
移项可得：$2α^2 -6α =1$。
又
∵一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α$、$β$，根据韦达定理，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = \frac{6}{2}=3$。
对所求代数式$2α^2 -3α +3β$变形：
$2α^2 -3α +3β = (2α^2 -6α) + 3α +3β = (2α^2 -6α) +3(α +β)$，
将$2α^2 -6α=1$、$α+β=3$代入得：
原式$=1 +3×3=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式变形
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义与韦达定理的应用，核心是通过根的定义降次、结合韦达定理简化计算，属于基础题型，需熟练掌握相关知识点。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，需结合一元二次方程根的定义和韦达定理（根与系数的关系）。首先，利用α是方程的根，将α代入原方程得到关于α的关系式，对所求代数式进行降次变形；再根据韦达定理求出两根之和α+β的值，最后代入变形后的式子计算即可。
【解析】
解：
∵α是一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的根，
∴将$x=α$代入原方程得：$2α^2 -6α -1=0$，
移项可得：$2α^2 -6α =1$。
又
∵一元二次方程$2x^2 -6x -1=0$的两根为$α$、$β$，根据韦达定理，两根之和$α+β = -\frac{b}{a} = \frac{6}{2}=3$。
对所求代数式$2α^2 -3α +3β$变形：
$2α^2 -3α +3β = (2α^2 -6α) + 3α +3β = (2α^2 -6α) +3(α +β)$，
将$2α^2 -6α=1$、$α+β=3$代入得：
原式$=1 +3×3=10$。
【答案】
10
【知识点】
一元二次方程根的定义；韦达定理；代数式变形
【点评】
本题综合考查一元二次方程根的定义与韦达定理的应用，核心是通过根的定义降次、结合韦达定理简化计算，属于基础题型，需熟练掌握相关知识点。
【难度系数】
0.7
