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10. (2025·齐齐哈尔)解方程:$x^{2}-7x=-12.$
答案
10. 整理,得$x^2-7x+12=0$,$\therefore (x-4)(x-3)=0$,$\therefore x_1=4,x_2=3$.
解析
【分析】解一元二次方程时，首先将方程整理为一般形式，再通过因式分解将二次式转化为两个一次式的乘积，利用“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”的性质，转化为两个一元一次方程求解。本题先把方程右边的-12移到左边，得到标准的一元二次方程，再对左边的二次三项式因式分解，进而求出方程的解。
【解析】移项，得$x^2 -7x +12 =0$，因式分解，得$(x-4)(x-3)=0$，则$x-4=0$或$x-3=0$，解得$x_1=4$，$x_2=3$。
【答案】$x_1=4$，$x_2=3$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基本解法，属于基础题型，步骤清晰，难度较低，适合巩固一元二次方程的求解方法。
【难度系数】0.9
【解析】移项，得$x^2 -7x +12 =0$，因式分解，得$(x-4)(x-3)=0$，则$x-4=0$或$x-3=0$，解得$x_1=4$，$x_2=3$。
【答案】$x_1=4$，$x_2=3$
【知识点】一元二次方程的解法、因式分解法
【点评】本题考查一元二次方程的基本解法，属于基础题型，步骤清晰，难度较低，适合巩固一元二次方程的求解方法。
【难度系数】0.9
11. (2025·威海)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为$24\ \mathrm{m}^2$的9个矩形地块,请求出小路的宽度.
答案
11. 设小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$,则9个矩形地块可合成长为$(20-4x)\mathrm{m}$、宽为$(14-4x)\mathrm{m}$的矩形. 根据题意,得$(20-4x)(14-4x)=24×9$,整理,得$2x^2-17x+8=0$,解得$x_1=\dfrac{1}{2}$,$x_2=8$(不符合题意,舍去). 答:小路的宽度为$\dfrac{1}{2}\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先观察图形，9个矩形地块按3行3列排列，四周和内部的小路宽度相同，设为$x\ \mathrm{m}$。将9个小矩形地块合并，可得到一个大矩形，这个大矩形的长等于原种植园的长减去4个小路宽度（左右各1条，中间2条，共4条），宽等于原种植园的宽减去4个小路宽度（上下各1条，中间2条，共4条）。再根据“9个矩形地块的总面积=每个地块面积×9”这一等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到小路的宽度。
【解析】
设小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
因为9个矩形地块按3行3列排列，所以合并后大矩形的长为$(20 - 4x)\ \mathrm{m}$，宽为$(14 - 4x)\ \mathrm{m}$。
已知每个小矩形地块面积为$24\ \mathrm{m}^2$，则9个地块总面积为$24×9 = 216\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得方程：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 216$
展开并整理方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216 \\16x^2 - 136x + 64 = 0 \\两边同时除以8得：2x^2 - 17x + 8 = 0$
解方程，利用求根公式：
判别式$\Delta = (-17)^2 - 4×2×8 = 225$，
则$x = \frac{17±15}{4}$，
解得$x_1 = 8$，$x_2 = \frac{1}{2}$。
检验解的合理性：当$x=8$时，$20 - 4×8 = -12 ＜ 0$，不符合实际长度要求，舍去；当$x=\frac{1}{2}$时，$20 - 4×\frac{1}{2}=18＞0$，$14 - 4×\frac{1}{2}=12＞0$，符合题意。
【答案】
小路的宽度为$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程应用题，核心是用整体思想将分散的小矩形合并为大矩形，简化计算；解题时需注意结合实际意义检验解，舍去不符合题意的结果，避免出错。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先观察图形，9个矩形地块按3行3列排列，四周和内部的小路宽度相同，设为$x\ \mathrm{m}$。将9个小矩形地块合并，可得到一个大矩形，这个大矩形的长等于原种植园的长减去4个小路宽度（左右各1条，中间2条，共4条），宽等于原种植园的宽减去4个小路宽度（上下各1条，中间2条，共4条）。再根据“9个矩形地块的总面积=每个地块面积×9”这一等量关系，列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到小路的宽度。
【解析】
设小路的宽度为$x\ \mathrm{m}$。
因为9个矩形地块按3行3列排列，所以合并后大矩形的长为$(20 - 4x)\ \mathrm{m}$，宽为$(14 - 4x)\ \mathrm{m}$。
已知每个小矩形地块面积为$24\ \mathrm{m}^2$，则9个地块总面积为$24×9 = 216\ \mathrm{m}^2$，根据矩形面积公式可得方程：
$(20 - 4x)(14 - 4x) = 216$
展开并整理方程：
$280 - 136x + 16x^2 = 216 \\16x^2 - 136x + 64 = 0 \\两边同时除以8得：2x^2 - 17x + 8 = 0$
解方程，利用求根公式：
判别式$\Delta = (-17)^2 - 4×2×8 = 225$，
则$x = \frac{17±15}{4}$，
解得$x_1 = 8$，$x_2 = \frac{1}{2}$。
检验解的合理性：当$x=8$时，$20 - 4×8 = -12 ＜ 0$，不符合实际长度要求，舍去；当$x=\frac{1}{2}$时，$20 - 4×\frac{1}{2}=18＞0$，$14 - 4×\frac{1}{2}=12＞0$，符合题意。
【答案】
小路的宽度为$\frac{1}{2}\ \mathrm{m}$
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积计算
【点评】
本题是典型的面积类一元二次方程应用题，核心是用整体思想将分散的小矩形合并为大矩形，简化计算；解题时需注意结合实际意义检验解，舍去不符合题意的结果，避免出错。
【难度系数】
0.5
12. (2025·南充) 设 $x_1$、$x_2$ 是关于 $x$ 的方程 $(x-1)(x-2)=m^2$ 的两根.
(1) 当 $x_1=-1$ 时,求 $x_2$ 及 $m$ 的值.
(2) 求证: $(x_1-1)(x_2-1)≤ 0.$
(1) 当 $x_1=-1$ 时,求 $x_2$ 及 $m$ 的值.
(2) 求证: $(x_1-1)(x_2-1)≤ 0.$
答案
12. (1)把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$,得$m^2=6$,$\therefore m=\pm\sqrt{6}$,$\therefore (x-1)(x-2)=6$,即$x^2-3x-4=0$,$\therefore (x-4)(x+1)=0$,$\therefore x_1=-1,x_2=4$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根,$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$,$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.$\because m^2≥0$,$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
(2)证明:方程$(x-1)(x-2)=m^2$可化为$x^2-3x+2-m^2=0$.$\because \Delta=9-4(2-m^2)=4m^2+1＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根,$\therefore x_1+x_2=3$,$x_1x_2=2-m^2$,$\therefore (x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=2-m^2-3+1=-m^2$.$\because m^2≥0$,$\therefore -m^2≤0$,即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$.
解析
【分析】
第(1)问利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程求出$m^2$，进而得到$m$的值，再代入原方程解一元二次方程求出另一根；第(2)问先将原方程整理为一般形式，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再展开待证式并代入韦达结果，结合平方的非负性完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)(-1-2)=m^2$，即$6=m^2$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，展开整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解为$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$。
由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
展开$(x_1-1)(x_2-1)$：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=(2-m^2)-3+1=-m^2$。
因为$m^2≥0$，所以$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) $(x_1-1)(x_2-1)≤0$成立。
【知识点】
一元二次方程的根的定义，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，核心是根的定义和韦达定理的运用，解题思路清晰，难度适中，适合巩固一元二次方程相关知识点。
【难度系数】
0.6
第(1)问利用一元二次方程根的定义，将已知根代入方程求出$m^2$，进而得到$m$的值，再代入原方程解一元二次方程求出另一根；第(2)问先将原方程整理为一般形式，用韦达定理得到两根之和与两根之积，再展开待证式并代入韦达结果，结合平方的非负性完成证明。
【解析】
(1) 把$x_1=-1$代入方程$(x-1)(x-2)=m^2$，得：
$(-1-1)(-1-2)=m^2$，即$6=m^2$，解得$m=\pm\sqrt{6}$。
此时原方程为$(x-1)(x-2)=6$，展开整理得$x^2-3x-4=0$，因式分解为$(x-4)(x+1)=0$，解得$x_1=-1$，$x_2=4$。
(2) 证明：将方程$(x-1)(x-2)=m^2$整理为一般形式：$x^2-3x+2-m^2=0$。
由韦达定理得：$x_1+x_2=3$，$x_1x_2=2-m^2$。
展开$(x_1-1)(x_2-1)$：
$(x_1-1)(x_2-1)=x_1x_2-(x_1+x_2)+1=(2-m^2)-3+1=-m^2$。
因为$m^2≥0$，所以$-m^2≤0$，即$(x_1-1)(x_2-1)≤0$，得证。
【答案】
(1) $x_2=4$，$m=\pm\sqrt{6}$；(2) $(x_1-1)(x_2-1)≤0$成立。
【知识点】
一元二次方程的根的定义，韦达定理，一元二次方程的解法
【点评】
本题考查一元二次方程的基础应用，核心是根的定义和韦达定理的运用，解题思路清晰，难度适中，适合巩固一元二次方程相关知识点。
【难度系数】
0.6
13. (2025·泸州)某超市购进甲、乙两种商品,2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元,随着生产成本的降低,甲种商品每件的进价年平均下降25元,乙种商品2024年每件的进价为80元.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率.
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率.
(2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件,求最少购进多少件甲种商品.
答案
13. (1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$. 根据题意,得$125(1-x)^2=80$,解得$x_1=0.2=20\%$,$x_2=1.8$(不符合题意,舍去). 答:乙种商品每件进价的年平均下降率为$20\%$.
(2)设购进$y$件甲种商品,则购进$(100-y)$件乙种商品. 根据题意,得$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$,解得$y≥40$,$\therefore y$的最小值为40. 答:最少购进40件甲种商品.
(2)设购进$y$件甲种商品,则购进$(100-y)$件乙种商品. 根据题意,得$(125-25×2)y+80(100-y)≤7800$,解得$y≥40$,$\therefore y$的最小值为40. 答:最少购进40件甲种商品.
解析
【分析】
本题分为两小问，均为实际应用类问题。第(1)问是求年平均下降率，需利用“初始进价×(1-年平均下降率)²=两年后的进价”这一等量关系，列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的解；第(2)问需先算出2024年甲种商品的进价，再设购进甲种商品的数量为未知数，根据“总资金不超过7800元”列出一元一次不等式，解不等式后结合实际意义确定最小的甲商品数量。
【解析】
(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$。
2022年乙种商品进价为125元，经过两年（2022到2024年）后进价为80元，根据题意列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
解方程：
$(1-x)^2 = \frac{80}{125} = 0.64$
$1-x = ±0.8$
解得$x_1 = 1 - 0.8 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = 1 + 0.8 = 1.8$（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为$20\%$。
(2)先计算2024年甲种商品的进价：2022年甲进价125元，年平均下降25元，两年后（2024年）进价为$125 - 25×2 = 75$元。
设购进$y$件甲种商品，则购进$(100 - y)$件乙种商品。
根据总资金不超过7800元，列不等式：
$75y + 80(100 - y) ≤ 7800$
化简不等式：
$75y + 8000 - 80y ≤ 7800$
$-5y ≤ -200$
两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得$y ≥ 40$。
因为$y$为商品数量，取整数，所以$y$的最小值为40。
答：最少购进40件甲种商品。
【答案】
(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为$20\%$；(2)最少购进40件甲种商品。
【知识点】
一元二次方程的应用（下降率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合一元二次方程和一元一次不等式的实际应用题，重点考查学生对实际问题中数量关系的分析与建模能力，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，以及解不等式时不等号方向的变化，整体难度适中，属于学生应掌握的常规题型。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，均为实际应用类问题。第(1)问是求年平均下降率，需利用“初始进价×(1-年平均下降率)²=两年后的进价”这一等量关系，列一元二次方程求解，注意舍去不符合实际意义的解；第(2)问需先算出2024年甲种商品的进价，再设购进甲种商品的数量为未知数，根据“总资金不超过7800元”列出一元一次不等式，解不等式后结合实际意义确定最小的甲商品数量。
【解析】
(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为$x$。
2022年乙种商品进价为125元，经过两年（2022到2024年）后进价为80元，根据题意列方程：
$125(1-x)^2 = 80$
解方程：
$(1-x)^2 = \frac{80}{125} = 0.64$
$1-x = ±0.8$
解得$x_1 = 1 - 0.8 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = 1 + 0.8 = 1.8$（下降率不能大于1，不符合实际，舍去）。
答：乙种商品每件进价的年平均下降率为$20\%$。
(2)先计算2024年甲种商品的进价：2022年甲进价125元，年平均下降25元，两年后（2024年）进价为$125 - 25×2 = 75$元。
设购进$y$件甲种商品，则购进$(100 - y)$件乙种商品。
根据总资金不超过7800元，列不等式：
$75y + 80(100 - y) ≤ 7800$
化简不等式：
$75y + 8000 - 80y ≤ 7800$
$-5y ≤ -200$
两边同时除以$-5$，不等号方向改变，得$y ≥ 40$。
因为$y$为商品数量，取整数，所以$y$的最小值为40。
答：最少购进40件甲种商品。
【答案】
(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为$20\%$；(2)最少购进40件甲种商品。
【知识点】
一元二次方程的应用（下降率问题）、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是结合一元二次方程和一元一次不等式的实际应用题，重点考查学生对实际问题中数量关系的分析与建模能力，解题时需注意舍去不符合实际意义的解，以及解不等式时不等号方向的变化，整体难度适中，属于学生应掌握的常规题型。
【难度系数】
0.6
