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2. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $kx^2+2x-1=0$ 有实数根,则实数 $k$ 的取值范围是 （
A.$k ≥ -1$
B.$k ＞ -1$
C.$k ≥ -1$ 且 $k ≠ 0$
D.$k ＞ -1$ 且 $k ≠ 0$
C
）A.$k ≥ -1$
B.$k ＞ -1$
C.$k ≥ -1$ 且 $k ≠ 0$
D.$k ＞ -1$ 且 $k ≠ 0$
答案
2. C 解析:$\because$一元二次方程有实数根,$\therefore k≠0$且$2^2-4× k×(-1)≥0$,解得$k≥-1$且$k≠0$.
解析
【分析】
解决本题需紧扣两个关键点：一是题目明确是“一元二次方程”，因此二次项系数不能为0；二是一元二次方程有实数根，需满足根的判别式非负。需先根据这两个条件分别列出关于k的限制，再综合确定k的取值范围。
【解析】
因为方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$k≠0$。
又因为该方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$（其中$a = k$，$b = 2$，$c = -1$），代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×k×(-1) = 4 + 4k ≥ 0$，
解不等式$4 + 4k ≥ 0$，得$k ≥ -1$。
结合一元二次方程的条件$k≠0$，所以k的取值范围是$k ≥ -1$且$k≠0$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题易忽略“一元二次方程”的前提，仅计算判别式得出$k≥-1$，误选A选项。解题时需注意：一元二次方程需同时满足“二次项系数不为0”和“判别式非负”两个条件，审题要细致。
【难度系数】
0.6
解决本题需紧扣两个关键点：一是题目明确是“一元二次方程”，因此二次项系数不能为0；二是一元二次方程有实数根，需满足根的判别式非负。需先根据这两个条件分别列出关于k的限制，再综合确定k的取值范围。
【解析】
因为方程$kx^2 + 2x - 1 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$k≠0$。
又因为该方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式性质，判别式$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$（其中$a = k$，$b = 2$，$c = -1$），代入得：
$\Delta = 2^2 - 4×k×(-1) = 4 + 4k ≥ 0$，
解不等式$4 + 4k ≥ 0$，得$k ≥ -1$。
结合一元二次方程的条件$k≠0$，所以k的取值范围是$k ≥ -1$且$k≠0$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；根的判别式
【点评】
本题易忽略“一元二次方程”的前提，仅计算判别式得出$k≥-1$，误选A选项。解题时需注意：一元二次方程需同时满足“二次项系数不为0”和“判别式非负”两个条件，审题要细致。
【难度系数】
0.6
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2 - 8x + m = 0$ 的两根分别为 $x_1$、$x_2$，且 $x_1 = 3x_2$，则 $m$ 的值为（
A.4
B.8
C.12
D.16
C
）A.4
B.8
C.12
D.16
答案
3. C 解析:$\because$一元二次方程$x^2-8x+m=0$的两根分别为$x_1、x_2$,$\therefore x_1+x_2=8$.$\because x_1=3x_2$,$\therefore x_1=6,x_2=2$,$\therefore m=x_1x_2=6×2=12$.
解析
【分析】
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路是：先利用韦达定理得出两根之和，再结合题目给出的$x_1=3x_2$的条件求出两根的具体值，最后通过韦达定理的两根之积求出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 - 8x + m = 0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，因此：
1. 两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8$；
2. 已知$x_1 = 3x_2$，代入两根之和的式子得：$3x_2 + x_2 = 8$，即$4x_2 = 8$，解得$x_2 = 2$，则$x_1 = 3×2 = 6$；
3. 两根之积：$x_1x_2 = \frac{m}{1} = m$，代入$x_1=6$、$x_2=2$，得$m = 6×2 = 12$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，难度较低，只要掌握韦达定理的内容，结合题目给出的两根关系即可快速求解，属于常规题型。
【难度系数】
0.8
这道题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），解题思路是：先利用韦达定理得出两根之和，再结合题目给出的$x_1=3x_2$的条件求出两根的具体值，最后通过韦达定理的两根之积求出$m$的值。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$），若两根为$x_1$、$x_2$，则有$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1x_2 = \frac{c}{a}$。
本题中方程为$x^2 - 8x + m = 0$，其中$a=1$，$b=-8$，$c=m$，因此：
1. 两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{-8}{1} = 8$；
2. 已知$x_1 = 3x_2$，代入两根之和的式子得：$3x_2 + x_2 = 8$，即$4x_2 = 8$，解得$x_2 = 2$，则$x_1 = 3×2 = 6$；
3. 两根之积：$x_1x_2 = \frac{m}{1} = m$，代入$x_1=6$、$x_2=2$，得$m = 6×2 = 12$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的解
【点评】
本题是一元二次方程根与系数关系的基础应用题，难度较低，只要掌握韦达定理的内容，结合题目给出的两根关系即可快速求解，属于常规题型。
【难度系数】
0.8
4. 若关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+4x-2=0$有实数根，则$a$的取值范围为
$a≥-2$且$a≠0$
.答案
4. $a≥-2$且$a≠0$ 解析:根据题意,得$a≠0$且$4^2-4a×(-2)≥0$,解得$a≥-2$且$a≠0$.
解析
【分析】
要确定一元二次方程$ax^2 +4x -2=0$中$a$的取值范围，需同时满足两个条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数$a≠0$；二是方程有实数根，需满足根的判别式$\Delta≥0$。先分别根据这两个条件列出对应的式子，再取它们的公共部分即可得到$a$的取值范围。
【解析】
因为$ax^2 +4x -2=0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$。
又因为一元二次方程有实数根时，判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，其中$b=4$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = 4^2 -4×a×(-2) =16 +8a ≥0$，
解不等式$16 +8a ≥0$，得$8a ≥ -16$，即$a≥-2$。
结合$a≠0$，因此$a$的取值范围为$a≥-2$且$a≠0$。
【答案】
$a≥-2$且$a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，关键在于注意一元二次方程的二次项系数不能为0，这是学生容易忽略的易错点，需仔细审题，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.6
要确定一元二次方程$ax^2 +4x -2=0$中$a$的取值范围，需同时满足两个条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数$a≠0$；二是方程有实数根，需满足根的判别式$\Delta≥0$。先分别根据这两个条件列出对应的式子，再取它们的公共部分即可得到$a$的取值范围。
【解析】
因为$ax^2 +4x -2=0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$。
又因为一元二次方程有实数根时，判别式$\Delta = b^2 -4ac ≥0$，其中$b=4$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = 4^2 -4×a×(-2) =16 +8a ≥0$，
解不等式$16 +8a ≥0$，得$8a ≥ -16$，即$a≥-2$。
结合$a≠0$，因此$a$的取值范围为$a≥-2$且$a≠0$。
【答案】
$a≥-2$且$a≠0$
【知识点】
一元二次方程定义；根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，关键在于注意一元二次方程的二次项系数不能为0，这是学生容易忽略的易错点，需仔细审题，避免遗漏条件。
【难度系数】
0.6
5. (1)设$x_{1}$、$x_{2}$是关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m=0$的两个根，且$x_{1}+x_{2}-x_{1}x_{2}=1$，则
$x_{1}+x_{2}=$
(2)(2024·眉山)已知方程$x^{2}+x-2=0$的两根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，则$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}$的值为
(3)已知方程$x^{2}-2x-2=0$的两根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，则$x^{2}_{1}-x^{2}_{2}+4x_{2}=$
$x_{1}+x_{2}=$
$4$
，$m=$$3$
.(2)(2024·眉山)已知方程$x^{2}+x-2=0$的两根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，则$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}$的值为
$\dfrac{1}{2}$
.(3)已知方程$x^{2}-2x-2=0$的两根分别为$x_{1}$、$x_{2}$，则$x^{2}_{1}-x^{2}_{2}+4x_{2}=$
$4$
.答案
5. (1)4 3 解析:由根与系数的关系,得$x_1+x_2=4,x_1x_2=m$.$\because x_1+x_2-x_1x_2=1$,$\therefore4-m=1$,$\therefore m=3$.
(2)$\dfrac{1}{2}$ 解析:$\because$方程$x^2+x-2=0$的两根分别为$x_1、x_2$,$\therefore x_1+x_2=-1,x_1x_2=-2$,$\therefore \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$.
(3)4 解析:$\because$方程$x^2-2x-2=0$的两根分别为$x_1、x_2$,$\therefore x_1^2=2x_1+2,x_2^2=2x_2+2,x_1+x_2=2$,$\therefore x_1^2-x_2^2+4x_2=(2x_1+2)-(2x_2+2)+4x_2=2(x_1+x_2)=2×2=4$.
(2)$\dfrac{1}{2}$ 解析:$\because$方程$x^2+x-2=0$的两根分别为$x_1、x_2$,$\therefore x_1+x_2=-1,x_1x_2=-2$,$\therefore \dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}=\dfrac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$.
(3)4 解析:$\because$方程$x^2-2x-2=0$的两根分别为$x_1、x_2$,$\therefore x_1^2=2x_1+2,x_2^2=2x_2+2,x_1+x_2=2$,$\therefore x_1^2-x_2^2+4x_2=(2x_1+2)-(2x_2+2)+4x_2=2(x_1+x_2)=2×2=4$.
解析
【分析】
这三道题均围绕一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）及根的定义展开，解题思路如下：
1. 第(1)题：先利用韦达定理直接得出两根之和与两根之积，再代入已知等式求解m；
2. 第(2)题：先通过韦达定理求出两根和与积，将所求代数式通分变形为用两根和、积表示的形式，再代入计算；
3. 第(3)题：利用方程根的定义，把两根的平方转化为一次式，结合韦达定理的两根和，对所求代数式化简求值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$，由韦达定理得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4$，两根之积$x_1x_2 = \frac{m}{1} = m$。
已知$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 1$，代入得$4 - m = 1$，解得$m = 3$。
(2) 对于方程$x^2 + x - 2 = 0$，由韦达定理得：
两根之和$x_1 + x_2 = -1$，两根之积$x_1x_2 = -2$。
对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分，得$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，代入数值计算：$\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$。
(3) 对于方程$x^2 - 2x - 2 = 0$，因为$x_1$、$x_2$是方程的根，所以满足：
$x_1^2 = 2x_1 + 2$，$x_2^2 = 2x_2 + 2$；
由韦达定理得$x_1 + x_2 = 2$。
将上述关系代入$x_1^2 - x_2^2 + 4x_2$：
$\begin{aligned}&(2x_1 + 2) - (2x_2 + 2) + 4x_2\\=&2x_1 + 2 - 2x_2 - 2 + 4x_2\\=&2(x_1 + x_2)\\=&2×2 = 4\end{aligned}$
【答案】
5. (1)4 3；(2)$\frac{1}{2}$；(3)4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及根的定义的应用，是一元二次方程章节的基础题型，要求学生熟练掌握韦达定理内容，能灵活运用根的定义进行代数式变形，属于必须掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.5
这三道题均围绕一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）及根的定义展开，解题思路如下：
1. 第(1)题：先利用韦达定理直接得出两根之和与两根之积，再代入已知等式求解m；
2. 第(2)题：先通过韦达定理求出两根和与积，将所求代数式通分变形为用两根和、积表示的形式，再代入计算；
3. 第(3)题：利用方程根的定义，把两根的平方转化为一次式，结合韦达定理的两根和，对所求代数式化简求值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 - 4x + m = 0$，由韦达定理得：
两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{-4}{1} = 4$，两根之积$x_1x_2 = \frac{m}{1} = m$。
已知$x_1 + x_2 - x_1x_2 = 1$，代入得$4 - m = 1$，解得$m = 3$。
(2) 对于方程$x^2 + x - 2 = 0$，由韦达定理得：
两根之和$x_1 + x_2 = -1$，两根之积$x_1x_2 = -2$。
对$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$通分，得$\frac{x_1 + x_2}{x_1x_2}$，代入数值计算：$\frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$。
(3) 对于方程$x^2 - 2x - 2 = 0$，因为$x_1$、$x_2$是方程的根，所以满足：
$x_1^2 = 2x_1 + 2$，$x_2^2 = 2x_2 + 2$；
由韦达定理得$x_1 + x_2 = 2$。
将上述关系代入$x_1^2 - x_2^2 + 4x_2$：
$\begin{aligned}&(2x_1 + 2) - (2x_2 + 2) + 4x_2\\=&2x_1 + 2 - 2x_2 - 2 + 4x_2\\=&2(x_1 + x_2)\\=&2×2 = 4\end{aligned}$
【答案】
5. (1)4 3；(2)$\frac{1}{2}$；(3)4
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义
【点评】
本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及根的定义的应用，是一元二次方程章节的基础题型，要求学生熟练掌握韦达定理内容，能灵活运用根的定义进行代数式变形，属于必须掌握的核心知识点。
【难度系数】
0.5
6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-6x-k^2=0$($k$ 为常数).
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)设 $x_1$、$x_2$ 为方程的两个实数根, 且 $x_1+2x_2=14$, 求方程的两个实数根和 $k$ 的值.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)设 $x_1$、$x_2$ 为方程的两个实数根, 且 $x_1+2x_2=14$, 求方程的两个实数根和 $k$ 的值.
答案
6. (1)证明:$\because b^2-4ac=(-6)^2-4×1×(-k^2)=36+4k^2＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=6$.又$\because x_1+2x_2=14$,$\therefore x_1=-2,x_2=8$.把$x_1=-2$代入原方程,得$(-2)^2-6×(-2)-k^2=0$,$\therefore k=\pm4$.
(2)由根与系数的关系,得$x_1+x_2=6$.又$\because x_1+2x_2=14$,$\therefore x_1=-2,x_2=8$.把$x_1=-2$代入原方程,得$(-2)^2-6×(-2)-k^2=0$,$\therefore k=\pm4$.
解析
【分析】
要解决这道题，分两步思考：(1) 对于一元二次方程，判断根的情况需用根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$，计算$\Delta$的值并判断正负即可证明；(2) 已知两根的和的关系，利用韦达定理（根与系数的关系）先求出两根之和，再联立题目给出的式子解出两根，最后代入原方程求$k$的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -6x -k^2=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=-k^2$，根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×1×(-k^2) = 36 +4k^2$
因为$k^2≥0$，所以$36 +4k^2 ＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两个实数根$x_1$、$x_2$满足$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} =6$。
已知$x_1 +2x_2 =14$，联立方程组：
$\begin{cases}x_1 +x_2=6 \\x_1 +2x_2=14 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$x_2=8$，代入$x_1 +x_2=6$，得$x_1=6-8=-2$。
将$x_1=-2$代入原方程：$(-2)^2 -6×(-2) -k^2=0$，即$4 +12 -k^2=0$，解得$k^2=16$，所以$k=\pm4$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程的两个实数根为$x_1=-2$，$x_2=8$，$k$的值为$\pm4$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考察根的判别式判断根的情况和韦达定理的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于学生应掌握的常规题目。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分两步思考：(1) 对于一元二次方程，判断根的情况需用根的判别式$\Delta = b^2 -4ac$，计算$\Delta$的值并判断正负即可证明；(2) 已知两根的和的关系，利用韦达定理（根与系数的关系）先求出两根之和，再联立题目给出的式子解出两根，最后代入原方程求$k$的值。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 -6x -k^2=0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=-k^2$，根的判别式：
$\Delta = b^2 -4ac = (-6)^2 -4×1×(-k^2) = 36 +4k^2$
因为$k^2≥0$，所以$36 +4k^2 ＞0$，因此方程有两个不相等的实数根。
(2) 根据韦达定理，方程的两个实数根$x_1$、$x_2$满足$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} =6$。
已知$x_1 +2x_2 =14$，联立方程组：
$\begin{cases}x_1 +x_2=6 \\x_1 +2x_2=14 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$x_2=8$，代入$x_1 +x_2=6$，得$x_1=6-8=-2$。
将$x_1=-2$代入原方程：$(-2)^2 -6×(-2) -k^2=0$，即$4 +12 -k^2=0$，解得$k^2=16$，所以$k=\pm4$。
【答案】
(1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程的两个实数根为$x_1=-2$，$x_2=8$，$k$的值为$\pm4$。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，根与系数的关系
【点评】
本题是一元二次方程的基础题型，主要考察根的判别式判断根的情况和韦达定理的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于学生应掌握的常规题目。
【难度系数】
0.6
1. 某商店9月份的利润是2 500元,若要使11月份的利润达到3 600元,则平均每月利润增长的百分率为
$20\%$
.答案
1. $20\%$ 解析:设平均每月利润增长的百分率为$x$.根据题意,得$2500(1+x)^2=3600$,解得$x_1=0.2,x_2=-2.2$(不符合题意,舍去),$\therefore$平均每月利润增长的百分率为$20\%$.
解析
【分析】
这是一道增长率相关的一元二次方程应用题，解题思路为：先设平均每月利润增长的百分率为$x$，明确9月到11月是两次增长过程，根据“初始利润×(1+增长率)²=最终利润”的数量关系列方程，解方程后结合实际意义舍去不符合的解，最终得到增长百分率。
【解析】
设平均每月利润增长的百分率为$x$。
根据题意，9月份利润为2500元，11月份利润为3600元，可列方程：
$2500(1+x)^2 = 3600$
方程两边同除以2500得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$
因为利润增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
因此，平均每月利润增长的百分率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是典型的增长率类一元二次方程应用题，核心是掌握两次增长后的数量关系，解题时需注意根据实际意义舍去负解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
这是一道增长率相关的一元二次方程应用题，解题思路为：先设平均每月利润增长的百分率为$x$，明确9月到11月是两次增长过程，根据“初始利润×(1+增长率)²=最终利润”的数量关系列方程，解方程后结合实际意义舍去不符合的解，最终得到增长百分率。
【解析】
设平均每月利润增长的百分率为$x$。
根据题意，9月份利润为2500元，11月份利润为3600元，可列方程：
$2500(1+x)^2 = 3600$
方程两边同除以2500得：$(1+x)^2 = 1.44$
开平方得：$1+x = \pm1.2$
解得：$x_1 = 0.2 = 20\%$，$x_2 = -2.2$
因为利润增长率不能为负数，所以$x_2=-2.2$不符合题意，舍去。
因此，平均每月利润增长的百分率为20%。
【答案】
20%
【知识点】
一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】
本题是典型的增长率类一元二次方程应用题，核心是掌握两次增长后的数量关系，解题时需注意根据实际意义舍去负解，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.6
2. 某市文旅局近日举行特产文化宣传展览，一参展店铺购进了一批包含当地特色美食的礼盒，其中两种礼盒的进货价和销售价如下表所示.
(1)店铺购进“脆饼”礼盒和“酥糖”礼盒共80盒，且进货总价不高于2 900元，若进货后全部售出，则分别购进“脆饼”礼盒和“酥糖”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
(2)店铺为了能尽快售完“脆饼”礼盒，打算降价促销. 若按照原价销售，平均每天可售出6盒，每降价1元，平均每天可多售出2盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“脆饼”礼盒平均每天的利润为84元？
(1)店铺购进“脆饼”礼盒和“酥糖”礼盒共80盒，且进货总价不高于2 900元，若进货后全部售出，则分别购进“脆饼”礼盒和“酥糖”礼盒多少盒，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少元？
(2)店铺为了能尽快售完“脆饼”礼盒，打算降价促销. 若按照原价销售，平均每天可售出6盒，每降价1元，平均每天可多售出2盒，则将销售价定为每盒多少元时，能使“脆饼”礼盒平均每天的利润为84元？
答案
2. (1)设店铺购进“脆饼”礼盒$m$盒,则购进“酥糖”礼盒$(80-m)$盒,全部售出后获得的销售利润为$w$元. 根据题意,得$w=(35-25)m+(60-45)(80-m)=-5m+1200$.$\because -5＜0$,$\therefore w$随$m$的增大而减小.$\because$进货总价不高于2900元,$\therefore 25m+45(80-m)≤2900$,解得$m≥35$,$\therefore$当$m=35$时,$w$取得最大值,最大值为$-5×35+1200=1025$(元),此时$80-m=80-35=45$. 答:当购进“脆饼”礼盒35盒,“酥糖”礼盒45盒时,能获得最大销售利润,最大销售利润是1025元.
(2)设将销售价定为每盒$x$元,则每盒的销售利润为$(x-25)$元,平均每天可售出$6+2(35-x)=(76-2x)$盒. 根据题意,得$(x-25)(76-2x)=84$,整理,得$x^2-63x+992=0$,解得$x_1=31,x_2=32$.$\because$要尽快售完“脆饼”礼盒,$\therefore x=31$. 答:将销售价定为每盒31元时,能使“脆饼”礼盒平均每天的利润为84元.
(2)设将销售价定为每盒$x$元,则每盒的销售利润为$(x-25)$元,平均每天可售出$6+2(35-x)=(76-2x)$盒. 根据题意,得$(x-25)(76-2x)=84$,整理,得$x^2-63x+992=0$,解得$x_1=31,x_2=32$.$\because$要尽快售完“脆饼”礼盒,$\therefore x=31$. 答:将销售价定为每盒31元时,能使“脆饼”礼盒平均每天的利润为84元.
解析
【分析】
第(1)问：首先设购进“脆饼”礼盒的数量为$m$盒，根据总盒数可得“酥糖”礼盒数量为$(80 - m)$盒；先分别计算两种礼盒的单盒利润，再表示总利润的函数表达式，结合函数单调性和进货总价的限制条件，找到使利润最大的$m$值，进而求出最大利润。
第(2)问：设“脆饼”礼盒的销售价为$x$元，先表示出单盒利润和日销售量，根据“日利润=单盒利润×日销售量”列方程，求解后结合“尽快售完”的实际要求确定最终售价。
【解析】
(1)设购进“脆饼”礼盒$m$盒，则购进“酥糖”礼盒$(80 - m)$盒，全部售出的总利润为$w$元。
“脆饼”单盒利润：$35 - 25 = 10$元，“酥糖”单盒利润：$60 - 45 = 15$元，
总利润：$w = 10m + 15(80 - m) = -5m + 1200$。
根据进货总价不高于2900元，列不等式：
$25m + 45(80 - m) ≤ 2900$，
化简得：$25m + 3600 - 45m ≤ 2900$，
$-20m ≤ -700$，解得$m ≥ 35$。
因为$w = -5m + 1200$中$-5 ＜ 0$，所以$w$随$m$的增大而减小，因此当$m = 35$时，$w$取得最大值，
最大利润：$w = -5×35 + 1200 = 1025$元，此时“酥糖”礼盒数量：$80 - 35 = 45$盒。
(2)设“脆饼”礼盒销售价定为每盒$x$元，则单盒利润为$(x - 25)$元，
原售价35元，降价$(35 - x)$元，日销售量为：$6 + 2(35 - x) = 76 - 2x$盒。
根据日利润为84元，列方程：
$(x - 25)(76 - 2x) = 84$，
整理得：$x^2 - 63x + 992 = 0$，
解得：$x_1 = 31$，$x_2 = 32$。
因为要尽快售完，需销量更大（售价更低），所以取$x = 31$。
【答案】
(1)购进“脆饼”礼盒35盒，“酥糖”礼盒45盒，最大销售利润为1025元；
(2)将“脆饼”礼盒销售价定为每盒31元时，平均每天利润为84元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题为实际销售类应用问题，分别考查了一次函数最值、不等式及方程的应用，需理清数量关系，结合函数性质和实际意义取舍解，难度适中。
【难度系数】
0.6
第(1)问：首先设购进“脆饼”礼盒的数量为$m$盒，根据总盒数可得“酥糖”礼盒数量为$(80 - m)$盒；先分别计算两种礼盒的单盒利润，再表示总利润的函数表达式，结合函数单调性和进货总价的限制条件，找到使利润最大的$m$值，进而求出最大利润。
第(2)问：设“脆饼”礼盒的销售价为$x$元，先表示出单盒利润和日销售量，根据“日利润=单盒利润×日销售量”列方程，求解后结合“尽快售完”的实际要求确定最终售价。
【解析】
(1)设购进“脆饼”礼盒$m$盒，则购进“酥糖”礼盒$(80 - m)$盒，全部售出的总利润为$w$元。
“脆饼”单盒利润：$35 - 25 = 10$元，“酥糖”单盒利润：$60 - 45 = 15$元，
总利润：$w = 10m + 15(80 - m) = -5m + 1200$。
根据进货总价不高于2900元，列不等式：
$25m + 45(80 - m) ≤ 2900$，
化简得：$25m + 3600 - 45m ≤ 2900$，
$-20m ≤ -700$，解得$m ≥ 35$。
因为$w = -5m + 1200$中$-5 ＜ 0$，所以$w$随$m$的增大而减小，因此当$m = 35$时，$w$取得最大值，
最大利润：$w = -5×35 + 1200 = 1025$元，此时“酥糖”礼盒数量：$80 - 35 = 45$盒。
(2)设“脆饼”礼盒销售价定为每盒$x$元，则单盒利润为$(x - 25)$元，
原售价35元，降价$(35 - x)$元，日销售量为：$6 + 2(35 - x) = 76 - 2x$盒。
根据日利润为84元，列方程：
$(x - 25)(76 - 2x) = 84$，
整理得：$x^2 - 63x + 992 = 0$，
解得：$x_1 = 31$，$x_2 = 32$。
因为要尽快售完，需销量更大（售价更低），所以取$x = 31$。
【答案】
(1)购进“脆饼”礼盒35盒，“酥糖”礼盒45盒，最大销售利润为1025元；
(2)将“脆饼”礼盒销售价定为每盒31元时，平均每天利润为84元。
【知识点】
一次函数的应用、一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用
【点评】
本题为实际销售类应用问题，分别考查了一次函数最值、不等式及方程的应用，需理清数量关系，结合函数性质和实际意义取舍解，难度适中。
【难度系数】
0.6
