1. 若$(a+2)x^{a^2-2}+2x=1$是一元二次方程，则$a$的值为（）

A.$\pm2$
B.$2$
C.$-2$
D.$0$

1. B 解析: $\because (a+2)x^{a^2-2}+2x=1$ 是一元二次方程,$\therefore a^2-2=2$ 且 $a+2≠0$,解得 $a=2$.

【分析】
要确定a的值，需依据一元二次方程的定义分析：一元二次方程需满足三个核心条件：①仅含一个未知数；②未知数的最高次数为2；③二次项系数不为0。本题中方程是关于x的一元二次方程，因此需同时满足“x的次数为2”和“含x²项的系数不为0”这两个关键条件，据此列式求解。
【解析】
解：因为方程$(a+2)x^{a^2-2}+2x=1$是一元二次方程，所以需满足：
1. 未知数x的最高次数为2，即$a^2 - 2 = 2$；
2. 二次项系数不为0，即$a + 2 ≠ 0$。
先解方程$a^2 - 2 = 2$，移项得$a^2 = 4$，解得$a = ±2$；
再结合条件$a + 2 ≠ 0$，即$a ≠ -2$，因此舍去$a = -2$，仅保留$a = 2$。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的定义
【点评】
本题考查一元二次方程的定义，解题关键是牢记“二次项系数不能为0”，避免因忽略该条件错选A选项，属于基础易错题型。
【难度系数】
0.6

2. 若关于$x$的一元二次方程$(k-2)x^{2}+x+k^{2}-4=0$有一个根是0，则$k=$.

2. $-2$ 解析:把$x=0$代入$(k-2)x^2+x+k^2-4=0$,得$k^2-4=0$,解得$k_1=-2,k_2=2$.又$\because k-2≠0,\therefore k=-2$.

【分析】
要解决这个问题，需分两步推导：首先利用方程根的定义，将已知根代入方程得到关于k的方程，解出k的可能值；再根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，排除不符合条件的k值，最终确定k的取值。
【解析】
1. 因为x=0是方程$(k-2)x^2 + x + k^2 -4=0$的根，将x=0代入方程得：
$k^2 -4 = 0$，
解得$k=2$或$k=-2$。
2. 由于原方程是一元二次方程，二次项系数不能为0，即$k-2≠0$，得$k≠2$。
因此，排除$k=2$，故$k=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的根
【点评】
本题考查一元二次方程的定义和根的应用，核心是需同时满足“根代入方程成立”和“二次项系数不为0”两个条件，易忽略二次项系数的限制，需注意隐含条件的挖掘。
【难度系数】
0.5

3. 已知 m 是一元二次方程$x^{2}+2x-7=0$的一个实数根，则代数式$2m^{2}+4m$的值为 .

3. 14 解析:$\because m$是一元二次方程$x^2+2x-7=0$的一个实数根,$\therefore m^2+2m-7=0$,即$m^2+2m=7$,$\therefore 2m^2+4m=2(m^2+2m)=2×7=14$.

【分析】
要解决这个问题，需利用一元二次方程根的定义，将根代入方程得到相关等式，再通过变形所求代数式，采用整体代入的方法计算，无需求解根的具体值，简化运算过程。
【解析】
解：因为$m$是一元二次方程$x^2 + 2x -7 =0$的一个实数根，所以将$x=m$代入方程得：
$m^2 +2m -7 =0$，移项可得$m^2 +2m =7$。
对代数式$2m^2 +4m$提取公因式2，变形为：
$2m^2 +4m =2(m^2 +2m)$，将$m^2 +2m=7$代入得：
$2×7=14$。
【答案】
14
【知识点】
一元二次方程的根；代数式求值
【点评】
本题考查一元二次方程根的定义及代数式的整体代入求值，属于基础题型，核心是利用方程根的定义得到整体式子的值，再对所求代数式变形后整体代入，避免复杂计算，是常见的基础考法。
【难度系数】
0.8

1. 用配方法解一元二次方程$x^{2}+4x-3=0$时，原方程可变形为（）

A.$(x+2)^{2}=1$
B.$(x+2)^{2}=7$
C.$(x+2)^{2}=13$
D.$(x+2)^{2}=19$

1. B

【分析】
本题考查用配方法解一元二次方程，核心思路是通过移项、配方将原方程变形为完全平方式。具体步骤为：先把常数项移到等号右侧，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，最后对比选项得出答案。
【解析】
用配方法解方程$x^2 + 4x - 3 = 0$，步骤如下：
1. 移项：将常数项移到等号右边，得$x^2 + 4x = 3$；
2. 配方：一次项系数为$4$，其一半的平方为$(\frac{4}{2})^2 = 4$，在等式两边同时加$4$，得$x^2 + 4x + 4 = 3 + 4$；
3. 变形为完全平方式：左边可写成$(x + 2)^2$，右边计算得$7$，即$(x + 2)^2 = 7$。
【答案】
B
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的基础题型，只需掌握配方法的基本操作步骤（移项、加一次项系数一半的平方）即可快速解答，属于对基础知识点的直接考查。
【难度系数】
0.8

2. (1)方程$x^{2}-3=0$的根是.
(2)方程$(x+2)(x+3)=x+2$的根是.

2. (1)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$ (2)$x_1=x_2=-2$

【分析】
本题考查一元二次方程的解法，第(1)题可通过移项后利用直接开平方法求解；第(2)题需先移项，再提取公因式用因式分解法求解，注意移项时不能直接约去公因式，避免漏根。
【解析】
(1) 对方程$x^2 - 3 = 0$移项得：$x^2 = 3$，根据平方根的定义，开平方得$x = \pm\sqrt{3}$，因此方程的根为$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$。
(2) 对方程$(x+2)(x+3)=x+2$移项得：$(x+2)(x+3)-(x+2)=0$，提取公因式$(x+2)$得：$(x+2)(x+3 - 1)=0$，化简得$(x+2)^2=0$，解得$x+2=0$，即$x=-2$，因此方程的根为$x_1=x_2=-2$。
【答案】
(1)$x_1=\sqrt{3},x_2=-\sqrt{3}$；(2)$x_1=x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的解法、直接开平方法、因式分解法
【点评】
本题是一元二次方程的基础计算题，分别考查两种常用的一元二次方程解法，解题步骤清晰，需注意因式分解法中移项后提取公因式的操作，避免漏根，属于学生必须掌握的基础内容。
【难度系数】
0.8

3. 若三角形的两边的长分别是 3 和 4,第三边的长是方程 $x^{2}-13x+40=0$ 的根,则这个三角形的周长为.

3. 12 解析:$(x-8)(x-5)=0,\therefore x_1=8,x_2=5$. ①三边的长分别为3、4、8,无法构成三角形,舍去;②三边的长分别为3、4、5,可以构成三角形,周长为$3+4+5=12$. 综上所述,这个三角形的周长为12.

【分析】
要解决这个问题，需分三步思考：第一步，先求解给定的一元二次方程，得到第三边的两个可能长度；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边），判断这两个长度能否与已知的两边3、4构成三角形，舍去不符合条件的根；第三步，用符合条件的第三边计算三角形的周长，得出最终结果。
【解析】
1. 解方程：对一元二次方程$x^2 -13x +40=0$因式分解，得$(x-5)(x-8)=0$，解得$x_1=5$，$x_2=8$。
2. 验证三边关系：
若第三边为8，则三边为3、4、8，因为$3+4=7 ＜8$，不满足三角形三边关系，无法构成三角形，舍去；
若第三边为5，则三边为3、4、5，因为$3+4＞5$，$3+5＞4$，$4+5＞3$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
3. 计算周长：该三角形周长为$3+4+5=12$。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程求解、三角形三边关系
【点评】
本题综合考查一元二次方程的解法和三角形三边关系，解题关键是求出第三边后必须验证能否构成三角形，避免因忽略三边关系导致错误，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7

4. 用适当的方法解下列方程：
(1)$\dfrac{1}{2}(y+2)^2-6=0$；
(2)$x^2+4x-1=0$；
(3)$3x^2-1=6x$；
(4)$2(x-4)^2=x^2-16$。

4. (1)原方程可变形为$(y+2)^2=12$,开方,得$y+2=\pm2\sqrt{3}$,$\therefore y_1=2\sqrt{3}-2,y_2=-2\sqrt{3}-2$.
(2)移项,得$x^2+4x=1$,配方,得$x^2+4x+4=1+4$,即$(x+2)^2=5$,开方,得$x+2=\pm\sqrt{5}$,$\therefore x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$.
(3)移项,得$3x^2-6x-1=0$,这里$a=3,b=-6,c=-1$,$\therefore b^2-4ac=(-6)^2-4×3×(-1)=48＞0$,$\therefore$方程有两个不相等的实数根,$\therefore x=\dfrac{6\pm4\sqrt{3}}{6}$,$\therefore x_1=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}$.
(4)方程可变形为$2(x-4)^2-(x+4)(x-4)=0$,提公因式,得$(x-4)[2(x-4)-(x+4)]=0$,即$(x-4)(x-12)=0$,$\therefore x-4=0$或$x-12=0$,$\therefore x_1=4,x_2=12$.

【分析】本题要求解四个一元二次方程，需根据各方程的结构特点选择适配的方法：(1)方程含平方项，适合用直接开平方法；(2)二次项系数为1且一次项系数为偶数，适合用配方法；(3)整理为一般式后判别式易计算，适合用公式法；(4)方程右边可因式分解，移项后适合用因式分解法，按对应方法逐步运算即可得到结果。
【解析】
(1) 原方程变形：$\frac{1}{2}(y+2)^2 = 6$，两边同乘2得$(y+2)^2=12$，开平方得$y+2=\pm2\sqrt{3}$，解得$y_1=2\sqrt{3}-2$，$y_2=-2\sqrt{3}-2$；
(2) 移项得$x^2+4x=1$，配方：两边加4，得$x^2+4x+4=5$，即$(x+2)^2=5$，开平方得$x+2=\pm\sqrt{5}$，解得$x_1=-2+\sqrt{5}$，$x_2=-2-\sqrt{5}$；
(3) 移项整理为一般式：$3x^2-6x-1=0$，其中$a=3$，$b=-6$，$c=-1$，计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×3×(-1)=48＞0$，代入求根公式得$x=\frac{6\pm\sqrt{48}}{6}=\frac{6\pm4\sqrt{3}}{6}=\frac{3\pm2\sqrt{3}}{3}$，故$x_1=\frac{3+2\sqrt{3}}{3}$，$x_2=\frac{3-2\sqrt{3}}{3}$；
(4) 原方程右边因式分解为$x^2-16=(x+4)(x-4)$，移项得$2(x-4)^2-(x+4)(x-4)=0$，提取公因式$(x-4)$得$(x-4)[2(x-4)-(x+4)]=0$，化简括号内得$(x-4)(x-12)=0$，则$x-4=0$或$x-12=0$，解得$x_1=4$，$x_2=12$；
【答案】(1)$y_1=2\sqrt{3}-2,y_2=-2\sqrt{3}-2$；(2)$x_1=-2+\sqrt{5},x_2=-2-\sqrt{5}$；(3)$x_1=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{3},x_2=\dfrac{3-2\sqrt{3}}{3}$；(4)$x_1=4,x_2=12$
【知识点】一元二次方程解法、直接开平方法、配方法
【点评】本题考查一元二次方程的四种基本解法，要求学生根据方程结构灵活选择方法，是一元二次方程章节的基础题型，侧重考察学生对不同解法的应用能力。
【难度系数】0.6

1. 一元二次方程 $x^2 - 6x - 4 = 0$ 的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断

1. A 解析:$\because \Delta=(-6)^2-4×1×(-4)=52＞0$,$\therefore$方程$x^2-6x-4=0$有两个不相等的实数根.

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需利用根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac$：对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta=0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta＜0$时，方程无实数根。因此需先确定方程中$a、b、c$的值，计算$\Delta$后再判断。
【解析】
对于方程$x^2 - 6x - 4 = 0$，其中$a=1$，$b=-6$，$c=-4$。计算根的判别式：
$\Delta = (-6)^2 - 4×1×(-4) = 36 + 16 = 52$。
因为$\Delta = 52 ＞ 0$，所以该方程有两个不相等的实数根，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程根的判别式的应用，属于基础题型，只需牢记判别式公式并准确计算即可快速得出结果，适合巩固基础。
【难度系数】
0.8