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1. 一元二次方程
(1)定义:等号两边都是整式,且只含有
(2)一般形式:
(1)定义:等号两边都是整式,且只含有
一
个未知数,未知数的最高次数是2
的方程.(2)一般形式:
$ax^2+bx+c=0$
($a$、$b$、$c$ 是常数,$a$$≠$
$0$),其中$ax^2$
叫作二次项,$bx$
叫作一次项,$c$
叫作常数项,$a$
叫作二次项系数,$b$
叫作一次项系数.答案
(1) 一 2
(2) $ax^2+bx+c=0$ $≠$ $ax^2$ $bx$ $c$ $a$ $b$
(2) $ax^2+bx+c=0$ $≠$ $ax^2$ $bx$ $c$ $a$ $b$
解析
【分析】本题考查一元二次方程的基础概念，解题思路是准确识记一元二次方程的定义、一般形式及相关术语，对应每个空的要求填写正确内容即可。
【解析】(1) 根据一元二次方程的定义，等号两边都是整式，且只含有1个未知数，未知数的最高次数是2；(2) 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$是常数，$a≠0$），其中$ax^2$叫作二次项，$bx$叫作一次项，$c$叫作常数项，$a$叫作二次项系数，$b$叫作一次项系数。
【答案】(1) 一 2；(2) $ax^2+bx+c=0$ $≠$ $ax^2$ $bx$ $c$ $a$ $b$
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
【点评】本题是一元二次方程的基础概念填空题，侧重考查核心定义和形式的识记，属于入门级题目，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】(1) 根据一元二次方程的定义，等号两边都是整式，且只含有1个未知数，未知数的最高次数是2；(2) 一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$是常数，$a≠0$），其中$ax^2$叫作二次项，$bx$叫作一次项，$c$叫作常数项，$a$叫作二次项系数，$b$叫作一次项系数。
【答案】(1) 一 2；(2) $ax^2+bx+c=0$ $≠$ $ax^2$ $bx$ $c$ $a$ $b$
【知识点】一元二次方程的定义、一元二次方程的一般形式
【点评】本题是一元二次方程的基础概念填空题，侧重考查核心定义和形式的识记，属于入门级题目，难度较低。
【难度系数】0.9
2. 一元二次方程的解法
(1) 直接开平方法: 形如 $ax^2=p$ ($a$、$p$ 同号或 $p=0$)、$a(mx+n)^2=p$ ($a$、$p$ 同号或 $p=0$)或 $(ax+b)^2=(mx+n)^2$ 的一元二次方程可以用直接开平方法求解.
(2) 用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①移项: 把常数项移到方程的另一边; ②系数化为1: 方程两边同时除以二次项系数; ③配方: 两边同时加上一次项系数的一半的平方; ④求解: 利用直接开平方法求解.
(3) 因式分解法:
①提公因式法;
②公式法 $\begin{cases} 平方差公式: \_\_\_\_\_\_; \\ 完全平方公式: \_\_\_\_\_\_. \end{cases}$
③十字相乘法.
(4) 用公式法解一元二次方程的一般步骤:
①把一元二次方程化成一般形式 ______;
②确定 ______ 的值;
③求出 ______ 的值;
④若 ______, 则把 $a$、$b$、$c$ 及 $b^2-4ac$ 的值代入求根公式, 求出 $x_1$、$x_2$; 若 $b-4ac＜0$,则方程没有实数根.
说明: 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 的根的情况: (Ⅰ) 当 $b^2-4ac＞0$ 时, 方程有 ______ 的实数根; (Ⅱ) 当 $b^2-4ac=0$ 时, 方程有 ______ 的实数根; (Ⅲ) 当 $b^2-4ac＜0$ 时, 方程 ______ 实数根.
(1) 直接开平方法: 形如 $ax^2=p$ ($a$、$p$ 同号或 $p=0$)、$a(mx+n)^2=p$ ($a$、$p$ 同号或 $p=0$)或 $(ax+b)^2=(mx+n)^2$ 的一元二次方程可以用直接开平方法求解.
(2) 用配方法解一元二次方程的一般步骤: ①移项: 把常数项移到方程的另一边; ②系数化为1: 方程两边同时除以二次项系数; ③配方: 两边同时加上一次项系数的一半的平方; ④求解: 利用直接开平方法求解.
(3) 因式分解法:
①提公因式法;
②公式法 $\begin{cases} 平方差公式: \_\_\_\_\_\_; \\ 完全平方公式: \_\_\_\_\_\_. \end{cases}$
③十字相乘法.
(4) 用公式法解一元二次方程的一般步骤:
①把一元二次方程化成一般形式 ______;
②确定 ______ 的值;
③求出 ______ 的值;
④若 ______, 则把 $a$、$b$、$c$ 及 $b^2-4ac$ 的值代入求根公式, 求出 $x_1$、$x_2$; 若 $b-4ac＜0$,则方程没有实数根.
说明: 一元二次方程 $ax^2+bx+c=0(a ≠ 0)$ 的根的情况: (Ⅰ) 当 $b^2-4ac＞0$ 时, 方程有 ______ 的实数根; (Ⅱ) 当 $b^2-4ac=0$ 时, 方程有 ______ 的实数根; (Ⅲ) 当 $b^2-4ac＜0$ 时, 方程 ______ 实数根.
答案
(3)②$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$；$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$
(4)①$ax^2+bx+c=0$ ②$a、b、c$ ③$b^2-4ac$ ④$b^2-4ac≥0$
说明:(Ⅰ)两个不相等 (Ⅱ)两个相等 (Ⅲ)没有
(4)①$ax^2+bx+c=0$ ②$a、b、c$ ③$b^2-4ac$ ④$b^2-4ac≥0$
说明:(Ⅰ)两个不相等 (Ⅱ)两个相等 (Ⅲ)没有
解析
【分析】本题考查一元二次方程解法的相关基础知识点，需回忆因式分解法的公式、公式法解一元二次方程的步骤及根的判别式与根的关系，逐一对应填空即可。
【解析】
1. 因式分解法的公式部分：平方差公式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，完全平方公式为$a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2$；
2. 公式法解一元二次方程的步骤：①将方程化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）；②确定一般形式中的$a、b、c$的值；③计算根的判别式$b^2 - 4ac$；④当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，代入求根公式求解，若$b^2 - 4ac ＜ 0$则无实根；
3. 根的情况：当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程没有实数根。
【答案】(3)②$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；$a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2$
(4)①$ax^2 + bx + c = 0$ ②$a、b、c$ ③$b^2 - 4ac$ ④$b^2 - 4ac ≥ 0$
说明:(Ⅰ)两个不相等 (Ⅱ)两个相等 (Ⅲ)没有
【知识点】一元二次方程解法、因式分解公式、根的判别式
【点评】本题为基础概念填空题，聚焦一元二次方程解法的核心知识点，难度较低，需准确记忆相关内容即可作答。
【难度系数】0.2
【解析】
1. 因式分解法的公式部分：平方差公式为$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，完全平方公式为$a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2$；
2. 公式法解一元二次方程的步骤：①将方程化为一般形式$ax^2 + bx + c = 0$（$a≠0$）；②确定一般形式中的$a、b、c$的值；③计算根的判别式$b^2 - 4ac$；④当$b^2 - 4ac ≥ 0$时，代入求根公式求解，若$b^2 - 4ac ＜ 0$则无实根；
3. 根的情况：当$b^2 - 4ac ＞ 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$b^2 - 4ac = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$b^2 - 4ac ＜ 0$时，方程没有实数根。
【答案】(3)②$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$；$a^2 ± 2ab + b^2 = (a ± b)^2$
(4)①$ax^2 + bx + c = 0$ ②$a、b、c$ ③$b^2 - 4ac$ ④$b^2 - 4ac ≥ 0$
说明:(Ⅰ)两个不相等 (Ⅱ)两个相等 (Ⅲ)没有
【知识点】一元二次方程解法、因式分解公式、根的判别式
【点评】本题为基础概念填空题，聚焦一元二次方程解法的核心知识点，难度较低，需准确记忆相关内容即可作答。
【难度系数】0.2
3. 一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$ 的两根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$，那么 $x_{1}+x_{2}=$
如果一元二次方程 $ax^{2}+bx+c=0(a ≠ 0)$ 的两根分别为 $x_{1}$、$x_{2}$，那么 $x_{1}+x_{2}=$
$-\dfrac{b}{a}$
，$x_{1}x_{2}=$ $\dfrac{c}{a}$
.答案
$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
解析
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，可通过求根公式推导得出两根之和与两根之积的表达式，直接运用该定理即可得到结果。
【解析】对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，其两根$x_1$、$x_2$满足根与系数的关系：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
【答案】$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题是一元二次方程的基础知识点考查，直接运用韦达定理即可解答，是后续解决一元二次方程相关问题的重要工具。
【难度系数】0.9
【解析】对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0(a≠0)$，其两根$x_1$、$x_2$满足根与系数的关系：两根之和为$-\frac{b}{a}$，两根之积为$\frac{c}{a}$。
【答案】$x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}$，$x_1x_2=\dfrac{c}{a}$
【知识点】一元二次方程根与系数的关系
【点评】本题是一元二次方程的基础知识点考查，直接运用韦达定理即可解答，是后续解决一元二次方程相关问题的重要工具。
【难度系数】0.9
4. 一元二次方程的实际应用
(1)增长率问题:$a(1\pm x)^{2}=b$,其中$a$为变化前的量,$b$为变化后的量.
(2)传播问题:$(1+x)^{2}=$总数,其中1为初始传染源,$x$为一轮中一个传染源传染的个数.
(特别地,分支问题:$1+x+x^{2}=$总的分支数)
(3)互赠、握手问题:①互赠问题:$x(x-1)=$总数;②握手问题:$\dfrac{1}{2}x(x-1)=$总数.
(4)面积问题.
(5)营销问题:①利润$=$售价$-$进价;②总利润$=$单个利润$×$销售量;③涨价(或降价)1元,对应少卖(或多卖)多少件.
(1)增长率问题:$a(1\pm x)^{2}=b$,其中$a$为变化前的量,$b$为变化后的量.
(2)传播问题:$(1+x)^{2}=$总数,其中1为初始传染源,$x$为一轮中一个传染源传染的个数.
(特别地,分支问题:$1+x+x^{2}=$总的分支数)
(3)互赠、握手问题:①互赠问题:$x(x-1)=$总数;②握手问题:$\dfrac{1}{2}x(x-1)=$总数.
(4)面积问题.
(5)营销问题:①利润$=$售价$-$进价;②总利润$=$单个利润$×$销售量;③涨价(或降价)1元,对应少卖(或多卖)多少件.
答案
解：
(1) 增长率问题典型应用
例：某厂1月总产量为500吨，3月总产量为720吨，求平均每月增长率。
设平均每月增长率为$x$，
列方程：$500(1+x)^2=720$，
整理得：$(1+x)^2=1.44$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
答：平均每月增长率为20%。
---
(2) 传播/分支问题典型应用
传播问题
例：1人患流感，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均1人传染的人数。
设每轮中平均1个传染源传染$x$个人，
列方程：$(1+x)^2=121$，
解得：$x_1=10$，$x_2=-12$（不符合实际意义，舍去）。
答：每轮中平均1人传染10个人。
分支问题
例：某种植物主干长出若干支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支总数为91，求每个支干长出的小分支数。
设每个支干长出$x$个小分支，
列方程：$1+x+x^2=91$，
整理得：$x^2+x-90=0$，
解得：$x_1=9$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：每个支干长出9个小分支。
---
(3) 互赠、握手问题典型应用
互赠问题
例：某班同学互赠新年贺卡，共送出1560张，求该班学生人数。
设该班共有$x$名学生，
列方程：$x(x-1)=1560$，
整理得：$x^2-x-1560=0$，
解得：$x_1=40$，$x_2=-39$（不符合实际意义，舍去）。
答：该班共有40名学生。
握手问题
例：某次聚会每两人仅握1次手，所有人共握手55次，求参加聚会的人数。
设共有$x$人参加聚会，
列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=55$，
整理得：$x^2-x-110=0$，
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：参加聚会的共有11人。
---
(4) 面积问题典型应用
例：用长24m的篱笆围成一边靠墙的矩形养鸡场，墙长12m，要求养鸡场面积为70$m^2$，求矩形的长和宽。
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(24-2x)\ \mathrm{m}$，
列方程：$x(24-2x)=70$，
整理得：$x^2-12x+35=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=7$，
当$x=5$时，$24-2x=14＞12$，超出墙长，不符合题意，舍去；
当$x=7$时，$24-2x=10＜12$，符合题意。
答：矩形养鸡场的长为10m，宽为7m。
---
(5) 营销问题典型应用
例：某商品进价为40元/件，售价为60元/件时每周可卖出300件，每涨价1元每周少卖10件，要获得6000元总利润，求商品的定价。
设每件商品涨价$x$元，则单个利润为$(60-40+x)$元，周销售量为$(300-10x)$件，
列方程：$(20+x)(300-10x)=6000$，
整理得：$x^2-10x=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=10$，
对应售价分别为60元、70元。
答：该商品售价应定为60元或70元。
(1) 增长率问题典型应用
例：某厂1月总产量为500吨，3月总产量为720吨，求平均每月增长率。
设平均每月增长率为$x$，
列方程：$500(1+x)^2=720$，
整理得：$(1+x)^2=1.44$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
答：平均每月增长率为20%。
---
(2) 传播/分支问题典型应用
传播问题
例：1人患流感，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均1人传染的人数。
设每轮中平均1个传染源传染$x$个人，
列方程：$(1+x)^2=121$，
解得：$x_1=10$，$x_2=-12$（不符合实际意义，舍去）。
答：每轮中平均1人传染10个人。
分支问题
例：某种植物主干长出若干支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支总数为91，求每个支干长出的小分支数。
设每个支干长出$x$个小分支，
列方程：$1+x+x^2=91$，
整理得：$x^2+x-90=0$，
解得：$x_1=9$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：每个支干长出9个小分支。
---
(3) 互赠、握手问题典型应用
互赠问题
例：某班同学互赠新年贺卡，共送出1560张，求该班学生人数。
设该班共有$x$名学生，
列方程：$x(x-1)=1560$，
整理得：$x^2-x-1560=0$，
解得：$x_1=40$，$x_2=-39$（不符合实际意义，舍去）。
答：该班共有40名学生。
握手问题
例：某次聚会每两人仅握1次手，所有人共握手55次，求参加聚会的人数。
设共有$x$人参加聚会，
列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=55$，
整理得：$x^2-x-110=0$，
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：参加聚会的共有11人。
---
(4) 面积问题典型应用
例：用长24m的篱笆围成一边靠墙的矩形养鸡场，墙长12m，要求养鸡场面积为70$m^2$，求矩形的长和宽。
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(24-2x)\ \mathrm{m}$，
列方程：$x(24-2x)=70$，
整理得：$x^2-12x+35=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=7$，
当$x=5$时，$24-2x=14＞12$，超出墙长，不符合题意，舍去；
当$x=7$时，$24-2x=10＜12$，符合题意。
答：矩形养鸡场的长为10m，宽为7m。
---
(5) 营销问题典型应用
例：某商品进价为40元/件，售价为60元/件时每周可卖出300件，每涨价1元每周少卖10件，要获得6000元总利润，求商品的定价。
设每件商品涨价$x$元，则单个利润为$(60-40+x)$元，周销售量为$(300-10x)$件，
列方程：$(20+x)(300-10x)=6000$，
整理得：$x^2-10x=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=10$，
对应售价分别为60元、70元。
答：该商品售价应定为60元或70元。
解析
【分析】
解决一元二次方程实际应用问题，需先明确题目所属题型（增长率、传播、互赠握手、面积、营销等），对应题型的等量关系公式，设出合适的未知数，根据等量关系列出一元二次方程，解方程后，要检验解是否符合实际意义（如人数、长度、增长率不能为负，需符合题目限制条件），最终得出合理答案。
【解析】
（1）增长率问题：以某厂1月总产量500吨，3月720吨求月增长率为例，设增长率为x，根据公式$a(1+x)^2=b$，列方程$500(1+x)^2=720$，解得$x=20\%$（舍去负解）；
（2）传播/分支问题：传播问题以1人患流感两轮后121人患病为例，设每轮传染x人，列$(1+x)^2=121$，得$x=10$；分支问题以主干支干小分支总数91为例，设每个支干长x个小分支，列$1+x+x^2=91$，得$x=9$；
（3）互赠、握手问题：互赠以共送1560张贺卡为例，设人数x，列$x(x-1)=1560$，得$x=40$；握手以共握55次为例，列$\frac{1}{2}x(x-1)=55$，得$x=11$；
（4）面积问题：以篱笆围矩形养鸡场为例，设垂直墙边长x，平行墙边长$24-2x$，列$x(24-2x)=70$，结合墙长12m，得长10m宽7m；
（5）营销问题：以商品利润为例，设涨价x元，单个利润$(20+x)$，销量$(300-10x)$，列$(20+x)(300-10x)=6000$，得售价60或70元。
【答案】
解：
(1) 增长率问题典型应用
例：某厂1月总产量为500吨，3月总产量为720吨，求平均每月增长率。
设平均每月增长率为$x$，
列方程：$500(1+x)^2=720$，
整理得：$(1+x)^2=1.44$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
答：平均每月增长率为20%。
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(2) 传播/分支问题典型应用
传播问题
例：1人患流感，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均1人传染的人数。
设每轮中平均1个传染源传染$x$个人，
列方程：$(1+x)^2=121$，
解得：$x_1=10$，$x_2=-12$（不符合实际意义，舍去）。
答：每轮中平均1人传染10个人。
分支问题
例：某种植物主干长出若干支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支总数为91，求每个支干长出的小分支数。
设每个支干长出$x$个小分支，
列方程：$1+x+x^2=91$，
整理得：$x^2+x-90=0$，
解得：$x_1=9$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：每个支干长出9个小分支。
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(3) 互赠、握手问题典型应用
互赠问题
例：某班同学互赠新年贺卡，共送出1560张，求该班学生人数。
设该班共有$x$名学生，
列方程：$x(x-1)=1560$，
整理得：$x^2-x-1560=0$，
解得：$x_1=40$，$x_2=-39$（不符合实际意义，舍去）。
答：该班共有40名学生。
握手问题
例：某次聚会每两人仅握1次手，所有人共握手55次，求参加聚会的人数。
设共有$x$人参加聚会，
列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=55$，
整理得：$x^2-x-110=0$，
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：参加聚会的共有11人。
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(4) 面积问题典型应用
例：用长24m的篱笆围成一边靠墙的矩形养鸡场，墙长12m，要求养鸡场面积为70$m^2$，求矩形的长和宽。
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(24-2x)\ \mathrm{m}$，
列方程：$x(24-2x)=70$，
整理得：$x^2-12x+35=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=7$，
当$x=5$时，$24-2x=14＞12$，超出墙长，不符合题意，舍去；
当$x=7$时，$24-2x=10＜12$，符合题意。
答：矩形养鸡场的长为10m，宽为7m。
---
(5) 营销问题典型应用
例：某商品进价为40元/件，售价为60元/件时每周可卖出300件，每涨价1元每周少卖10件，要获得6000元总利润，求商品的定价。
设每件商品涨价$x$元，则单个利润为$(60-40+x)$元，周销售量为$(300-10x)$件，
列方程：$(20+x)(300-10x)=6000$，
整理得：$x^2-10x=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=10$，
对应售价分别为60元、70元。
答：该商品售价应定为60元或70元。
【知识点】
一元二次方程的实际应用
【点评】
本题涵盖一元二次方程实际应用的常见核心题型，是初中数学中考高频考点，解题关键是精准匹配对应题型的等量关系，列方程后需验根排除不符合实际的解，整体难度适中，只要掌握各类题型公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
解决一元二次方程实际应用问题，需先明确题目所属题型（增长率、传播、互赠握手、面积、营销等），对应题型的等量关系公式，设出合适的未知数，根据等量关系列出一元二次方程，解方程后，要检验解是否符合实际意义（如人数、长度、增长率不能为负，需符合题目限制条件），最终得出合理答案。
【解析】
（1）增长率问题：以某厂1月总产量500吨，3月720吨求月增长率为例，设增长率为x，根据公式$a(1+x)^2=b$，列方程$500(1+x)^2=720$，解得$x=20\%$（舍去负解）；
（2）传播/分支问题：传播问题以1人患流感两轮后121人患病为例，设每轮传染x人，列$(1+x)^2=121$，得$x=10$；分支问题以主干支干小分支总数91为例，设每个支干长x个小分支，列$1+x+x^2=91$，得$x=9$；
（3）互赠、握手问题：互赠以共送1560张贺卡为例，设人数x，列$x(x-1)=1560$，得$x=40$；握手以共握55次为例，列$\frac{1}{2}x(x-1)=55$，得$x=11$；
（4）面积问题：以篱笆围矩形养鸡场为例，设垂直墙边长x，平行墙边长$24-2x$，列$x(24-2x)=70$，结合墙长12m，得长10m宽7m；
（5）营销问题：以商品利润为例，设涨价x元，单个利润$(20+x)$，销量$(300-10x)$，列$(20+x)(300-10x)=6000$，得售价60或70元。
【答案】
解：
(1) 增长率问题典型应用
例：某厂1月总产量为500吨，3月总产量为720吨，求平均每月增长率。
设平均每月增长率为$x$，
列方程：$500(1+x)^2=720$，
整理得：$(1+x)^2=1.44$，
解得：$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不符合实际意义，舍去）。
答：平均每月增长率为20%。
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(2) 传播/分支问题典型应用
传播问题
例：1人患流感，经过两轮传染后共有121人患病，求每轮平均1人传染的人数。
设每轮中平均1个传染源传染$x$个人，
列方程：$(1+x)^2=121$，
解得：$x_1=10$，$x_2=-12$（不符合实际意义，舍去）。
答：每轮中平均1人传染10个人。
分支问题
例：某种植物主干长出若干支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、小分支总数为91，求每个支干长出的小分支数。
设每个支干长出$x$个小分支，
列方程：$1+x+x^2=91$，
整理得：$x^2+x-90=0$，
解得：$x_1=9$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：每个支干长出9个小分支。
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(3) 互赠、握手问题典型应用
互赠问题
例：某班同学互赠新年贺卡，共送出1560张，求该班学生人数。
设该班共有$x$名学生，
列方程：$x(x-1)=1560$，
整理得：$x^2-x-1560=0$，
解得：$x_1=40$，$x_2=-39$（不符合实际意义，舍去）。
答：该班共有40名学生。
握手问题
例：某次聚会每两人仅握1次手，所有人共握手55次，求参加聚会的人数。
设共有$x$人参加聚会，
列方程：$\dfrac{1}{2}x(x-1)=55$，
整理得：$x^2-x-110=0$，
解得：$x_1=11$，$x_2=-10$（不符合实际意义，舍去）。
答：参加聚会的共有11人。
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(4) 面积问题典型应用
例：用长24m的篱笆围成一边靠墙的矩形养鸡场，墙长12m，要求养鸡场面积为70$m^2$，求矩形的长和宽。
设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长为$(24-2x)\ \mathrm{m}$，
列方程：$x(24-2x)=70$，
整理得：$x^2-12x+35=0$，
解得：$x_1=5$，$x_2=7$，
当$x=5$时，$24-2x=14＞12$，超出墙长，不符合题意，舍去；
当$x=7$时，$24-2x=10＜12$，符合题意。
答：矩形养鸡场的长为10m，宽为7m。
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(5) 营销问题典型应用
例：某商品进价为40元/件，售价为60元/件时每周可卖出300件，每涨价1元每周少卖10件，要获得6000元总利润，求商品的定价。
设每件商品涨价$x$元，则单个利润为$(60-40+x)$元，周销售量为$(300-10x)$件，
列方程：$(20+x)(300-10x)=6000$，
整理得：$x^2-10x=0$，
解得：$x_1=0$，$x_2=10$，
对应售价分别为60元、70元。
答：该商品售价应定为60元或70元。
【知识点】
一元二次方程的实际应用
【点评】
本题涵盖一元二次方程实际应用的常见核心题型，是初中数学中考高频考点，解题关键是精准匹配对应题型的等量关系，列方程后需验根排除不符合实际的解，整体难度适中，只要掌握各类题型公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
