8. 如图,在平面直角坐标系中,有一

个$5 × 2$的矩形网格$DEFG$,每个小正方形的边长都是1,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过格点$A$(小正方形的顶点),同时还经过矩形$DEFG$的边$FG$上的点$C$,反比例函数$y=-\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象经过格点$B$.若$S_{△ ABC}=1$,则$k$的值是 （）

A.2
B.$\dfrac{5}{4}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\dfrac{5}{2}$

8. D 解析:过点 C 作 $CH⊥AB$ 交 BA 的延长线于点H,则 $S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}AB· CH.$ 因为 $S_{△ ABC}=1,AB=3$,所以 $CH=\dfrac{2}{3}.$ 因为反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 与反比例函数 $y=-\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象关于 y 轴对称,所以 A,B 两点关于 y 轴对称,所以点 A,C 的横坐标分别为$\dfrac{3}{2},\dfrac{5}{2}.$ 因为点 A,C 都在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,所以 $A(\dfrac{3}{2},\dfrac{2}{3}k),C(\dfrac{5}{2},\dfrac{2}{5}k)$,则 $CH=\dfrac{2}{3}k-\dfrac{2}{5}k=\dfrac{4}{15}k$,所以 $\dfrac{4}{15}k=\dfrac{2}{3}$,解得 $k=\dfrac{5}{2}.$

9. 如图,$A(m,2),B(5,n)$两点在函数$y=\dfrac{k}{x}$$(k＞0,x＞0)$的图象上,将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线,A,B两点的对应点分别为$A',B'$.若阴影部分的面积为8,则$k=$.

9. 2 解析:由题意,得 $AA'=BB'=2.$ 因为阴影部分的面积为 8,所以 $2(5-m)=8$,解得 $m=1$,所以 $k=2m=2.$

10. 如图,在平面直角坐标系中,过原点$O$的直线交反比例函数$y=\dfrac{a}{x}$的图象于$P$,$Q$两点,过点$P$分别作$y$轴、$x$轴的平行线,交反比例函数$y=\dfrac{b}{x}(x＞0)$的图象于$A$,$B$两点,且$b-a=3$,则阴影部分的面积为;当$S_{△ APB}=3$时,$b$的值为.

10. 6 $\dfrac{9}{2}$ 解析:连接 OA,OB,延长 AP 交 x 轴于点 C,延长 BP 交 y 轴于点 D. 因为 $AP// y$ 轴,$BP// x$ 轴,所以 $AP⊥BP$,$S_{△ OAC}=\dfrac{b}{2}$,$S_{△ OPC}=\dfrac{a}{2}$,$S_{△ OBD}=\dfrac{b}{2}$,$S_{△ OPD}=\dfrac{a}{2}.$ 因为 $b-a=3$,所以 $S_{△ OAP}=S_{△ OAC}-S_{△ OPC}=\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{3}{2}$,$S_{△ OBP}=S_{△ OBD}-S_{△ OPD}=\dfrac{b-a}{2}=\dfrac{3}{2}.$ 由双曲线的对称性,得 $OP=OQ$,所以 $S_{△ APQ}=2S_{△ OAP}=3$,$S_{△ BPQ}=2S_{△ OBP}=3$,所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ APQ}+S_{△ BPQ}=6.$ 故阴影部分的面积为 6. 设点 C 的坐标为$(m,0)$,则点 P 的坐标为$(m,\dfrac{a}{m})$,点 A 的坐标为$(m,\dfrac{b}{m})$,点 B 的坐标为$(\dfrac{bm}{a},\dfrac{a}{m})$,所以 $AP=\dfrac{b-a}{m}=\dfrac{3}{m}$,$BP=\dfrac{bm}{a}-m=\dfrac{(b-a)m}{a}=\dfrac{3m}{a}.$ 因为 $S_{△ APB}=3$,所以$\dfrac{1}{2}AP· BP=3$,即 $\dfrac{1}{2}·\dfrac{3}{m}·\dfrac{3m}{a}=3$,所以 $a=\dfrac{3}{2}$,所以 $b=a+3=\dfrac{9}{2}.$

11. (2026·江苏扬州期末)如图,平行于$y$轴的直尺(部分)与反比例函数$y=\dfrac{m}{x}(x＞0)$的图象交于$A,C$两点,与$x$轴交于$B,D$两点,连接$AC$,点$A,B$对应直尺上的刻度分别为$5,2$,直尺的宽度$BD=2$,$S_{△ AOC}=5$,则点$C$的坐标为.

11. $(6,2)$ 解析:因为点 A,C 在反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}$ 的图象上,所以 $S_{△ OAB}=S_{△ OCD}=\dfrac{1}{2}m$,所以 $S_{\mathrm{梯形}ABDC}=S_{△ AOC}+S_{△ OCD}-S_{△ OAB}=S_{△ AOC}=5.$ 因为点 A,B 对应直尺上的刻度分别为 5,2,所以 $AB=3.$ 设 $OB=a,CD=n.$ 因为 $BD=2$,所以 $OD=OB+BD=a+2$,所以 $C(a+2,n)$,$S_{\mathrm{梯形}ABDC}=\dfrac{1}{2}(AB+CD)· BD=3+n$,所以 $3+n=5$,解得 $n=2$,所以 $C(a+2,2).$ 因为 $A(a,3)$,所以 $3a=2(a+2)$,解得 $a=4$,所以点 C 的坐标为$(6,2).$

12. 新素养 推理能力 如图，$A(a,y_1),B(2a,y_2)$是反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 图象上的两点.
(1) 比较 $y_1$ 与 $y_2$ 之间的大小关系；
(2) $A,B$ 两点在一次函数 $y=-2x+b$ 的图象上，分别过点 $A,B$ 作 $AC⊥ x$ 轴于点 $C,BD⊥ x$ 轴于点 $D$，连接 $OA,OB$. 若 $S_{△ OAB}=12$，求 $a$ 的值；
(3) 在(2)的条件下，若 $m=-2x+12,n=\dfrac{16}{x}(x＞0)$，求使得 $m＞n$ 的 $x$ 的取值范围.

12. (1) 因为 $k＞0$,所以在第一象限内,y 随 x 的增大而减小. 因为点 $A(a,y_1),B(2a,y_2)$ 在第一象限内,所以 $a＜2a$,所以 $y_1＞y_2.$
(2) 因为点 A,B 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,所以 $S_{△ OAC}=S_{△ OBD}=\dfrac{1}{2}k$,所以 $S_{\mathrm{梯形}ACDB}=S_{△ OAB}+S_{△ OBD}-S_{△ OAC}=S_{△ OAB}=12.$ 因为 $A(a,\dfrac{k}{a}),B(2a,\dfrac{k}{2a})$,$AC⊥x$ 轴,$BD⊥x$ 轴,所以 $OC=a,AC=\dfrac{k}{a}$,$OD=2a,BD=\dfrac{k}{2a}$,所以 $CD=OD-OC=a$,所以$S_{\mathrm{梯形}ACDB}=\dfrac{1}{2}(AC+BD)· CD=\dfrac{3}{4}k$,所以 $\dfrac{3}{4}k=12$,解得 $k=16$,所以 $A(a,\dfrac{16}{a}),B(2a,\dfrac{8}{a}).$ 因为点 A,B在一次函数 $y=-2x+b$ 的图象上,所以$\begin{cases}\dfrac{16}{a}=-2a+b,\\\dfrac{8}{a}=-4a+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=2,\\b=12\end{cases}$ 或 $\begin{cases}a=-2,\\b=-12\end{cases}$(不合题意,舍去). 故 a 的值为 2.
(3) 因为 $m=-2x+12,n=\dfrac{16}{x}(x＞0),k=16,b=12$,且 $A(2,8),B(4,4)$,所以观察题图可知,使得$m＞n$ 的 x 的取值范围为 $2＜x＜4.$