1. 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,反比例函数$y=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象与正比例函数$y=kx$,$y=\dfrac{1}{k}x(k＞1)$的图象分别交于点A,B.若$∠ AOB=45°$,则$△ AOB$的面积是（）

A.1
B.$\dfrac{3}{2}$
C.2
D.$\dfrac{5}{2}$

设$A(a,\dfrac{2}{a})(a＞0)$. 把点$A(a,\dfrac{2}{a})$代入$y=kx$,得$ak=\dfrac{2}{a}$,所以$k=\dfrac{2}{a^2}$,所以直线$OA$的函数表达式为$y=\dfrac{2}{a^2}x$,直线$OB$的函数表达式为$y=\dfrac{a^2}{2}x$. 联立方程组$\begin{cases}y=\dfrac{2}{x},\\y=\dfrac{a^2}{2}x,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\dfrac{2}{a},\\y=a\end{cases}$(负值舍去),所以$B(\dfrac{2}{a},a)$,所以$OA=OB$. 如图,过点$A$作$AM⊥ y$轴于点$M$,过点$B$作$BN⊥ x$轴于点$N$,则$AM=a$,$ON=\dfrac{2}{a}$,$BN=a$. 将$△ OAM$绕点$O$顺时针旋转$90°$得到$△ OEN$(易知$B,N,E$三点共线),则$∠ AOE=90°$,$OE=OA$,$EN=AM=a$. 因为$∠ AOB=45°$,所以$∠ EOB=∠ AOE-∠ AOB=45°$,所以$∠ AOB=∠ EOB$. 在$△ AOB$和$△ EOB$中,$\begin{cases}OA=OE,\\∠ AOB=∠ EOB,\\OB=OB,\end{cases}$所以$△ AOB≌△ EOB$,所以$S_{△ AOB}=S_{△ EOB}$. 因为$BE=BN+EN=2a$,所以$S_{△ AOB}=S_{△ EOB}=\dfrac{1}{2}BE· ON=2$. 故$△ AOB$的面积是2.

2. 亮点原创 如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,过点 $C(3,4)$ 的直线 $y=2x+b$ 交 $x$ 轴于点 $A$,以 $AC$ 为斜边向右侧作等腰直角三角形 $ABC$,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 $B$. 若将点 $A$ 沿 $y$ 轴正方向平移 $a$ 个单位长度恰好落在该反比例函数的图象上,则 $a$ 的值为.

如图,过点 $B$ 作 $BN⊥ x$ 轴于点 $N$,过点 $C$ 作 $CM⊥ BN$,交 $NB$ 的延长线于点 $M$,则$∠ ANB=∠ BMC=90°$,所以$∠ CBM+∠ BCM=90°$. 因为$△ ABC$是以 $AC$ 为斜边的等腰直角三角形,所以 $BC=AB$,$∠ ABC=90°$,所以$∠ CBM+∠ ABN=180°-∠ ABC=90°$,所以$∠ BCM=∠ ABN$. 在$△ BCM$ 和$△ ABN$ 中,$\begin{cases}∠ BMC=∠ ANB,\\∠ BCM=∠ ABN,\\BC=AB,\end{cases}$所以$△ BCM≌△ ABN$,所以 $BM=AN$,$CM=BN$. 因为点 $C(3,4)$ 在直线 $y=2x+b$ 上,所以 $2×3+b=4$,解得 $b=-2$,所以直线 $AC$ 的函数表达式为 $y=2x-2$. 在 $y=2x-2$ 中,令 $y=0$,得 $2x-2=0$,解得 $x=1$,所以 $A(1,0)$,所以 $OA=1$. 设 $BM=AN=m$,$CM=BN=n$,则 $C(1+m-n,m+n)$. 又 $C(3,4)$,所以 $\begin{cases}1+m-n=3,\\m+n=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=3,\\n=1,\end{cases}$ 所以 $AN=3$,$BN=1$,所以 $ON=OA+AN=4$,所以 $B(4,1)$. 因为反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象经过点 $B$,所以 $1=\dfrac{k}{4}$,解得 $k=4$,所以反比例函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$. 因为 $A(1,0)$,所以点 $(1,a)$在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}(x＞0)$ 的图象上,所以 $a=4$.

3. (2025·江苏苏州) 如图,一次函数 $y=2x+$4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A,B 两点,与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于点 C,过点 B 作 x 轴的平行线与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$$(x＞0)$ 的图象交于点 D,连接 CD.
(1) 求 A,B 两点的坐标;
(2) 若 $△ BCD$ 是以 BD 为底边的等腰三角形,求 k 的值.

(1) 在 $y=2x+4$ 中,令 $y=0$,得 $2x+4=0$,解得 $x=-2$,所以点 $A$ 的坐标为$(-2,0)$;令 $x=0$,得 $y=4$,所以点 $B$ 的坐标为$(0,4)$.
(2) 过点 $C$ 作 $CE⊥ BD$ 于点 $E$. 因为点 $C$ 在一次函数 $y=2x+4$ 的图象上,所以可设 $C(a,2a+4)$. 因为 $BD// x$ 轴,$B(0,4)$,所以 $BE=a$. 因为$△ BCD$ 是以 $BD$ 为底边的等腰三角形,所以 $BD=2BE=2a$,所以 $D(2a,4)$. 因为点 $C,D$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,所以 $a(2a+4)=4·2a$,所以 $a(a-2)=0$. 因为 $a≠0$,所以 $a-2=0$,所以 $a=2$,所以 $D(4,4)$,所以 $k=4×4=16$.

4. 新素养 几何直观 如图,矩形$ABCD$的顶点$A$,$C$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$($k＞0,x＞0$)的图象上.若点$A$的坐标为$(3,4)$,$AB=2$,$AD// x$轴,则点$C$的坐标为.

因为点 $A(3,4)$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,所以 $4=\dfrac{k}{3}$,解得 $k=12$,所以 $y=\dfrac{12}{x}$. 因为四边形 $ABCD$ 为矩形,$AD// x$ 轴,所以 $AB// y$ 轴,$BC// x$ 轴. 因为 $AB=2$,所以点 $B$ 的纵坐标为 $4-2=2$,所以点 $C$ 的纵坐标为 $2$. 在 $y=\dfrac{12}{x}$ 中,令 $y=2$,得 $2=\dfrac{12}{x}$,解得 $x=6$. 经检验,$x=6$ 是原方程的解,所以点 $C$ 的坐标为$(6,2)$.

5. 如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,正方形 ABCD 的顶点 A,D 在函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象上,$AC⊥ x$ 轴,垂足为 C,点 B 的坐标为$(0,2)$,则 k 的值为.

连接 $BD$,交 $AC$ 于点 $E$. 因为 $B(0,2)$,所以 $OB=2$. 因为四边形 $ABCD$ 是正方形,所以 $BE=CE=\dfrac{1}{2}AC$,$AC⊥ BD$. 因为 $AC⊥ x$ 轴,所以 $AC// y$ 轴,$BD// x$ 轴,所以 $OC=BE=CE=OB=2$,所以 $AC=2CE=4$,所以 $A(2,4)$. 因为点 $A$ 在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象上,所以 $4=\dfrac{k}{2}$,解得 $k=8$.

6. 如图,已知点$A(a,0),B(0,b)$,且$a,b$满足$\sqrt{a+1}+(a+b+3)^2=0,□ ABCD$的边$AD$与$y$轴交于点$E$,且$E$为$AD$的中点,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象经过$C,D$两点.
(1) 求$k$的值;
(2) 已知点$P$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,点$Q$在$y$轴上.若以$A,B,P,Q$四点为顶点的四边形是平行四边形,试求满足要求的所有点$P,Q$的坐标.

(1) 因为$\sqrt{a+1}+(a+b+3)^2=0$,所以 $a+1=0$,$a+b+3=0$,解得 $a=-1$,$b=-2$,所以 $A(-1,0)$,$B(0,-2)$. 因为 $E$ 为 $AD$ 的中点,所以可设 $D(1,t)$. 因为四边形 $ABCD$ 为平行四边形,所以 $C(2,t-2)$. 因为反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象经过 $C,D$ 两点,所以 $k=2(t-2)=t$,解得 $t=4$,$k=4$.
(2) 因为点 $P$ 在反比例函数 $y=\dfrac{4}{x}$ 的图象上,点 $Q$ 在 $y$ 轴上,所以可设 $P(n,\dfrac{4}{n})$,$Q(0,m)$. 因为 $A(-1,0)$,$B(0,-2)$,所以若以 $A,B,P,Q$ 四点为顶点的四边形是平行四边形,则分类讨论如下:① 当 $AP$ 为该平行四边形的对角线时,$\begin{cases}-1+n=0,\\\dfrac{4}{n}=m-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=6,\\n=1,\end{cases}$ 所以 $P(1,4)$,$Q(0,6)$;② 当 $AB$ 为该平行四边形的对角线时,$\begin{cases}-1=n,\\-2=m+\dfrac{4}{n},\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=2,\\n=-1,\end{cases}$ 所以 $P(-1,-4)$,$Q(0,2)$;③ 当 $AQ$ 为该平行四边形的对角线时,$\begin{cases}-1=n,\\m=\dfrac{4}{n}-2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}m=-6,\\n=-1,\end{cases}$ 所以 $P(-1,-4)$,$Q(0,-6)$. 综上所述,满足要求的所有点 $P,Q$ 的坐标为 $P(1,4)$,$Q(0,6)$ 或 $P(-1,-4)$,$Q(0,2)$ 或 $P(-1,-4)$,$Q(0,-6)$.