1. 新素养 几何直观 一次函数 $y=-kx+1$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

解析:当 $k＞0$ 时,一次函数 $y=-kx+1$ 的图象经过第一、二、四象限,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象位于第一、三象限;当 $k＜0$ 时,一次函数 $y=-kx+1$ 的图象经过第一、二、三象限,反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象位于第二、四象限.观察可知选项 A 符合题意.

2. 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,一次函数$y=mx+n$的图象与反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象交于第二、四象限的点$A(-2,a)$和点$B(b,-1)$,过点$A$作$x$轴的垂线,垂足为$C$,$△ AOC$的面积为4.
(1) 求$a,b$的值;
(2) 结合图象直接写出关于$x$的不等式$mx+n＞\dfrac{k}{x}$的解集;
(3) 在$y$轴上取点$P$,当$PB-PA$取最大值时,求点$P$的坐标.

(1) 因为 $A(-2,a),AC⊥ x$ 轴,所以 $∠ OCA = 90°$,$OC=2,AC=a$,所以 $S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2}OC· AC=a$. 又$S_{△ AOC}=4$,所以 $a=4$,所以 $A(-2,4)$. 把点 $A(-2,4)$代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $4=\dfrac{k}{-2}$,解得 $k=-8$,所以反比例函数的表达式为 $y=-\dfrac{8}{x}$. 把点 $B(b,-1)$代入 $y=-\dfrac{8}{x}$,得$-1=-\dfrac{8}{b}$,解得 $b=8$. 经检验,$b=8$ 是原方程的解.
(2) 观察题图可知,当 $x＜-2$ 或 $0＜x＜8$ 时,一次函数 $y=mx+n$ 的图象在反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}$ 的图象的上方,所以关于 $x$ 的不等式 $mx+n＞\dfrac{k}{x}$ 的解集为$x＜-2$ 或 $0＜x＜8$.
(3) 作点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点 $A'$,连接 $BA'$ 并延长交$y$ 轴于点 $P$,则 $A'(2,4),PA'=PA$,所以 $PB-PA=PB-PA'=BA'$,此时 $PB-PA$ 取最大值. 设直线$BA'$的函数表达式为 $y=cx+d$. 把点 $B(8,-1),A'(2,4)$分别代入 $y=cx+d$,得$\begin{cases}8c+d=-1,\\2c+d=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}c=-\dfrac{5}{6},\\d=\dfrac{17}{3},\end{cases}$所以直线 $BA'$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{5}{6}x+\dfrac{17}{3}$. 在$y=-\dfrac{5}{6}x+\dfrac{17}{3}$中,令 $x=0$,得 $y=\dfrac{17}{3}$,所以点 $P$ 的坐标为$(0,\dfrac{17}{3})$.

3. 如图,在平面直角坐标系中,O是原点,一次函数的图象与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 的图象交于 $A(2,$4),B 两点,过点 A 作 $AD⊥ x$ 轴于点 D,过点 B作 $BC⊥ x$ 轴于点 C,连接 OA.
(1) 求 k 的值;
(2) 若 D 为 OC 的中点,求四边形 OABC 的面积.

(1) 把点 $A(2,4)$代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $4=\dfrac{k}{2}$,解得 $k=8$.
(2) 因为 $A(2,4),AD⊥ x$ 轴,所以 $OD=2,AD=4$,所以 $S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}OD· AD=4$. 因为 $D$ 为 $OC$ 的中点,所以 $CD=OD=2,OC=2OD=4$. 因为 $BC⊥ x$ 轴,所以点 $B$ 的横坐标为 4. 在 $y=\dfrac{8}{x}$ 中,令 $x=4$,得 $y=\dfrac{8}{4}=2$,所以 $B(4,2)$,所以 $BC=2$,所以 $S_{梯形ABCD}=\dfrac{1}{2}(BC+AD)· CD=6$,所以 $S_{四边形OABC}=S_{△ OAD}+S_{梯形ABCD}=10$. 故四边形 $OABC$ 的面积为 10.

4. (2026·江苏淮安期末)如图,在平面直角坐标系中,O 是原点,点 A的坐标为$(0,3)$,点 B 的坐标为$(1,$0),连接 AB,以 AB 为边在第一象限内作正方形ABCD,直线 BD 交双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 于 D,E 两点.已知点 E 的坐标为$(-2,a).$
(1) 求双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 和直线 DE 的函数表达式;
(2) 求点 E 到直线 DC 的距离;
(3) 在 x 轴上是否存在点 P,使$|PD-PE|$的值最大? 若存在,直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

(1) 如图,过点 $D$ 作 $DM⊥ y$ 轴于点 $M$,则$∠ DMA=∠ AOB=90°$,所以$∠ DAM+∠ ADM=90°$. 因为四边形$ABCD$ 是正方形,所以 $DA=AB,∠ BAD=90°$,所以$∠ DAM+∠ BAO=180°-∠ BAD=90°$, 所以$∠ ADM=∠ BAO$. 因为 $A(0,3),B(1,0)$,所以 $OA=3$,$OB=1$. 在$△ DMA$ 和$△ AOB$ 中,$\begin{cases}∠ DMA=∠ AOB,\\∠ ADM=∠ BAO,\\DA=AB,\end{cases}$所以$△ DMA≌△ AOB$,所以 $MD=OA=3,MA=OB=1$,所以 $OM=OA+MA=4$,所以 $D(3,4)$. 因为双曲线 $y=\dfrac{k}{x}$ 经过点 $D$,所以 $4=\dfrac{k}{3}$,解得 $k=12$,所以双曲线的函数表达式为 $y=\dfrac{12}{x}$. 设直线 $DE$ 的函数表达式为 $y=mx+n$. 把点 $B(1,0),D(3,4)$分别代入$y=mx+n$,得$\begin{cases}m+n=0,\\3m+n=4,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=2,\\n=-2,\end{cases}$所以直线$DE$ 的函数表达式为 $y=2x-2$.

(2) 如图,连接 $AC$,交 $BD$ 于点 $N$,连接 $CE$,过点 $E$作 $EF⊥ DC$,交 $DC$ 的延长线于点 $F$. 因为 $∠ AOB=90°,OA=3,OB=1$,所以 $AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{10}$. 因为四边形 $ABCD$ 是正方形,所以 $∠ ABC=90°,AC⊥ BD,AN=CN=\dfrac{1}{2}AC,DC=BC=AB=\sqrt{10}$,所以 $AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt{5}$,所以 $CN=\sqrt{5}$. 因为反比例函数 $y=\dfrac{12}{x}$ 的图象经过点 $E(-2,a)$,所以 $a=\dfrac{12}{-2}=-6$,所以 $E(-2,-6)$. 因为 $D(3,4)$,所以$DE=\sqrt{(-2-3)^2+(-6-4)^2}=5\sqrt{5}$. 因为 $S_{△ CDE}=\dfrac{1}{2}DC· EF=\dfrac{1}{2}DE· CN$,所以 $EF=\dfrac{DE· CN}{DC}=\dfrac{5\sqrt{10}}{2}$. 故点 $E$ 到直线 $DC$ 的距离为 $\dfrac{5\sqrt{10}}{2}$.
(3) 作点 $E(-2,-6)$ 关于 $x$ 轴的对称点 $E'$,连接$PE',DE'$,则 $E'(-2,6),PE'=PE$,所以 $|PD-PE|=|PD-PE'|$. 因为 $|PD-PE'|≤ DE'$,所以$|PD-PE|$ 有最大值,且最大值即为 $DE'$ 的长,此时$P,D,E'$ 三点共线. 设直线 $DE'$ 的函数表达式为 $y=px+q$. 把点 $D(3,4),E'(-2,6)$ 分别代入 $y=px+q$,得$\begin{cases}3p+q=4,\\-2p+q=6,\end{cases}$解得$\begin{cases}p=-\dfrac{2}{5},\\q=\dfrac{26}{5},\end{cases}$所以直线 $DE'$ 的函数表达式为 $y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{26}{5}$. 在 $y=-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{26}{5}$ 中,令 $y=0$,得$-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{26}{5}=0$,解得 $x=13$,则 $P(13,0)$. 故存在满足题意的点 $P$,且点 $P$ 的坐标为 $(13,0)$.