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1. 若反比例函数 $y=(m-1)x^{|m-1|-2}$ 的图象经过第一、三象限，求该反比例函数的表达式.
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答案
因为反比例函数$y=(m-1)x^{|m-1|-2}$的图象经过第一、三象限，所以$\begin{cases} m-1＞0,\\ |m-1|-2=-1, \end{cases}$解得$m=2$. 故该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{1}{x}$.
2. 如图,在平面直角坐标系中,反比
例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象和矩
形$ABCD$在第一象限,$AD// x$轴,且$AB=2$,$AD=4$,点$A$的坐标为$(2,6)$.
(1) 请直接写出$B$,$C$,$D$三点的坐标;
(2) 若将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想是哪两个点,并求矩形$ABCD$向下平移的距离和反比例函数的表达式.
例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象和矩
形$ABCD$在第一象限,$AD// x$轴,且$AB=2$,$AD=4$,点$A$的坐标为$(2,6)$.
(1) 请直接写出$B$,$C$,$D$三点的坐标;
(2) 若将矩形向下平移,使矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上,猜想是哪两个点,并求矩形$ABCD$向下平移的距离和反比例函数的表达式.
答案
(1) 点B的坐标为(2,4)，点C的坐标为(6,4)，点D的坐标为(6,6).
(2) 由题图，猜想A,C两点恰好同时落在该反比例函数的图象上. 设矩形ABCD向下平移了$n(n＞0)$个单位长度. 因为平移前A,C两点的坐标分别为(2,6),(6,4)，所以平移后A,C两点的坐标分别为(2,6-n),(6,4-n)，所以$2(6-n)=6(4-n)$，解得$n=3$，所以矩形ABCD向下平移的距离为3个单位长度. 因为$2×(6-3)=6$，所以该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$.
(2) 由题图，猜想A,C两点恰好同时落在该反比例函数的图象上. 设矩形ABCD向下平移了$n(n＞0)$个单位长度. 因为平移前A,C两点的坐标分别为(2,6),(6,4)，所以平移后A,C两点的坐标分别为(2,6-n),(6,4-n)，所以$2(6-n)=6(4-n)$，解得$n=3$，所以矩形ABCD向下平移的距离为3个单位长度. 因为$2×(6-3)=6$，所以该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{6}{x}(x＞0)$.
3. 新素养 几何直观 如图,点 A 在反比例函数
$y_{1}=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上,点 B 在反比例函数
$y_{2}=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象上,$AB// x$轴,C 是$x$轴上一点,连接$AC,BC$.若$△ ABC$的面积是$6$,则反比例函数$y_{2}$的表达式为 （
A.$y_{2}=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$
B.$y_{2}=-\dfrac{8}{x}(x＜0)$
C.$y_{2}=-\dfrac{10}{x}(x＜0)$
D.$y_{2}=-\dfrac{12}{x}(x＜0)$
$y_{1}=\dfrac{2}{x}(x＞0)$的图象上,点 B 在反比例函数
$y_{2}=\dfrac{k}{x}(x＜0)$的图象上,$AB// x$轴,C 是$x$轴上一点,连接$AC,BC$.若$△ ABC$的面积是$6$,则反比例函数$y_{2}$的表达式为 （
C
）A.$y_{2}=-\dfrac{6}{x}(x＜0)$
B.$y_{2}=-\dfrac{8}{x}(x＜0)$
C.$y_{2}=-\dfrac{10}{x}(x＜0)$
D.$y_{2}=-\dfrac{12}{x}(x＜0)$
答案
C 解析:连接OA,OB,设AB与y轴交于点D,则$S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}×2=1$,$S_{△ OBD}=-\dfrac{1}{2}k$,所以$S_{△ OAB}=S_{△ OAD}+S_{△ OBD}=1-\dfrac{1}{2}k$. 因为$AB// x$轴,所以$S_{△ ABC}=S_{△ OAB}=1-\dfrac{1}{2}k$. 又$S_{△ ABC}=6$,所以$1-\dfrac{1}{2}k=6$,所以$k=-10$. 故反比例函数$y_2$的表达式为$y_2=-\dfrac{10}{x}(x＜0)$.
4. 如图,平行于 $y$ 轴的直线与反比例函数 $y_1=$$\dfrac{k}{x}(x＞0)$ 和 $y_2=\dfrac{2}{x}(x＞0)$ 的图象分别交于$A,B$ 两点,线段 $OA$ 交反比例函数 $y_2=\dfrac{2}{x}$$(x＞0)$ 的图象于点 $C$,连接 $CD$. 若$△ OCD$ 的面积为 2,则反比例函数 $y_1$ 的表达式为 （
A.$y_1=\dfrac{4}{x}(x＞0)$
B.$y_1=\dfrac{6}{x}(x＞0)$
C.$y_1=\dfrac{8}{x}(x＞0)$
D.$y_1=\dfrac{10}{x}(x＞0)$
C
）A.$y_1=\dfrac{4}{x}(x＞0)$
B.$y_1=\dfrac{6}{x}(x＞0)$
C.$y_1=\dfrac{8}{x}(x＞0)$
D.$y_1=\dfrac{10}{x}(x＞0)$
答案
C 解析:过点C作$CE⊥ x$轴于点E,$CF⊥ AD$于点F,则$∠ CED=∠ CFD=90°$. 因为点A在反比例函数$y_1=\dfrac{k}{x}$的图象上,所以设$A(a,\dfrac{k}{a})$. 因为$AD// y$轴,所以$OD=a$,$AD=\dfrac{k}{a}$,$AD⊥ x$轴,所以$∠ ODA=90°$,所以四边形CEDF为矩形,所以$CF=DE$. 因为点C在反比例函数$y_2=\dfrac{2}{x}$的图象上,所以$S_{△ OCE}=\dfrac{1}{2}×2=1$. 因为$S_{△ OCD}=2$,所以$S_{△ OCE}=\dfrac{1}{2}S_{△ OCD}$,所以E是OD的中点,所以$CF=DE=\dfrac{1}{2}OD=\dfrac{1}{2}a$,所以$S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AD· CF=\dfrac{1}{4}k$,所以$S_{△ OAD}=S_{△ ACD}+S_{△ OCD}=\dfrac{1}{4}k+2$. 又$S_{△ OAD}=\dfrac{1}{2}k$,所以$\dfrac{1}{4}k+2=\dfrac{1}{2}k$,解得$k=8$. 故反比例函数$y_1$的表达式为$y_1=\dfrac{8}{x}(x＞0)$.
5. (2026·江苏宿近期末)如图,在四边形 OABF 中，$∠ OAB=∠ B=90°$,点 A 在 x 轴上,反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(x＞0)$的图象经过点 F,交 AB 于点E,连接 EF.若$\dfrac{BF}{OA}=\dfrac{3}{4},S_{△ BEF}=9$,求该反比例函数的表达式.
答案
因为$∠ OAB=∠ B=90°$,所以$AB⊥ x$轴,$∠ OAB+∠ B=180°$,所以$OA// BF$. 因为点A在x轴上,所以$BF⊥ y$轴. 延长BF交y轴于点C,则$∠ OCF=90°$,所以四边形OABC是矩形,所以$OA=BC$,$AB=OC$. 因为$\dfrac{BF}{OA}=\dfrac{3}{4}$,所以设$BF=3a$,$OA=4a(a＞0)$,所以$BC=4a$,所以$CF=BC-BF=a$,所以点E的横坐标为4a,点F的横坐标为a. 因为E,F两点都在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上,所以$E(4a,\dfrac{k}{4a})$,$F(a,\dfrac{k}{a})$,所以$AE=\dfrac{k}{4a}$,$AB=OC=\dfrac{k}{a}$,所以$BE=AB-AE=\dfrac{3k}{4a}$. 因为$S_{△ BEF}=9$,$S_{△ BEF}=\dfrac{1}{2}BE· BF$,所以$\dfrac{1}{2}·\dfrac{3k}{4a}·3a=9$,解得$k=8$. 故该反比例函数的表达式为$y=\dfrac{8}{x}(x＞0)$.
