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1. 在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，15，7，9，12. 要使个数相差较小的同学分在一组，下表给出了4种分法的组内离差平方和(结果保留小数点后一位).
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（
A.$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$
B.$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
C.$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$
D.$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$
根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（
B
）A.$\{7\}$和$\{9,12,13,15\}$
B.$\{7,9\}$和$\{12,13,15\}$
C.$\{7,9,12\}$和$\{13,15\}$
D.$\{7,9,12,13\}$和$\{15\}$
答案
1. B 将数据 13,15,7,9,12 按从小到大的顺序排列为 7,9,12,13,15. 由题表中的数据可知,6.7＜14.7＜18.8＜22.8.
∴ 按{7,9}和{12,13,15}分组.
∴ 按{7,9}和{12,13,15}分组.
解析
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2. 某小组8名学生的数学考试成绩(单位:分)分别为88,98,87,92,92,90,91,96,老师决定将这些成绩分为两组,以便更好地分析学生的成绩分布. 若按照以下分组方式:第一组{87,88,90,91,92,92},第二组{96,98},则组内离差平方和为
24
.答案
2. 24 第一组数据的平均数为(87+88+90+91+92+92)÷6=90,第一组数据的离差平方和为(87-90)²+(88-90)²+…+(92-90)²=22;第二组数据的平均数为(96+98)÷2=97,第二组数据的离差平方和为(96-97)²+(98-97)²=2.
∴ 组内离差平方和为22+2=24.
∴ 组内离差平方和为22+2=24.
解析
【分析】
要计算组内离差平方和，首先明确它的计算规则：先分别求出每一个分组内部的离差平方和，再将所有分组的离差平方和相加得到总和。解题时可以分三步进行：第一步先处理第一组数据，先计算第一组的平均数，再逐个计算组内每个数据与该组平均数的差的平方，求和得到第一组的离差平方和；第二步处理第二组数据，用同样的方法求出第二组的离差平方和；第三步将两个组的离差平方和相加，就能得到最终的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组的相关结果
第一组数据为{87,88,90,91,92,92}，共6个数据：
第一组的平均数$\bar{x_1}=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=90$
第一组的离差平方和：
$S_1^2=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2$
$=9+4+0+1+4+4=22$
2. 计算第二组的相关结果
第二组数据为{96,98}，共2个数据：
第二组的平均数$\bar{x_2}=\frac{96+98}{2}=97$
第二组的离差平方和：
$S_2^2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$
3. 计算总的组内离差平方和
将两组的离差平方和相加：$S=S_1^2+S_2^2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和
【点评】
本题属于统计模块的基础概念计算题，核心考察对组内离差平方和定义的理解，只要明确计算时是按分组分别使用各组自身的平均数计算离差平方和再求和，就可以顺利得出结果，需要注意不要误用全部数据的总平均数来计算，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
要计算组内离差平方和，首先明确它的计算规则：先分别求出每一个分组内部的离差平方和，再将所有分组的离差平方和相加得到总和。解题时可以分三步进行：第一步先处理第一组数据，先计算第一组的平均数，再逐个计算组内每个数据与该组平均数的差的平方，求和得到第一组的离差平方和；第二步处理第二组数据，用同样的方法求出第二组的离差平方和；第三步将两个组的离差平方和相加，就能得到最终的组内离差平方和。
【解析】
1. 计算第一组的相关结果
第一组数据为{87,88,90,91,92,92}，共6个数据：
第一组的平均数$\bar{x_1}=\frac{87+88+90+91+92+92}{6}=90$
第一组的离差平方和：
$S_1^2=(87-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(91-90)^2+(92-90)^2+(92-90)^2$
$=9+4+0+1+4+4=22$
2. 计算第二组的相关结果
第二组数据为{96,98}，共2个数据：
第二组的平均数$\bar{x_2}=\frac{96+98}{2}=97$
第二组的离差平方和：
$S_2^2=(96-97)^2+(98-97)^2=1+1=2$
3. 计算总的组内离差平方和
将两组的离差平方和相加：$S=S_1^2+S_2^2=22+2=24$
【答案】
24
【知识点】
平均数计算，离差平方和
【点评】
本题属于统计模块的基础概念计算题，核心考察对组内离差平方和定义的理解，只要明确计算时是按分组分别使用各组自身的平均数计算离差平方和再求和，就可以顺利得出结果，需要注意不要误用全部数据的总平均数来计算，避免概念混淆出错。
【难度系数】
0.7
3. 如图所示为甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是
甲地
（填“甲地”或“乙地”）。答案
3. 甲地 根据图形可知,甲地的“箱体”较长,说明数据比乙地分散,则甲地的日平均气温波动大,故甲地的日平均气温的方差大.
解析
【分析】
我们首先理清解题的核心逻辑：首先明确方差的统计意义，方差是用来衡量数据波动大小、离散程度的统计量，数据越分散、波动幅度越大，对应的方差就越大；其次回忆箱线图的特征，箱线图的箱体长度代表四分位距，整体上下的延伸跨度代表数据的取值范围，图形整体越宽、箱体越长，说明对应的数据分布越分散。接下来对比甲乙两地的箱线图，甲地的箱体更长，数据的整体取值范围也明显大于乙地，说明甲地日平均气温的离散程度更高，波动更大，由此就能直接判断出方差更大的对象。
【解析】
1. 明确统计量性质：方差反映一组数据的波动大小，数据的离散程度越高、波动幅度越大，方差的数值就越大。
2. 对比箱线图特征：甲地的箱线图箱体长度更长，日平均气温的最大值与最小值的差值也远大于乙地，说明甲地的日平均气温数据比乙地更分散，整体波动程度更高。
3. 结合方差的含义可得，甲地的日平均气温方差更大。
【答案】
甲地
【知识点】
方差的意义；箱线图
【点评】
本题是统计模块的基础概念应用题，不需要进行复杂的数值计算，只需要结合箱线图的直观形态，理解方差和数据离散程度的对应关系即可做出判断，重点考察学生对统计图表特征、基础统计量含义的理解，难度较低。
【难度系数】
0.9
我们首先理清解题的核心逻辑：首先明确方差的统计意义，方差是用来衡量数据波动大小、离散程度的统计量，数据越分散、波动幅度越大，对应的方差就越大；其次回忆箱线图的特征，箱线图的箱体长度代表四分位距，整体上下的延伸跨度代表数据的取值范围，图形整体越宽、箱体越长，说明对应的数据分布越分散。接下来对比甲乙两地的箱线图，甲地的箱体更长，数据的整体取值范围也明显大于乙地，说明甲地日平均气温的离散程度更高，波动更大，由此就能直接判断出方差更大的对象。
【解析】
1. 明确统计量性质：方差反映一组数据的波动大小，数据的离散程度越高、波动幅度越大，方差的数值就越大。
2. 对比箱线图特征：甲地的箱线图箱体长度更长，日平均气温的最大值与最小值的差值也远大于乙地，说明甲地的日平均气温数据比乙地更分散，整体波动程度更高。
3. 结合方差的含义可得，甲地的日平均气温方差更大。
【答案】
甲地
【知识点】
方差的意义；箱线图
【点评】
本题是统计模块的基础概念应用题，不需要进行复杂的数值计算，只需要结合箱线图的直观形态，理解方差和数据离散程度的对应关系即可做出判断，重点考察学生对统计图表特征、基础统计量含义的理解，难度较低。
【难度系数】
0.9
4. 5 个苹果的直径(单位:mm)分别为 65,69,81,80,70,按照“组内离差平方和最小”的原则,把这 5 个苹果按直径大小分成三组.
答案
4. 将这 5 个数据按从小到大的顺序排列:65,69,70,80,81.计算组内离差平方和(结果保留小数点后一位)如下：
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| --- | --- |
| 第一组1个,第二组1个,第三组3个 | 74 |
| 第一组1个,第二组2个,第三组2个 | 1 |
| 第一组1个,第二组3个,第三组1个 | 74 |
| 第一组2个,第二组1个,第三组2个 | 8.5 |
| 第一组2个,第二组2个,第三组1个 | 58 |
| 第一组3个,第二组1个,第三组1个 | 14 |
第2种情况的组内离差平方和最小,因此把这5个苹果按直径(单位:mm)大小分成三组是{65},{69,70}和{80,81}.
| 分组情况 | 组内离差平方和 |
| --- | --- |
| 第一组1个,第二组1个,第三组3个 | 74 |
| 第一组1个,第二组2个,第三组2个 | 1 |
| 第一组1个,第二组3个,第三组1个 | 74 |
| 第一组2个,第二组1个,第三组2个 | 8.5 |
| 第一组2个,第二组2个,第三组1个 | 58 |
| 第一组3个,第二组1个,第三组1个 | 14 |
第2种情况的组内离差平方和最小,因此把这5个苹果按直径(单位:mm)大小分成三组是{65},{69,70}和{80,81}.
解析
【分析】
解题思路如下：1. 首先明确题目要求是按直径大小分组，因此同一组内的苹果直径必然是排序后相邻的数值，不存在跨数值的乱序分组，因此第一步先将5个直径数据从小到大排序，大幅减少需要枚举的分组数量。2. 5个排序后的元素要分成3组，相当于在元素之间的4个空隙中选择2个位置插入分隔符，总共有C(4,2)=6种合法的相邻分组方式，无需考虑其他不符合“按大小分组”要求的无效分组。3. 对每一种分组方式，分别计算每个组的组内离差平方和（组内每个数据减去该组均值的平方和，仅含1个元素的组离差平方和为0），求和得到该分组的总组内离差平方和。4. 对比所有6种分组的总组内离差平方和，选取数值最小的对应的分组，就是符合要求的结果。
【解析】
步骤1：将5个苹果的直径按从小到大排序，得到有序序列：65，69，70，80，81。
步骤2：枚举所有将该有序序列分为3个连续组的情况，逐一计算总组内离差平方和：
① 分组为{65}、{69}、{70,80,81}：总组内离差平方和=0+0+[(70-77)²+(80-77)²+(81-77)²]=74
② 分组为{65}、{69,70}、{80,81}：总组内离差平方和=0+[(69-69.5)²+(70-69.5)²]+[(80-80.5)²+(81-80.5)²]=1
③ 分组为{65}、{69,70,80}、{81}：总组内离差平方和=0+[(69-73)²+(70-73)²+(80-73)²]+0=74
④ 分组为{65,69}、{70}、{80,81}：总组内离差平方和=[(65-67)²+(69-67)²]+0+0.5=8.5
⑤ 分组为{65,69}、{70,80}、{81}：总组内离差平方和=8+[(70-75)²+(80-75)²]+0=58
⑥ 分组为{65,69,70}、{80}、{81}：总组内离差平方和=[(65-68)²+(69-68)²+(70-68)²]+0+0=14
步骤3：对比6种分组的总组内离差平方和，其中最小值为1，对应分组即为符合组内离差平方和最小原则的分组。
【答案】
分成的三组为{65},{69,70}和{80,81}
【知识点】
组内离差平方和计算，有序样本聚类
【点评】
本题是有序样本最优分组的基础题型，核心要点是抓住“按大小分组则组内元素必然排序相邻”的性质，避免无效枚举，解题过程仅需掌握离差平方和的基础计算规则，逐一枚举验证即可得到正确结果，计算难度低，重点考察对分组规则的理解。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：1. 首先明确题目要求是按直径大小分组，因此同一组内的苹果直径必然是排序后相邻的数值，不存在跨数值的乱序分组，因此第一步先将5个直径数据从小到大排序，大幅减少需要枚举的分组数量。2. 5个排序后的元素要分成3组，相当于在元素之间的4个空隙中选择2个位置插入分隔符，总共有C(4,2)=6种合法的相邻分组方式，无需考虑其他不符合“按大小分组”要求的无效分组。3. 对每一种分组方式，分别计算每个组的组内离差平方和（组内每个数据减去该组均值的平方和，仅含1个元素的组离差平方和为0），求和得到该分组的总组内离差平方和。4. 对比所有6种分组的总组内离差平方和，选取数值最小的对应的分组，就是符合要求的结果。
【解析】
步骤1：将5个苹果的直径按从小到大排序，得到有序序列：65，69，70，80，81。
步骤2：枚举所有将该有序序列分为3个连续组的情况，逐一计算总组内离差平方和：
① 分组为{65}、{69}、{70,80,81}：总组内离差平方和=0+0+[(70-77)²+(80-77)²+(81-77)²]=74
② 分组为{65}、{69,70}、{80,81}：总组内离差平方和=0+[(69-69.5)²+(70-69.5)²]+[(80-80.5)²+(81-80.5)²]=1
③ 分组为{65}、{69,70,80}、{81}：总组内离差平方和=0+[(69-73)²+(70-73)²+(80-73)²]+0=74
④ 分组为{65,69}、{70}、{80,81}：总组内离差平方和=[(65-67)²+(69-67)²]+0+0.5=8.5
⑤ 分组为{65,69}、{70,80}、{81}：总组内离差平方和=8+[(70-75)²+(80-75)²]+0=58
⑥ 分组为{65,69,70}、{80}、{81}：总组内离差平方和=[(65-68)²+(69-68)²+(70-68)²]+0+0=14
步骤3：对比6种分组的总组内离差平方和，其中最小值为1，对应分组即为符合组内离差平方和最小原则的分组。
【答案】
分成的三组为{65},{69,70}和{80,81}
【知识点】
组内离差平方和计算，有序样本聚类
【点评】
本题是有序样本最优分组的基础题型，核心要点是抓住“按大小分组则组内元素必然排序相邻”的性质，避免无效枚举，解题过程仅需掌握离差平方和的基础计算规则，逐一枚举验证即可得到正确结果，计算难度低，重点考察对分组规则的理解。
【难度系数】
0.6
