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7. 一组数据$a , b , c , d , e , f , g$的平均数是$m$,方差是$n$,则另一组数据$3a - 2 , 3b - 2 , 3c - 2 , 3d - 2 , 3e - 2 , 3f - 2 , 3g - 2$的平均数和方差分别是（
A.$3 , 3n - 2$
B.$3m - 2 , n$
C.$m - 2 , 3n$
D.$3m - 2 , 9n$
D
）A.$3 , 3n - 2$
B.$3m - 2 , n$
C.$m - 2 , 3n$
D.$3m - 2 , 9n$
答案
依题意，$\dfrac{1}{7}(a+b+c+d+e+f+g)=m$，
∴ $a+b+c+d+e+f+g=7m$。
∴ $3a-2,3b-2,3c-2,3d-2,3e-2,3f-2,3g-2$的平均数为$\dfrac{1}{7}[(3a-2)+(3b-2)+(3c-2)+(3d-2)+(3e-2)+(3f-2)+(3g-2)]=\dfrac{1}{7}×(3×7m-2×7)=3m-2$。
∵ 数据 $a,b,c,d,e,f,g$ 的方差是 $n$，即$\dfrac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2+(e-m)^2+(f-m)^2+(g-m)^2]=n$，
∴ 数据 $3a-2,3b-2,3c-2,3d-2,3e-2,3f-2,3g-2$ 的方差为$\dfrac{1}{7}[(3a-2-3m+2)^2+(3b-2-3m+2)^2+(3c-2-3m+2)^2+(3d-2-3m+2)^2+(3e-2-3m+2)^2+(3f-2-3m+2)^2+(3g-2-3m+2)^2]=\dfrac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2+(e-m)^2+(f-m)^2+(g-m)^2]×9=9n$。答案为D。
∴ $a+b+c+d+e+f+g=7m$。
∴ $3a-2,3b-2,3c-2,3d-2,3e-2,3f-2,3g-2$的平均数为$\dfrac{1}{7}[(3a-2)+(3b-2)+(3c-2)+(3d-2)+(3e-2)+(3f-2)+(3g-2)]=\dfrac{1}{7}×(3×7m-2×7)=3m-2$。
∵ 数据 $a,b,c,d,e,f,g$ 的方差是 $n$，即$\dfrac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2+(e-m)^2+(f-m)^2+(g-m)^2]=n$，
∴ 数据 $3a-2,3b-2,3c-2,3d-2,3e-2,3f-2,3g-2$ 的方差为$\dfrac{1}{7}[(3a-2-3m+2)^2+(3b-2-3m+2)^2+(3c-2-3m+2)^2+(3d-2-3m+2)^2+(3e-2-3m+2)^2+(3f-2-3m+2)^2+(3g-2-3m+2)^2]=\dfrac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2+(e-m)^2+(f-m)^2+(g-m)^2]×9=9n$。答案为D。
解析
【分析】
这道题可以通过两种思路求解：第一种是从平均数、方差的基础定义出发推导，首先根据原数据的平均数得到7个数据的总和，代入新数据的平均数计算公式化简得到新均值；再将新数据和新均值代入方差公式，化简后和原数据的方差表达式关联，算出新方差。第二种是直接利用统计量的线性变换规律：若一组数据的每个元素做y=kx+b的线性变换，新数据的平均数为k×原平均数+b，方差为k²×原方差，代入对应参数即可快速得到结果。
【解析】
1. 推导原数据总和
已知原7个数据a,b,c,d,e,f,g的平均数为m，根据平均数定义：
$\frac{1}{7}(a+b+c+d+e+f+g)=m$，可得$a+b+c+d+e+f+g=7m$。
2. 计算新数据的平均数
将新数据3a-2,3b-2,…,3g-2代入平均数公式：
新平均数$=\frac{1}{7}[(3a-2)+(3b-2)+(3c-2)+(3d-2)+(3e-2)+(3f-2)+(3g-2)]$
$=\frac{1}{7}[3(a+b+c+d+e+f+g)-2×7]$
$=\frac{1}{7}(3×7m -14)=3m-2$。
3. 计算新数据的方差
已知原数据方差为n，根据方差定义：
$n=\frac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2+(e-m)^2+(f-m)^2+(g-m)^2]$
新数据的平均数为3m-2，代入方差公式：
新方差$=\frac{1}{7}[(3a-2-(3m-2))^2+(3b-2-(3m-2))^2+\dots+(3g-2-(3m-2))^2]$
化简括号内的项可得$3a-2-3m+2=3(a-m)$，因此：
新方差$=\frac{1}{7}[9(a-m)^2+9(b-m)^2+\dots+9(g-m)^2]$
$=9×\frac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+\dots+(g-m)^2]=9n$。
最终可得新数据的平均数为3m-2，方差为9n。
【答案】D
【知识点】平均数运算，方差性质，数据线性变换
【点评】本题是统计模块的基础题型，既可以套用线性变换规律快速解题，也可以从定义出发推导验证，易错点是误以为方差会随加减常数项变化，或者误将方差的缩放倍数写为原系数而非系数的平方，要明确：数据整体加减常数仅改变平均数，不会改变代表离散程度的方差；数据整体乘以k，方差会变为原来的k²倍。
【难度系数】0.7
这道题可以通过两种思路求解：第一种是从平均数、方差的基础定义出发推导，首先根据原数据的平均数得到7个数据的总和，代入新数据的平均数计算公式化简得到新均值；再将新数据和新均值代入方差公式，化简后和原数据的方差表达式关联，算出新方差。第二种是直接利用统计量的线性变换规律：若一组数据的每个元素做y=kx+b的线性变换，新数据的平均数为k×原平均数+b，方差为k²×原方差，代入对应参数即可快速得到结果。
【解析】
1. 推导原数据总和
已知原7个数据a,b,c,d,e,f,g的平均数为m，根据平均数定义：
$\frac{1}{7}(a+b+c+d+e+f+g)=m$，可得$a+b+c+d+e+f+g=7m$。
2. 计算新数据的平均数
将新数据3a-2,3b-2,…,3g-2代入平均数公式：
新平均数$=\frac{1}{7}[(3a-2)+(3b-2)+(3c-2)+(3d-2)+(3e-2)+(3f-2)+(3g-2)]$
$=\frac{1}{7}[3(a+b+c+d+e+f+g)-2×7]$
$=\frac{1}{7}(3×7m -14)=3m-2$。
3. 计算新数据的方差
已知原数据方差为n，根据方差定义：
$n=\frac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+(c-m)^2+(d-m)^2+(e-m)^2+(f-m)^2+(g-m)^2]$
新数据的平均数为3m-2，代入方差公式：
新方差$=\frac{1}{7}[(3a-2-(3m-2))^2+(3b-2-(3m-2))^2+\dots+(3g-2-(3m-2))^2]$
化简括号内的项可得$3a-2-3m+2=3(a-m)$，因此：
新方差$=\frac{1}{7}[9(a-m)^2+9(b-m)^2+\dots+9(g-m)^2]$
$=9×\frac{1}{7}[(a-m)^2+(b-m)^2+\dots+(g-m)^2]=9n$。
最终可得新数据的平均数为3m-2，方差为9n。
【答案】D
【知识点】平均数运算，方差性质，数据线性变换
【点评】本题是统计模块的基础题型，既可以套用线性变换规律快速解题，也可以从定义出发推导验证，易错点是误以为方差会随加减常数项变化，或者误将方差的缩放倍数写为原系数而非系数的平方，要明确：数据整体加减常数仅改变平均数，不会改变代表离散程度的方差；数据整体乘以k，方差会变为原来的k²倍。
【难度系数】0.7
8. 两组数据$m\ ,n\ ,6$与$1,m,2n,7$的平均数都是6. 若将这两组数据合并成一组数据，则这组新数据的方差是
6
.答案
根据题意，得 $\begin{cases}m+n+6=3×6,\\1+m+2n+7=4×6,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=8,\\n=4.\end{cases}$
∴ 将这组新数据按从小到大的顺序排列为 1,4,6,7,8,8,8.
∴ $\overline{x}=\dfrac{1}{7}×(1+4+6+7+8+8+8)=6$。
∴ $s^2=\dfrac{1}{7}×[(1-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2]=6$。
∴ 将这组新数据按从小到大的顺序排列为 1,4,6,7,8,8,8.
∴ $\overline{x}=\dfrac{1}{7}×(1+4+6+7+8+8+8)=6$。
∴ $s^2=\dfrac{1}{7}×[(1-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2]=6$。
解析
【分析】
解题时我们可以分三步思考：第一步，利用平均数的定义，两组数据的平均数都是6，第一组共3个数据，总和等于3乘平均数6，第二组共4个数据，总和等于4乘平均数6，据此列出关于m、n的二元一次方程组，解出m和n的具体数值；第二步，把两组数据合并得到完整的7个数据，确认没有遗漏重复；第三步，代入方差的计算公式，先确认新数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均值，即可得到新数据的方差。
【解析】
1. 列方程组求解m、n
根据平均数的计算公式，第一组数据$m,n,6$的平均数为6，可得：
$\frac{m+n+6}{3}=6$，整理得 $m+n+6=18$，即$m+n=12$
第二组数据$1,m,2n,7$的平均数为6，可得：
$\frac{1+m+2n+7}{4}=6$，整理得 $1+m+2n+7=24$，即$m+2n=16$
联立方程组：
$\begin{cases}m+n=12\\m+2n=16\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$n=4$，代入$m+n=12$得$m=8$。
2. 得到合并后的新数据
将$m=8$，$n=4$代入两组数据，合并后的数据从小到大排列为：1,4,6,7,8,8,8，共7个数据。
3. 计算新数据的方差
首先新数据的平均数$\overline{x}=\frac{1+4+6+7+8+8+8}{7}=\frac{42}{7}=6$
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，代入计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{7}×[(1-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2]\\&=\frac{1}{7}×(25+4+0+1+4+4+4)\\&=\frac{42}{7}\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
平均数计算，二元一次方程组，方差计算
【点评】
本题是统计模块的基础综合题，核心考点是平均数与方差的定义运算，解题的关键是先通过平均数的性质求出未知参数m、n，再代入方差公式计算，计算过程中要注意不要漏写合并后的重复数据，避免统计数据个数出错，整体运算难度不大，适合巩固统计基础公式。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以分三步思考：第一步，利用平均数的定义，两组数据的平均数都是6，第一组共3个数据，总和等于3乘平均数6，第二组共4个数据，总和等于4乘平均数6，据此列出关于m、n的二元一次方程组，解出m和n的具体数值；第二步，把两组数据合并得到完整的7个数据，确认没有遗漏重复；第三步，代入方差的计算公式，先确认新数据的平均数，再计算每个数据与平均数差的平方的平均值，即可得到新数据的方差。
【解析】
1. 列方程组求解m、n
根据平均数的计算公式，第一组数据$m,n,6$的平均数为6，可得：
$\frac{m+n+6}{3}=6$，整理得 $m+n+6=18$，即$m+n=12$
第二组数据$1,m,2n,7$的平均数为6，可得：
$\frac{1+m+2n+7}{4}=6$，整理得 $1+m+2n+7=24$，即$m+2n=16$
联立方程组：
$\begin{cases}m+n=12\\m+2n=16\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$n=4$，代入$m+n=12$得$m=8$。
2. 得到合并后的新数据
将$m=8$，$n=4$代入两组数据，合并后的数据从小到大排列为：1,4,6,7,8,8,8，共7个数据。
3. 计算新数据的方差
首先新数据的平均数$\overline{x}=\frac{1+4+6+7+8+8+8}{7}=\frac{42}{7}=6$
根据方差公式$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2$，代入计算：
$\begin{aligned}s^2&=\frac{1}{7}×[(1-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(7-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2+(8-6)^2]\\&=\frac{1}{7}×(25+4+0+1+4+4+4)\\&=\frac{42}{7}\\&=6\end{aligned}$
【答案】
6
【知识点】
平均数计算，二元一次方程组，方差计算
【点评】
本题是统计模块的基础综合题，核心考点是平均数与方差的定义运算，解题的关键是先通过平均数的性质求出未知参数m、n，再代入方差公式计算，计算过程中要注意不要漏写合并后的重复数据，避免统计数据个数出错，整体运算难度不大，适合巩固统计基础公式。
【难度系数】
0.7
9. 甲、乙两家电子厂在广告中都声称，他们的某种电子产品在正常情况下的使用寿命是5年，质检部门对这两家电子厂销售的部分产品的使用寿命(单位:年)进行跟踪调查，统计结果如下：
甲电子厂为3,4,5,6,7；乙电子厂为4,4,5,6,6.
(1) 分别求出甲、乙两家电子厂的这种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差.
(2) 如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？请说明理由.
甲电子厂为3,4,5,6,7；乙电子厂为4,4,5,6,6.
(1) 分别求出甲、乙两家电子厂的这种电子产品在正常情况下的使用寿命的平均数和方差.
(2) 如果你是顾客，你会选购哪家电子厂的产品？请说明理由.
答案
(1) $\overline{x}_甲=\dfrac{1}{5}×(3+4+5+6+7)=5(年)$，$s^2_甲=\dfrac{1}{5}×[(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]=2$，$\overline{x}_乙=\dfrac{1}{5}×(4+4+5+6+6)=5(年)$，$s^2_乙=\dfrac{1}{5}×[(4-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(6-5)^2]=\dfrac{4}{5}$。
(2) 乙电子厂. 理由：
∵ $\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，$s^2_甲＞s^2_乙$，
∴ 乙电子厂的电子产品在正常情况下的使用寿命更稳定，选购乙电子厂的产品。
(2) 乙电子厂. 理由：
∵ $\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，$s^2_甲＞s^2_乙$，
∴ 乙电子厂的电子产品在正常情况下的使用寿命更稳定，选购乙电子厂的产品。
解析
【分析】
这道题分为两小问，第一问需要计算两组数据的平均数和方差，首先我们先回忆算术平均数的计算方法：所有数据的总和除以数据的总个数，先分别算出甲、乙两组数据的平均数。之后再代入方差的计算公式，方差是每个数据与本组平均数的差的平方的算术平均数，代入数值就能算出两组的方差。第二问做选购决策的时候，首先对比两家的平均使用寿命，发现二者平均数相同，说明平均寿命一致，接下来就对比方差，方差越小代表产品的使用寿命波动越小、稳定性越好，作为顾客肯定选稳定性更高的产品，就能顺理成章得出结论。
【解析】
(1) 计算甲厂产品使用寿命的平均数：
$\overline{x}_甲=\dfrac{1}{5}×(3+4+5+6+7)=5$（年）
代入方差公式计算甲厂方差：
$s^2_甲=\dfrac{1}{5}×[(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]=\dfrac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$
计算乙厂产品使用寿命的平均数：
$\overline{x}_乙=\dfrac{1}{5}×(4+4+5+6+6)=5$（年）
代入方差公式计算乙厂方差：
$s^2_乙=\dfrac{1}{5}×[(4-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(6-5)^2]=\dfrac{1}{5}×(1+1+0+1+1)=\dfrac{4}{5}$
(2) 我会选购乙电子厂的产品，理由如下：
由(1)的计算结果可知，$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，$s^2_甲＞s^2_乙$，说明两家厂产品的平均使用寿命相同，乙电子厂的电子产品在正常情况下的使用寿命更稳定，因此选择乙电子厂的产品。
【答案】
(1) 甲厂使用寿命的平均数为5年，方差为2；乙厂使用寿命的平均数为5年，方差为$\dfrac{4}{5}$。
(2) 选购乙电子厂的产品，理由是甲乙两厂产品平均使用寿命相同，乙厂电子产品使用寿命更稳定。
【知识点】
算术平均数，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际生活中的典型应用题，核心考察平均数、方差的基础计算，以及方差“衡量数据波动程度，方差越小稳定性越强”的实际意义，解题时要注意结合实际场景，在平均水平一致的前提下，优先选择稳定性更好的产品，属于统计模块的必掌握基础题型。
【难度系数】
0.8
这道题分为两小问，第一问需要计算两组数据的平均数和方差，首先我们先回忆算术平均数的计算方法：所有数据的总和除以数据的总个数，先分别算出甲、乙两组数据的平均数。之后再代入方差的计算公式，方差是每个数据与本组平均数的差的平方的算术平均数，代入数值就能算出两组的方差。第二问做选购决策的时候，首先对比两家的平均使用寿命，发现二者平均数相同，说明平均寿命一致，接下来就对比方差，方差越小代表产品的使用寿命波动越小、稳定性越好，作为顾客肯定选稳定性更高的产品，就能顺理成章得出结论。
【解析】
(1) 计算甲厂产品使用寿命的平均数：
$\overline{x}_甲=\dfrac{1}{5}×(3+4+5+6+7)=5$（年）
代入方差公式计算甲厂方差：
$s^2_甲=\dfrac{1}{5}×[(3-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(7-5)^2]=\dfrac{1}{5}×(4+1+0+1+4)=2$
计算乙厂产品使用寿命的平均数：
$\overline{x}_乙=\dfrac{1}{5}×(4+4+5+6+6)=5$（年）
代入方差公式计算乙厂方差：
$s^2_乙=\dfrac{1}{5}×[(4-5)^2+(4-5)^2+(5-5)^2+(6-5)^2+(6-5)^2]=\dfrac{1}{5}×(1+1+0+1+1)=\dfrac{4}{5}$
(2) 我会选购乙电子厂的产品，理由如下：
由(1)的计算结果可知，$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙$，$s^2_甲＞s^2_乙$，说明两家厂产品的平均使用寿命相同，乙电子厂的电子产品在正常情况下的使用寿命更稳定，因此选择乙电子厂的产品。
【答案】
(1) 甲厂使用寿命的平均数为5年，方差为2；乙厂使用寿命的平均数为5年，方差为$\dfrac{4}{5}$。
(2) 选购乙电子厂的产品，理由是甲乙两厂产品平均使用寿命相同，乙厂电子产品使用寿命更稳定。
【知识点】
算术平均数，方差计算，方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际生活中的典型应用题，核心考察平均数、方差的基础计算，以及方差“衡量数据波动程度，方差越小稳定性越强”的实际意义，解题时要注意结合实际场景，在平均水平一致的前提下，优先选择稳定性更好的产品，属于统计模块的必掌握基础题型。
【难度系数】
0.8
10. 新情境 生活实际 为迎接中考体育测试,某校九年级学生共进行了五次体育模拟测试.小明根据甲同学的五次测试成绩绘制了统计表,并给出了乙同学五次测试成绩的方差的计算过程.
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
小明将乙同学五次体育模拟测试成绩直接代入方差公式,计算过程如下:
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(66-68)^{2}+(68-68)^{2}+(67-68)^{2}+(69-68)^{2}+(70-68)^{2}]=2.$
根据上述信息,回答下列问题:
(1) 甲同学五次测试成绩的众数为__________分,中位数为__________分.
(2) 根据甲、乙两名同学这五次体育模拟测试成绩的平均数和方差分析,你认为谁的体育成绩更好?请说明理由.
(3) 如果甲再测试1次,第六次体育模拟测试成绩为68分,与前5次相比,甲6次模拟测试成绩的方差__________(填“变大”“变小”或“不变”).
甲同学五次体育模拟测试成绩统计表
小明将乙同学五次体育模拟测试成绩直接代入方差公式,计算过程如下:
$s^{2}_{乙}=\frac{1}{5}×[(66-68)^{2}+(68-68)^{2}+(67-68)^{2}+(69-68)^{2}+(70-68)^{2}]=2.$
根据上述信息,回答下列问题:
(1) 甲同学五次测试成绩的众数为__________分,中位数为__________分.
(2) 根据甲、乙两名同学这五次体育模拟测试成绩的平均数和方差分析,你认为谁的体育成绩更好?请说明理由.
(3) 如果甲再测试1次,第六次体育模拟测试成绩为68分,与前5次相比,甲6次模拟测试成绩的方差__________(填“变大”“变小”或“不变”).
答案
(1) 69；69. 根据题意，得甲同学五次测试成绩(单位：分)按从小到大排列为 65,67,69,69,70，则众数为 69 分，中位数为 69 分。
(2) 乙的体育成绩更好. 理由：甲同学五次测试成绩的平均数为 $\dfrac{1}{5}×(65+69+67+69+70)=68$(分)，方差为 $\dfrac{1}{5}×[(65-68)^2+(67-68)^2+2×(69-68)^2+(70-68)^2]=3.2$。由乙同学五次测试成绩的方差公式可知，乙同学五次测试成绩的平均数为 68 分，方差为 2。
∵ 甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，
∴ 乙的体育成绩更好。
(3) 变小. 由(2)的分析知，甲前 5 次测试成绩的平均数为 68 分，方差为 3.2，又第六次的测试成绩为 68 分，
∴ 甲 6 次测试成绩的平均数为 $\dfrac{1}{6}×(5×68+68)=68$(分)，方差为 $\dfrac{1}{6}×[5×3.2+(68-68)^2]=\dfrac{8}{3}$。
∵ $\dfrac{8}{3}＜3.2$，
∴ 方差变小了。
(2) 乙的体育成绩更好. 理由：甲同学五次测试成绩的平均数为 $\dfrac{1}{5}×(65+69+67+69+70)=68$(分)，方差为 $\dfrac{1}{5}×[(65-68)^2+(67-68)^2+2×(69-68)^2+(70-68)^2]=3.2$。由乙同学五次测试成绩的方差公式可知，乙同学五次测试成绩的平均数为 68 分，方差为 2。
∵ 甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数相同，但乙的方差较小，说明乙的成绩更稳定，
∴ 乙的体育成绩更好。
(3) 变小. 由(2)的分析知，甲前 5 次测试成绩的平均数为 68 分，方差为 3.2，又第六次的测试成绩为 68 分，
∴ 甲 6 次测试成绩的平均数为 $\dfrac{1}{6}×(5×68+68)=68$(分)，方差为 $\dfrac{1}{6}×[5×3.2+(68-68)^2]=\dfrac{8}{3}$。
∵ $\dfrac{8}{3}＜3.2$，
∴ 方差变小了。
解析
【分析】
这道题围绕初中统计的核心概念展开，解题思路可以分三步梳理：
1. 第(1)问：先把甲的五次测试成绩从小到大排序，根据众数是出现次数最多的数值、中位数是排序后位于中间位置的数值的定义，直接推导结果。
2. 第(2)问：先计算甲五次成绩的平均数，再代入方差公式算出甲的方差，从乙给出的方差计算式中提取出乙的平均数和方差，对比两者的统计量：平均数相同时，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，由此判断谁的成绩更好。
3. 第(3)问：已知甲前五次的平均数是68，新增的第六次成绩恰好等于原有平均数，代入方差公式计算新的方差，和原方差比较大小，即可得到方差的变化情况。
【解析】
(1) 将甲同学五次测试成绩从小到大排列为：65，67，69，69，70。
其中69出现2次，出现次数最多，因此众数为69分；
5个数据的中位数是排序后第3个数据，即69分。
(2) 计算甲同学五次成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(65+69+67+69+70)=68$（分）
计算甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(65-68)^2+(69-68)^2+(67-68)^2+(69-68)^2+(70-68)^2]=\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)=3.2$
从乙的方差计算过程可知，乙同学五次成绩的平均数$\overline{x}_乙=68$分，方差$s^2_乙=2$。
甲乙两人的平均成绩相同，说明两人的平均水平一致，而乙的方差更小，说明乙的成绩波动更小，发挥更稳定，因此乙的体育成绩更好。
(3) 甲前5次成绩的平均数为68分，新增的第六次成绩为68分，因此6次成绩的平均数仍为68分。
计算6次成绩的方差：
$s^2_{甲新}=\frac{1}{6}×[5×3.2+(68-68)^2]=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$
因为$\frac{8}{3}＜3.2$，所以和前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差变小。
【答案】
(1) 69；69
(2) 乙的体育成绩更好。理由：甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数都为68分，平均水平相同，但乙的方差为2，小于甲的方差3.2，乙的成绩更稳定，因此乙的体育成绩更好。
(3) 变小
【知识点】
众数与中位数，平均数计算，方差的意义
【点评】
本题结合中考体育测试的真实生活情境出题，侧重考查统计基础概念的理解和基础运算能力，难度梯度平缓，第三问可以帮助学生直观理解“加入等于平均数的新数据，整体方差会减小”的规律，进一步加深对方差反映数据波动大小的核心意义的认知。
【难度系数】
0.7
这道题围绕初中统计的核心概念展开，解题思路可以分三步梳理：
1. 第(1)问：先把甲的五次测试成绩从小到大排序，根据众数是出现次数最多的数值、中位数是排序后位于中间位置的数值的定义，直接推导结果。
2. 第(2)问：先计算甲五次成绩的平均数，再代入方差公式算出甲的方差，从乙给出的方差计算式中提取出乙的平均数和方差，对比两者的统计量：平均数相同时，方差越小代表成绩波动越小、发挥越稳定，由此判断谁的成绩更好。
3. 第(3)问：已知甲前五次的平均数是68，新增的第六次成绩恰好等于原有平均数，代入方差公式计算新的方差，和原方差比较大小，即可得到方差的变化情况。
【解析】
(1) 将甲同学五次测试成绩从小到大排列为：65，67，69，69，70。
其中69出现2次，出现次数最多，因此众数为69分；
5个数据的中位数是排序后第3个数据，即69分。
(2) 计算甲同学五次成绩的平均数：
$\overline{x}_甲=\frac{1}{5}×(65+69+67+69+70)=68$（分）
计算甲的方差：
$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(65-68)^2+(69-68)^2+(67-68)^2+(69-68)^2+(70-68)^2]=\frac{1}{5}×(9+1+1+1+4)=3.2$
从乙的方差计算过程可知，乙同学五次成绩的平均数$\overline{x}_乙=68$分，方差$s^2_乙=2$。
甲乙两人的平均成绩相同，说明两人的平均水平一致，而乙的方差更小，说明乙的成绩波动更小，发挥更稳定，因此乙的体育成绩更好。
(3) 甲前5次成绩的平均数为68分，新增的第六次成绩为68分，因此6次成绩的平均数仍为68分。
计算6次成绩的方差：
$s^2_{甲新}=\frac{1}{6}×[5×3.2+(68-68)^2]=\frac{16}{6}=\frac{8}{3}$
因为$\frac{8}{3}＜3.2$，所以和前5次相比，甲6次模拟测试成绩的方差变小。
【答案】
(1) 69；69
(2) 乙的体育成绩更好。理由：甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数都为68分，平均水平相同，但乙的方差为2，小于甲的方差3.2，乙的成绩更稳定，因此乙的体育成绩更好。
(3) 变小
【知识点】
众数与中位数，平均数计算，方差的意义
【点评】
本题结合中考体育测试的真实生活情境出题，侧重考查统计基础概念的理解和基础运算能力，难度梯度平缓，第三问可以帮助学生直观理解“加入等于平均数的新数据，整体方差会减小”的规律，进一步加深对方差反映数据波动大小的核心意义的认知。
【难度系数】
0.7
