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1. 某组数据的方差 $s^{2}=\dfrac{1}{6}[(x_{1}-4)^{2}+(x_{2}-4)^{2}+···+(x_{6}-4)^{2}]$，则该组数据的总和是 （
A.24
B.4
C.6
D.16
A
）A.24
B.4
C.6
D.16
答案
∵ $s^{2}=\dfrac{1}{6}[(x_{1}-4)^{2}+(x_{2}-4)^{2}+···+(x_{6}-4)^{2}]$，
∴ 共有6个数据，且这6个数据的平均数为4.
∴ 该组数据的总和为 $4×6=24$. 答案为A。
解析
【分析】
首先我们要回忆方差的标准定义公式，方差的表达式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是这组数据的总个数，$\overline{x}$是这组数据的平均数。我们只需要把题目给出的方差式子和标准公式做对比，就能直接得到数据总个数$n$和平均数$\overline{x}$，再根据“数据总和=平均数×数据个数”的关系，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
根据方差的定义公式：$s^{2}=\dfrac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，将题目给出的方差表达式$s^{2}=\dfrac{1}{6}[(x_{1}-4)^{2}+(x_{2}-4)^{2}+···+(x_{6}-4)^{2}]$和标准公式对比：
1. 可得数据总个数$n=6$，该组数据的平均数$\overline{x}=4$；
2. 根据数据总和的计算公式：总和 = 平均数 × 数据个数，代入数值可得总和为$4×6=24$。
【答案】
A
【知识点】
方差公式，平均数计算
【点评】
本题属于方差概念的基础考察题，没有复杂运算，核心是要准确记忆方差表达式中各个参数对应的实际含义，避免把方差公式里的分母、减去的均值和其他统计量混淆，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
首先我们要回忆方差的标准定义公式，方差的表达式为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，其中$n$是这组数据的总个数，$\overline{x}$是这组数据的平均数。我们只需要把题目给出的方差式子和标准公式做对比，就能直接得到数据总个数$n$和平均数$\overline{x}$，再根据“数据总和=平均数×数据个数”的关系，代入数值计算就能得到结果。
【解析】
根据方差的定义公式：$s^{2}=\dfrac{1}{n}[(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+···+(x_{n}-\overline{x})^{2}]$，将题目给出的方差表达式$s^{2}=\dfrac{1}{6}[(x_{1}-4)^{2}+(x_{2}-4)^{2}+···+(x_{6}-4)^{2}]$和标准公式对比：
1. 可得数据总个数$n=6$，该组数据的平均数$\overline{x}=4$；
2. 根据数据总和的计算公式：总和 = 平均数 × 数据个数，代入数值可得总和为$4×6=24$。
【答案】
A
【知识点】
方差公式，平均数计算
【点评】
本题属于方差概念的基础考察题，没有复杂运算，核心是要准确记忆方差表达式中各个参数对应的实际含义，避免把方差公式里的分母、减去的均值和其他统计量混淆，熟练掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2. “计”高一筹，“算”出风采. 为提高学生的运算能力，某校开展计算大比拼活动. 已知甲班 40 名学生测试成绩的方差是 $s^{2}_{\mathrm{甲}}=0.19$，乙班 40 名学生测试成绩的方差是 $s^{2}_{\mathrm{乙}}=m$，两个班学生测试的平均分都是 96 分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则 $m$ 的值可能是（
A.0.20
B.0.22
C.0.19
D.0.18
D
）A.0.20
B.0.22
C.0.19
D.0.18
答案
∵ 两个班学生测试的平均分都是 96 分，而结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，
∴ 乙的方差小于甲的方差. 又 $s^{2}_{\mathrm{甲}}=0.19$，$s^{2}_{\mathrm{乙}}=m$，
∴ $m＜0.19$.
∴ $m$ 的值可能是 0.18. 答案为D。
解析
【分析】
我们先梳理解题思路：首先提取题目已知条件，甲乙两个班的平均成绩都是96分，说明两班的平均整体成绩持平，主办方结合平均分和方差判定乙班胜出。接下来回忆方差的作用，方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，对应成绩就越整齐稳定。在平均成绩相同的前提下，胜出的班级成绩稳定性要更好，因此可以推出乙班的方差小于甲班的方差，最后我们只需要在选项里找到小于甲班方差0.19的数值，就能得到正确答案。
【解析】
解：由题意可知，甲乙两班的测试平均分均为96分，两班平均成绩持平，主办方结合平均成绩和方差判定乙班胜出，说明乙班的整体成绩比甲班更稳定。
根据方差的性质：方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定，因此可得乙班方差小于甲班方差，即：
$s^2_{\mathrm{乙}} ＜ s^2_{\mathrm{甲}}$
代入已知$s^2_{\mathrm{甲}}=0.19$，可得$m ＜ 0.19$。
逐一对比选项：A选项0.20＞0.19，B选项0.22＞0.19，C选项0.19等于甲的方差，只有D选项0.18＜0.19，符合要求。
因此答案为D。
【知识点】
方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题是统计模块的基础应用题，核心考察对方差实际意义的理解，易错点是容易混淆方差大小和数据稳定性的对应关系，只要明确“平均分相同时，方差越小成绩越稳定，综合表现越好”的逻辑，就可以快速排除错误选项得到结果。
【难度系数】
0.9
我们先梳理解题思路：首先提取题目已知条件，甲乙两个班的平均成绩都是96分，说明两班的平均整体成绩持平，主办方结合平均分和方差判定乙班胜出。接下来回忆方差的作用，方差是衡量数据波动大小的统计量，方差越小，数据波动越小，对应成绩就越整齐稳定。在平均成绩相同的前提下，胜出的班级成绩稳定性要更好，因此可以推出乙班的方差小于甲班的方差，最后我们只需要在选项里找到小于甲班方差0.19的数值，就能得到正确答案。
【解析】
解：由题意可知，甲乙两班的测试平均分均为96分，两班平均成绩持平，主办方结合平均成绩和方差判定乙班胜出，说明乙班的整体成绩比甲班更稳定。
根据方差的性质：方差越小，数据的波动程度越小，成绩越稳定，因此可得乙班方差小于甲班方差，即：
$s^2_{\mathrm{乙}} ＜ s^2_{\mathrm{甲}}$
代入已知$s^2_{\mathrm{甲}}=0.19$，可得$m ＜ 0.19$。
逐一对比选项：A选项0.20＞0.19，B选项0.22＞0.19，C选项0.19等于甲的方差，只有D选项0.18＜0.19，符合要求。
因此答案为D。
【知识点】
方差的意义，统计量的应用
【点评】
本题是统计模块的基础应用题，核心考察对方差实际意义的理解，易错点是容易混淆方差大小和数据稳定性的对应关系，只要明确“平均分相同时，方差越小成绩越稳定，综合表现越好”的逻辑，就可以快速排除错误选项得到结果。
【难度系数】
0.9
3. [2025 青岛中考]为弘扬传统文化、培养学生的劳动意识，某校在端午节期间举行了包粽子活动，每个粽子的标准质量为 100 g。甲、乙两名同学各包了 5 个粽子，甲包的粽子的质量(单位:g)为103，99，100，101，97；乙包的粽子的质量(单位:g)为 99，103，105，95，98。甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是
甲
(填“甲”或“乙”)。答案
$\overline{x}_甲=(103+99+100+101+97)÷5=100(\mathrm{g})$，$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]=4$；$\overline{x}_乙=(99+103+105+95+98)÷5=100(\mathrm{g})$，$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]=12.8$。
∵ $s^2_甲＜s^2_乙$，
∴ 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲。
∵ $s^2_甲＜s^2_乙$，
∴ 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲。
解析
【分析】
要判断两组粽子质量谁更稳定，我们可以利用方差的性质：方差越小，数据的波动越小，对应的稳定性越强。解题思路分三步：第一步，先分别计算甲、乙两人包的粽子质量的平均数，本题两组数据的平均数恰好都等于标准质量100g；第二步，代入方差计算公式，分别算出甲、乙两组数据的方差；第三步，对比两个方差的大小，方差更小的那组对应的粽子质量就更稳定。
【解析】
1. 计算甲的平均数和方差：
甲的平均质量：$\overline{x}_甲=(103+99+100+101+97)÷5=100(\mathrm{g})$
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]=4$
2. 计算乙的平均数和方差：
乙的平均质量：$\overline{x}_乙=(99+103+105+95+98)÷5=100(\mathrm{g})$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]=12.8$
3. 对比方差判断稳定性：
∵ $s^2_甲＜s^2_乙$，方差越小数据波动越小，质量越稳定
∴ 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲。
【答案】甲
【知识点】平均数计算；方差的意义；数据稳定性判断
【点评】本题是统计模块的基础考题，核心考察方差反映数据稳定性的性质，计算量小难度低，只要牢记“方差越小，数据波动越小、稳定性越强”的规律即可顺利求解，注意不要混淆方差大小和稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.8
要判断两组粽子质量谁更稳定，我们可以利用方差的性质：方差越小，数据的波动越小，对应的稳定性越强。解题思路分三步：第一步，先分别计算甲、乙两人包的粽子质量的平均数，本题两组数据的平均数恰好都等于标准质量100g；第二步，代入方差计算公式，分别算出甲、乙两组数据的方差；第三步，对比两个方差的大小，方差更小的那组对应的粽子质量就更稳定。
【解析】
1. 计算甲的平均数和方差：
甲的平均质量：$\overline{x}_甲=(103+99+100+101+97)÷5=100(\mathrm{g})$
甲的方差：$s^2_甲=\frac{1}{5}×[(103-100)^2+(99-100)^2+(100-100)^2+(101-100)^2+(97-100)^2]=4$
2. 计算乙的平均数和方差：
乙的平均质量：$\overline{x}_乙=(99+103+105+95+98)÷5=100(\mathrm{g})$
乙的方差：$s^2_乙=\frac{1}{5}×[(99-100)^2+(103-100)^2+(105-100)^2+(95-100)^2+(98-100)^2]=12.8$
3. 对比方差判断稳定性：
∵ $s^2_甲＜s^2_乙$，方差越小数据波动越小，质量越稳定
∴ 甲、乙两名同学包的粽子的质量比较稳定的是甲。
【答案】甲
【知识点】平均数计算；方差的意义；数据稳定性判断
【点评】本题是统计模块的基础考题，核心考察方差反映数据稳定性的性质，计算量小难度低，只要牢记“方差越小，数据波动越小、稳定性越强”的规律即可顺利求解，注意不要混淆方差大小和稳定性的对应关系。
【难度系数】
0.8
4. 已知一组数据的方差为$s^{2}=\dfrac{1}{5}×[(11-10)^{2}+(13-10)^{2}+(4-10)^{2}+(m-10)^{2}+(8-10)^{2}],$则$m=$
14
.答案
由方差的表达式可知，该组数据的平均数为 10，
∴ $\dfrac{11+13+4+m+8}{5}=10$，解得 $m=14$。
∴ $\dfrac{11+13+4+m+8}{5}=10$，解得 $m=14$。
解析
【分析】
我们先回忆方差的定义公式：一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$\bar{x}$是这组数据的平均数，$n$是数据的总个数。拿到这道题不需要直接计算方差，先从题目给出的方差表达式里提取关键信息：首先方差的系数是$\frac{1}{5}$，说明这组数据总共有5个；其次每一个平方项里的减数都是10，说明这组数据的平均数就是10。接下来我们列出这5个数据的平均数计算公式，建立方程就能求解$m$了。
【解析】
解：根据方差的定义可得两个关键信息：
1. 该组数据共5个，分别为11、13、4、$m$、8；
2. 这组数据的平均数为10。
根据平均数的计算公式列方程：
$\frac{11+13+4+m+8}{5}=10$
先计算已知数据的和：$11+13+4+8=36$，代入方程得：
$\frac{36+m}{5}=10$
两边同乘5得：$36+m=50$
解得：$m=14$
【答案】
14
【知识点】
方差的定义，平均数计算
【点评】
本题考察对方差公式本质的理解，不需要进行方差的运算，只需要从给定的方差表达式中反向推导得到数据的个数和平均数，再利用平均数公式求解未知数据即可，属于基础题型，提醒学生不要死记硬背公式，要理解公式中每个部分的含义。
【难度系数】
0.7
我们先回忆方差的定义公式：一组数据$x_1,x_2,\dots,x_n$的方差为$s^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$，其中$\bar{x}$是这组数据的平均数，$n$是数据的总个数。拿到这道题不需要直接计算方差，先从题目给出的方差表达式里提取关键信息：首先方差的系数是$\frac{1}{5}$，说明这组数据总共有5个；其次每一个平方项里的减数都是10，说明这组数据的平均数就是10。接下来我们列出这5个数据的平均数计算公式，建立方程就能求解$m$了。
【解析】
解：根据方差的定义可得两个关键信息：
1. 该组数据共5个，分别为11、13、4、$m$、8；
2. 这组数据的平均数为10。
根据平均数的计算公式列方程：
$\frac{11+13+4+m+8}{5}=10$
先计算已知数据的和：$11+13+4+8=36$，代入方程得：
$\frac{36+m}{5}=10$
两边同乘5得：$36+m=50$
解得：$m=14$
【答案】
14
【知识点】
方差的定义，平均数计算
【点评】
本题考察对方差公式本质的理解，不需要进行方差的运算，只需要从给定的方差表达式中反向推导得到数据的个数和平均数，再利用平均数公式求解未知数据即可，属于基础题型，提醒学生不要死记硬背公式，要理解公式中每个部分的含义。
【难度系数】
0.7
5. 为了推动中华传统文化进校园，某中学举办了以“弘扬传统，爱我中华”为主题的传统文化知识竞赛，八年级5名参赛选手的得分(单位:分)如下:89，88，90，90，93.求这组数据的离差平方和.
答案
∵ 平均数为$(89+88+90+90+93)÷5=450÷5=90$(分)，
∴ $(89-90)^2+(88-90)^2+(90-90)^2+(90-90)^2+(93-90)^2=1+4+0+0+9=14$. 答：这组数据的离差平方和为 14。
解析
【分析】
要计算一组数据的离差平方和，首先明确离差平方和的定义：所有数据与该组数据平均数的差的平方的总和。解题时第一步先根据给出的5个参赛得分，计算出这组数据的算术平均数；第二步依次计算每个数据和平均数的差值，对差值做平方运算后将所有平方结果相加，即可得到离差平方和的最终结果。
【解析】
1. 计算该组数据的平均数
已知5名选手得分分别为89，88，90，90，93，根据算术平均数计算公式：
$\bar{x} = \frac{89+88+90+90+93}{5} = \frac{450}{5} = 90$（分）
2. 代入离差平方和公式计算
离差平方和的公式为$S = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$，将所有数据代入得：
$\begin{aligned}S&=(89-90)^2 + (88-90)^2 + (90-90)^2 + (90-90)^2 + (93-90)^2\\&=(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 0^2 + 3^2\\&=1 + 4 + 0 + 0 + 9\\&=14\end{aligned}$
答：这组数据的离差平方和为14。
【答案】
这组数据的离差平方和为14。
【知识点】
算术平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，核心考察离差平方和的基本定义，解题门槛较低，只要牢记定义先算出平均数，再累加各数据与平均数差的平方即可得到结果，注意不要将离差平方和与方差混淆，方差是离差平方和除以数据总个数，本题不需要做除法运算。
【难度系数】
0.8
要计算一组数据的离差平方和，首先明确离差平方和的定义：所有数据与该组数据平均数的差的平方的总和。解题时第一步先根据给出的5个参赛得分，计算出这组数据的算术平均数；第二步依次计算每个数据和平均数的差值，对差值做平方运算后将所有平方结果相加，即可得到离差平方和的最终结果。
【解析】
1. 计算该组数据的平均数
已知5名选手得分分别为89，88，90，90，93，根据算术平均数计算公式：
$\bar{x} = \frac{89+88+90+90+93}{5} = \frac{450}{5} = 90$（分）
2. 代入离差平方和公式计算
离差平方和的公式为$S = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$，将所有数据代入得：
$\begin{aligned}S&=(89-90)^2 + (88-90)^2 + (90-90)^2 + (90-90)^2 + (93-90)^2\\&=(-1)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 0^2 + 3^2\\&=1 + 4 + 0 + 0 + 9\\&=14\end{aligned}$
答：这组数据的离差平方和为14。
【答案】
这组数据的离差平方和为14。
【知识点】
算术平均数计算，离差平方和
【点评】
本题是统计模块的基础概念题，核心考察离差平方和的基本定义，解题门槛较低，只要牢记定义先算出平均数，再累加各数据与平均数差的平方即可得到结果，注意不要将离差平方和与方差混淆，方差是离差平方和除以数据总个数，本题不需要做除法运算。
【难度系数】
0.8
6. 新情境 生活实际 在一场篮球赛中,某队5名场上队员的身高(单位:cm)分别是187,188,192,193,194.因身高为194 cm的队员受伤,教练让身高为190 cm的队员替补上场.与换人前相比,换人后场上队员的身高的 （
A.平均数变小,方差变大
B.平均数变小,方差变小
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
B
）A.平均数变小,方差变大
B.平均数变小,方差变小
C.平均数变大,方差变小
D.平均数变大,方差变大
答案
原来 5 名队员身高的平均数 $\overline{x}_原=\dfrac{1}{5}×(187+188+192+193+194)=190.8(\mathrm{cm})$，方差 $s^2_原=\dfrac{1}{5}×[(187-190.8)^2+(188-190.8)^2+(192-190.8)^2+(193-190.8)^2+(194-190.8)^2]=7.76$；换人后 5 名队员身高的平均数 $\overline{x}_换=\dfrac{1}{5}×(187+188+192+193+190)=190(\mathrm{cm})$，方差 $s^2_换=\dfrac{1}{5}×[(187-190)^2+(188-190)^2+(192-190)^2+(193-190)^2+(190-190)^2]=5.2$。
∴ $\overline{x}_换＜\overline{x}_原$，$s^2_换＜s^2_原$，即平均数与方差均变小。答案为B。
∴ $\overline{x}_换＜\overline{x}_原$，$s^2_换＜s^2_原$，即平均数与方差均变小。答案为B。
解析
【分析】
解题时我们需要对比换人前后场上队员身高的平均数和方差的变化：首先先处理平均数，替换队员时去掉身高194cm的队员，换成190cm的队员，总身高直接减少了4cm，总人数仍为5，因此可以初步判断平均数会变小；接下来分析方差，方差反映数据的离散波动程度，原本的194cm是原数据中偏离平均水平最远的数值，替换成190cm后，新的整组数据会更向均值集中，波动程度降低，因此方差也会变小。也可以直接代入平均数、方差的公式计算出前后的具体数值，对比后就能直接选出正确选项。
【解析】
1. 计算换人前的平均数和方差：
原5名队员身高为187,188,192,193,194，
平均数$\overline{x}_原=\dfrac{1}{5}×(187+188+192+193+194)=190.8\ \mathrm{cm}$，
方差$s^2_原=\dfrac{1}{5}×[(187-190.8)^2+(188-190.8)^2+(192-190.8)^2+(193-190.8)^2+(194-190.8)^2]=7.76$。
2. 计算换人后的平均数和方差：
替换后5名队员身高为187,188,192,193,190，
平均数$\overline{x}_换=\dfrac{1}{5}×(187+188+192+193+190)=190\ \mathrm{cm}$，
方差$s^2_换=\dfrac{1}{5}×[(187-190)^2+(188-190)^2+(192-190)^2+(193-190)^2+(190-190)^2]=5.2$。
3. 对比统计量大小：
可得$\overline{x}_换＜\overline{x}_原$，$s^2_换＜s^2_原$，即换人后平均数变小，方差变小。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，方差的意义
【点评】
本题结合篮球比赛的生活实际情境命题，既考查了平均数、方差的基础运算能力，也考查了对方差反映数据离散程度这一统计含义的理解，不需要完整计算也可通过替换数值的特征快速判断统计量的变化，属于统计模块的常规基础题。
【难度系数】
0.8
解题时我们需要对比换人前后场上队员身高的平均数和方差的变化：首先先处理平均数，替换队员时去掉身高194cm的队员，换成190cm的队员，总身高直接减少了4cm，总人数仍为5，因此可以初步判断平均数会变小；接下来分析方差，方差反映数据的离散波动程度，原本的194cm是原数据中偏离平均水平最远的数值，替换成190cm后，新的整组数据会更向均值集中，波动程度降低，因此方差也会变小。也可以直接代入平均数、方差的公式计算出前后的具体数值，对比后就能直接选出正确选项。
【解析】
1. 计算换人前的平均数和方差：
原5名队员身高为187,188,192,193,194，
平均数$\overline{x}_原=\dfrac{1}{5}×(187+188+192+193+194)=190.8\ \mathrm{cm}$，
方差$s^2_原=\dfrac{1}{5}×[(187-190.8)^2+(188-190.8)^2+(192-190.8)^2+(193-190.8)^2+(194-190.8)^2]=7.76$。
2. 计算换人后的平均数和方差：
替换后5名队员身高为187,188,192,193,190，
平均数$\overline{x}_换=\dfrac{1}{5}×(187+188+192+193+190)=190\ \mathrm{cm}$，
方差$s^2_换=\dfrac{1}{5}×[(187-190)^2+(188-190)^2+(192-190)^2+(193-190)^2+(190-190)^2]=5.2$。
3. 对比统计量大小：
可得$\overline{x}_换＜\overline{x}_原$，$s^2_换＜s^2_原$，即换人后平均数变小，方差变小。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，方差的意义
【点评】
本题结合篮球比赛的生活实际情境命题，既考查了平均数、方差的基础运算能力，也考查了对方差反映数据离散程度这一统计含义的理解，不需要完整计算也可通过替换数值的特征快速判断统计量的变化，属于统计模块的常规基础题。
【难度系数】
0.8
