1. 从分别标有数字1,2,3,4的4张卡片中随机抽取1张,放回后再抽取1张,两次抽取的数字之和为偶数的概率是（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{3}{8}$
C.$\dfrac{5}{8}$
D.$\dfrac{3}{4}$

列表如下：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
由上表可知,共有 16 种等可能的结果,其中两次抽取的数字之和为偶数的有 8 种等可能结果,$\therefore$ 两次抽取的数字之和为偶数的概率是$\dfrac{8}{16}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
这是典型的古典概型问题，我们可以按如下思路解题：首先明确抽取规则是有放回抽取，第一次抽卡片有4种可能，放回后第二次抽卡片同样有4种可能，先算出全部等可能的总结果数；接着根据“两数之和为偶数”的性质，要么两次都抽到奇数，要么两次都抽到偶数，也可以通过列表枚举所有两数之和的情况，统计出符合要求的结果数量；最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能得到对应的概率。
【解析】
解：该抽取为有放回抽取，我们通过列表枚举两次抽取的数字之和的所有情况：
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
由表格可知，全部等可能的结果共有16种，其中两次抽取数字之和为偶数的结果共8种。
根据古典概型概率计算公式：
$P=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$
【答案】A.$\dfrac{1}{2}$
【知识点】古典概型，有放回抽样
【点评】本题是概率部分的基础题型，既可以用列表法直观枚举所有情况避免漏数，也可以利用“同奇偶两数之和为偶数”的性质快速分类计算符合条件的结果，解题时注意区分有放回和无放回抽样的总结果数差异，整体难度低，不易出错。
【难度系数】0.8

2. 假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同. 如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟恰好为1只雄鸟和1只雌鸟的概率是（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{2}{5}$
D.$\frac{3}{8}$

列表如下：
| | 雌 | 雄 |
|---|---|---|
| 雌 | (雌,雌) | (雌,雄) |
| 雄 | (雄,雌) | (雄,雄) |
由上表可知,共有 4 种等可能的结果,其中恰好为 1 只雄鸟和1只雌鸟的有 2 种等可能结果,$\therefore$ 恰好为 1 只雄鸟和1只雌鸟的概率是$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
这是一道典型的两步独立事件古典概型问题，解题思路非常清晰：首先要明确两枚鸟卵的孵化过程是相互独立的随机事件，我们需要先完整枚举出所有等可能的孵化结果，做到不重不漏；之后从所有结果中统计出满足“恰好1只雄鸟1只雌鸟”的结果数量；最后用符合要求的结果数除以总等可能结果数，就能算出目标概率。这里要特别注意，两枚鸟卵是独立孵化的，“第一枚孵出雌、第二枚孵出雄”和“第一枚孵出雄、第二枚孵出雌”是两个不同的等可能事件，不能直接合并为1种情况，避免计数出错。
【解析】
我们采用列表法枚举所有等可能的孵化结果：将第一枚卵的孵化结果作为行分类，第二枚卵的孵化结果作为列分类，列出所有组合：
| | 第二枚为雌 | 第二枚为雄 |
|---|---|---|
| 第一枚为雌 | (雌,雌) | (雌,雄) |
| 第一枚为雄 | (雄,雌) | (雄,雄) |
从表格中可以得到，总共有4种完全等可能的孵化结果，其中恰好为1只雄鸟1只雌鸟的结果是(雌,雄)和(雄,雌)，共2种。
根据古典概型概率计算公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，代入数值可得所求概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
因此本题选A选项。
【答案】
A.$\frac{1}{2}$
【知识点】
列表法求概率，古典概型
【点评】
本题是两步独立事件求概率的基础题型，核心易错点是枚举事件时出现漏算，不少初学者会错误地把所有结果划分为“两雌、一雌一雄、两雄”3种，误以为概率是$\frac{1}{3}$，使用列表法可以非常直观地呈现所有等可能事件，有效避免这类计数错误。
【难度系数】
0.8

3. 某风景区有 A,B,C 三个入口,每名游客都可随机选择其中的一个入口进入,甲、乙两名游客准备进入该风景区游玩,他们从同一个入口进入该风景区的概率为.

列表如下：
| | A | B | C |
|---|---|---|---|
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可知,共有 9 种等可能的结果,其中从同一个入口进入该风景区的有 3 种等可能结果,$\therefore$ 从同一个入口进入该风景区的概率为$\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$.

【分析】
这是一道古典概型的概率计算问题，解题思路非常清晰：首先我们要明确甲乙两人选择入口的所有可能情况都是等可能发生的，第一步可以通过列表的方式，把甲、乙各自3种入口选择的所有组合全部枚举出来，保证不重不漏统计总结果数；第二步从所有结果里筛选出“两人从同一个入口进入”的符合条件的结果，统计它的数量；最后代入古典概型的概率公式：所求概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，就能算出最终答案。
【解析】
我们通过列表法枚举甲乙两人选择入口的所有等可能结果：
| | A | B | C |
|---|---|---|---|
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
由上表可知，总共有9种等可能的结果，其中甲乙两人从同一个入口进入的结果有(A,A)、(B,B)、(C,C)共3种。
根据古典概型概率计算公式，可得所求概率$P=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，古典概型计算
【点评】
本题属于概率模块的基础题型，难度较低，核心考查学生对枚举法求概率的掌握程度，只要能做到不重不漏统计总结果和符合要求的结果，就可以顺利得到答案，解题时要注意避免主观臆断总结果数，出现把总结果错算成6类的低级错误。
【难度系数】
0.8

4. 从$-2,4,5$这3个数中,任取2个数分别作为点$A$的横、纵坐标,则点$A$在第四象限的概率为.

列表如下：
| | $-2$ | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| $-2$ | | $(-2,4)$ | $(-2,5)$ |
| 4 | $(4,-2)$ | | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,-2)$ | $(5,4)$ | |
由上表可知,共有 6 种等可能的结果,其中点 A 在第四象限的有$(4,-2),(5,-2)$这 2 种等可能结果,$\therefore$ 点 A 在第四象限的概率为$\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$.

【分析】
要计算该事件的概率，我们可以按照古典概型的解题思路分步思考：第一步，先明确从3个数中任取2个分别作为点的横、纵坐标，是有序抽取的过程，需要用列表法或枚举法把所有等可能的点全部列出来，统计总结果数；第二步，回忆平面直角坐标系中第四象限的点的坐标符号特征，从所有点中筛选出符合要求的点，统计符合条件的结果数；第三步，代入概率计算公式：事件发生的概率=符合条件的结果数÷所有等可能的总结果数，即可算出最终结果。
【解析】
1. 列出所有可能的点：
从$-2,4,5$中任取2个数分别作为横、纵坐标，所有等可能的结果如下表：
| | $-2$ | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| $-2$ | | $(-2,4)$ | $(-2,5)$ |
| 4 | $(4,-2)$ | | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,-2)$ | $(5,4)$ | |
可得总共有6种等可能的结果。
2. 筛选第四象限的点：
第四象限的点的坐标特征为横坐标为正，纵坐标为负，满足该特征的点只有$(4,-2)$、$(5,-2)$，共2种结果。
3. 计算概率：
点A在第四象限的概率$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\dfrac{1}{3}$
【知识点】
列表法求概率，象限点坐标特征，古典概型计算
【点评】
本题是概率与平面直角坐标系结合的基础题，核心易错点是要注意“任取2个数分别作为横、纵坐标”是有序抽取，不能误将总结果数算为无序的3种，同时要准确记忆各象限点的坐标符号规律，避免把第四象限的特征和其他象限混淆。
【难度系数】
0.7

5. 新情境 游戏活动 小明和小刚玩一种游戏，游戏规则：两人只可以说出“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”中的任何一个，同时各说出一个后定胜负，其中“木棒”胜“老虎”，“老虎”胜“公鸡”，“公鸡”胜“小虫”，“小虫”胜“木棒”，其他情况则为平局。例如，小明说“木棒”，小刚说“老虎”，则小明胜；两人同时说“公鸡”，则为平局；小明说“小虫”，小刚说“老虎”，则为平局。
（1）每一次小明说出“老虎”的概率是.
（2）如果用 A,B,C,D 分别表示小明说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”；用 $A_1,B_1,C_1,D_1$ 分别表示小刚说的“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”，那么某一次说出时小明获胜的概率是多少？请用列表法或画树状图法加以说明。

（1）$\dfrac{1}{4}$.
（2）列表如下：
| | $A_1$ | $B_1$ | $C_1$ | $D_1$ |
|---|---|---|---|---|
| A | $(A,A_1)$ | $(A,B_1)$ | $(A,C_1)$ | $(A,D_1)$ |
| B | $(B,A_1)$ | $(B,B_1)$ | $(B,C_1)$ | $(B,D_1)$ |
| C | $(C,A_1)$ | $(C,B_1)$ | $(C,C_1)$ | $(C,D_1)$ |
| D | $(D,A_1)$ | $(D,B_1)$ | $(D,C_1)$ | $(D,D_1)$ |
由上表可知,共有 16 种等可能的结果,其中事件“某一次说出时小明获胜”包含 4 种等可能结果:$(A,B_1),(B,C_1),(C,D_1),(D,A_1)$,$\therefore$ 某一次说出时小明获胜的概率为$\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$.

【分析】
先看第一问：小明可选的发言内容共4种，且选择每一种的可能性完全相等，属于等可能事件，直接用“符合要求的结果数÷总结果数”就能算出说出“老虎”的概率。
再看第二问：小明和小刚各自都有4种独立的选择，所有组合都是等可能的，我们可以用列表法把两人所有的发言组合全部枚举出来，再对照胜负规则筛选出所有小明获胜的组合，最后用获胜的结果数除以总结果数，就能得到小明获胜的概率。
【解析】
（1）小明可以选择说出的内容为“木棒”“老虎”“公鸡”“小虫”，共4种等可能的结果，其中说出“老虎”的结果只有1种，因此小明说出“老虎”的概率为$\frac{1}{4}$。
（2）根据题意列出两人所有发言组合的表格如下：
| | $A_1$ | $B_1$ | $C_1$ | $D_1$ |
|---|---|---|---|---|
| A | $(A,A_1)$ | $(A,B_1)$ | $(A,C_1)$ | $(A,D_1)$ |
| B | $(B,A_1)$ | $(B,B_1)$ | $(B,C_1)$ | $(B,D_1)$ |
| C | $(C,A_1)$ | $(C,B_1)$ | $(C,C_1)$ | $(C,D_1)$ |
| D | $(D,A_1)$ | $(D,B_1)$ | $(D,C_1)$ | $(D,D_1)$ |
由上表可知，一共有16种等可能的结果。结合游戏胜负规则，小明获胜的情况共4种：分别是A胜$B_1$即$(A,B_1)$、B胜$C_1$即$(B,C_1)$、C胜$D_1$即$(C,D_1)$、D胜$A_1$即$(D,A_1)$。
根据等可能事件概率公式，小明获胜的概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
（1）$\dfrac{1}{4}$；（2）$\dfrac{1}{4}$
【知识点】
等可能事件概率，列表法求概率
【点评】
本题以趣味游戏为情境，考查基础概率的计算，难度较低，解题的核心是准确枚举所有等可能的结果，严格对照题目给出的胜负规则筛选小明获胜的情况，避免误将平局、小刚获胜的情况计入小明获胜的结果中，属于概率章节的常规基础题型。
【难度系数】
0.8

6. 小西和爸爸计划乘动车外出旅游.在网上购票时,爸爸选定的车厢只剩一排有余座(如图).若此时C座已售出,其余座位由系统随机分配,则小西和爸爸相邻而坐的概率是 （）

A.$\dfrac{1}{3}$
B.$\dfrac{1}{4}$
C.$\dfrac{1}{6}$
D.$\dfrac{2}{5}$

列表如下：
| | A | B | D | F |
|---|---|---|---|---|
| A | | $(A,B)$ | $(A,D)$ | $(A,F)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,D)$ | $(B,F)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | | $(D,F)$ |
| F | $(F,A)$ | $(F,B)$ | $(F,D)$ | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,其中事件“小西和爸爸相邻而坐”包含 4 种等可能结果:$(A,B),(B,A),(D,F),(F,D)$,$\therefore$ 小西和爸爸相邻而坐的概率是$\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.

【分析】
解题时首先要先明确可选座位范围：题目说明C座已售出，因此剩余可分配的座位只有A、B、D、F共4个。接下来我们需要枚举小西和爸爸分配到两个不同座位的所有等可能结果，统计总结果数；再对照座位排布图，筛选出两人座位相邻的符合条件的结果数；最后根据古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以总结果数即可算出所求概率。注意不要误将间隔了C座和过道的B、D判定为相邻座位。
【解析】
解：由题意，已售出的C座不参与分配，剩余可随机分配的座位为A、B、D、F共4个。
用列表法枚举所有两人座位分配的等可能结果：
| | A | B | D | F |
|---|---|---|---|---|
| A | | $(A,B)$ | $(A,D)$ | $(A,F)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,D)$ | $(B,F)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | | $(D,F)$ |
| F | $(F,A)$ | $(F,B)$ | $(F,D)$ | |
由上表可知，共有12种等可能的分配结果。
对照座位排布，仅A和B相邻、D和F相邻，因此满足小西和爸爸相邻而坐的结果共4种：$(A,B),(B,A),(D,F),(F,D)$。
根据概率计算公式可得：
$P(\mathrm{相邻而坐})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
因此本题选A。
【答案】
A
【知识点】
古典概型，列表法求概率
【点评】
本题结合动车二等座的真实生活场景考查概率计算，题型贴近日常，难度基础。解题的核心注意点是先排除已售出的C座，同时不要错误判定B、D为相邻座位，理清可选座位范围和相邻关系后即可顺利完成计算。
【难度系数】
0.7

7. 视野 学科融合 如图所示的电路中有四个开关 A,B,C,D 和一个小灯泡,闭合开关 D 或同时闭
合开关 A,B,C 都可使小灯泡发光,则任意闭合其中两个开关,小灯泡发光的概率为 （）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{1}{3}$
C.$\dfrac{1}{4}$
D.$\dfrac{1}{6}$

列表如下：
| | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| A | | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,事件“任意闭合其中两个开关,小灯泡发光”包含 6 种等可能结果. $\therefore$ 小灯泡发光的概率为$\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}$.

【分析】
这是一道数理跨学科的古典概型问题，解题思路分三步：
1. 先简化发光规则：题目说明小灯泡发光的条件是「闭合开关D」或者「同时闭合A、B、C三个开关」，而本题仅任意闭合2个开关，显然不可能同时闭合A、B、C三个开关，因此可以直接把发光条件简化为：只要闭合的两个开关中包含开关D，小灯泡就会发光。
2. 接下来用列表法枚举从4个开关中任选2个闭合的所有等可能结果，保证不重复、不遗漏。
3. 统计符合发光条件的结果数量，代入古典概型概率公式：概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，计算得到最终结果。
【解析】
我们通过列表法枚举所有任意闭合两个开关的等可能结果：
| | A | B | C | D |
|---|---|---|---|---|
| A | | $(A,B)$ | $(A,C)$ | $(A,D)$ |
| B | $(B,A)$ | | $(B,C)$ | $(B,D)$ |
| C | $(C,A)$ | $(C,B)$ | | $(C,D)$ |
| D | $(D,A)$ | $(D,B)$ | $(D,C)$ | |
从表中可以得出，总共有12种等可能的结果。
结合简化后的发光条件，仅闭合两个开关时，只有闭合的两个开关包含D时灯泡发光，符合条件的结果为$(A,D)、(D,A)、(B,D)、(D,B)、(C,D)、(D,C)$，共6种。
因此小灯泡发光的概率为 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$（对应选项A）
【知识点】
古典概型，简单电路逻辑
【点评】
本题是数学概率与物理电路结合的跨学科题型，易错点是部分同学会忽略“单独闭合D也能让灯发光”的规则，错误认为只有同时闭合三个开关才能点亮灯泡，解题时先根据“仅闭合两个开关”的前提简化发光条件，能大幅降低解题复杂度，避免不必要的误判。
【难度系数】
0.6