登录
8. 易错题 如图,在不透明的管中放置着三根同样的绳子$\mathrm{AA}_{1},\mathrm{BB}_{1},\mathrm{CC}_{1}$.小明在管的左侧选两个绳头打一个结,小红在管的右侧选两个绳头打一个结,则这三根绳子能连接成一根长绳的概率为
$\dfrac{2}{3}$
.答案
小明在管的左侧选两个绳头打一个结有 3 种可能：AB,AC,BC.小红在管的右侧选两个绳头打一个结有 3 种可能:$\mathrm{A_1B_1},\mathrm{A_1C_1},\mathrm{B_1C_1}$.列表如下：
| | AB | AC | BC |
|---|---|---|---|
| $\mathrm{A_1B_1}$ | $(\mathrm{A_1B_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1B_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1B_1},BC)$ |
| $\mathrm{A_1C_1}$ | $(\mathrm{A_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1C_1},BC)$ |
| $\mathrm{B_1C_1}$ | $(\mathrm{B_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{B_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{B_1C_1},BC)$ |
由上表可知,共有 9 种等可能的结果,其中事件“这三根绳子能连接成一根长绳”包含 6 种等可能结果. $\therefore$ 这三根绳子能连接成一根长绳的概率为$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
| | AB | AC | BC |
|---|---|---|---|
| $\mathrm{A_1B_1}$ | $(\mathrm{A_1B_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1B_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1B_1},BC)$ |
| $\mathrm{A_1C_1}$ | $(\mathrm{A_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1C_1},BC)$ |
| $\mathrm{B_1C_1}$ | $(\mathrm{B_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{B_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{B_1C_1},BC)$ |
由上表可知,共有 9 种等可能的结果,其中事件“这三根绳子能连接成一根长绳”包含 6 种等可能结果. $\therefore$ 这三根绳子能连接成一根长绳的概率为$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
解析
【分析】
解题时我们可以按三步思考：第一步先分别确定左右两侧选两个绳头打结的所有可能情况，左侧共有A、B、C三个绳头，任选两个打结的组合数为$\mathrm{C}_3^2=3$种，同理右侧A₁、B₁、C₁三个绳头任选两个打结也有3种可能；第二步用列表法枚举左右选择的所有组合，得到全部等可能的总结果数；第三步判断符合要求的情况：如果左右打的结恰好是对应两根绳子的两端，就会形成闭合小绳圈，无法连成一整根长绳，排除这部分不符合的结果后，就能得到符合条件的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
解：
1. 枚举单侧打结的所有可能：
小明在管左侧选两个绳头打结，共有3种等可能选择：$AB$、$AC$、$BC$；
小红在管右侧选两个绳头打结，共有3种等可能选择：$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$。
2. 列表枚举所有组合结果：
| | AB | AC | BC |
|---|---|---|---|
| $\mathrm{A_1B_1}$ | $(\mathrm{A_1B_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1B_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1B_1},BC)$ |
| $\mathrm{A_1C_1}$ | $(\mathrm{A_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1C_1},BC)$ |
| $\mathrm{B_1C_1}$ | $(\mathrm{B_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{B_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{B_1C_1},BC)$ |
由上表可知，一共有9种等可能的结果。
3. 筛选符合条件的结果：
其中仅$(\mathrm{A_1B_1},AB)$、$(\mathrm{A_1C_1},AC)$、$(\mathrm{B_1C_1},BC)$这3种情况会形成闭合小环，无法连成一根长绳，剩余6种结果都可以将三根绳子连接成一根长绳。
4. 计算概率：
根据等可能事件概率公式：
$P(\mathrm{三根绳子能连接成一根长绳})=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$
【答案】$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
列表法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率应用的经典易错题，很多同学会错误判断符合条件的结果数，误将符合要求的情况算为3种，解题时反向排除形成闭环的3种不符合情况，能大幅降低计数错误的概率，同时要注意左右两侧的选择是独立事件，总样本数为3×3=9，不要错误缩小总结果的范围。
【难度系数】
0.6
解题时我们可以按三步思考：第一步先分别确定左右两侧选两个绳头打结的所有可能情况，左侧共有A、B、C三个绳头，任选两个打结的组合数为$\mathrm{C}_3^2=3$种，同理右侧A₁、B₁、C₁三个绳头任选两个打结也有3种可能；第二步用列表法枚举左右选择的所有组合，得到全部等可能的总结果数；第三步判断符合要求的情况：如果左右打的结恰好是对应两根绳子的两端，就会形成闭合小绳圈，无法连成一整根长绳，排除这部分不符合的结果后，就能得到符合条件的结果数，最后代入等可能事件的概率公式计算即可。
【解析】
解：
1. 枚举单侧打结的所有可能：
小明在管左侧选两个绳头打结，共有3种等可能选择：$AB$、$AC$、$BC$；
小红在管右侧选两个绳头打结，共有3种等可能选择：$A_1B_1$、$A_1C_1$、$B_1C_1$。
2. 列表枚举所有组合结果：
| | AB | AC | BC |
|---|---|---|---|
| $\mathrm{A_1B_1}$ | $(\mathrm{A_1B_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1B_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1B_1},BC)$ |
| $\mathrm{A_1C_1}$ | $(\mathrm{A_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{A_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{A_1C_1},BC)$ |
| $\mathrm{B_1C_1}$ | $(\mathrm{B_1C_1},AB)$ | $(\mathrm{B_1C_1},AC)$ | $(\mathrm{B_1C_1},BC)$ |
由上表可知，一共有9种等可能的结果。
3. 筛选符合条件的结果：
其中仅$(\mathrm{A_1B_1},AB)$、$(\mathrm{A_1C_1},AC)$、$(\mathrm{B_1C_1},BC)$这3种情况会形成闭合小环，无法连成一根长绳，剩余6种结果都可以将三根绳子连接成一根长绳。
4. 计算概率：
根据等可能事件概率公式：
$P(\mathrm{三根绳子能连接成一根长绳})=\dfrac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$
【答案】$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
列表法求概率，等可能事件概率
【点评】
本题是概率应用的经典易错题，很多同学会错误判断符合条件的结果数，误将符合要求的情况算为3种，解题时反向排除形成闭环的3种不符合情况，能大幅降低计数错误的概率，同时要注意左右两侧的选择是独立事件，总样本数为3×3=9，不要错误缩小总结果的范围。
【难度系数】
0.6
9. “石头、剪刀、布”是一个广为流传的游戏，规则如下：甲、乙两人都做出“石头”“剪刀”“布”3种手势中的1种，其中“石头”赢“剪刀”，“剪刀”赢“布”，“布”赢“石头”，手势相同不分输赢. 假设甲、乙两人每次都随意并且同时做出3种手势中的1种，则乙不输的概率为
$\dfrac{2}{3}$
.答案
列表如下：
| 甲\乙 | 石 头 | 剪 刀 | 布 |
|---|---|---|---|
| 石 头 | (石头,石头) | (石头,剪刀) | (石头,布) |
| 剪 刀 | (剪刀,石头) | (剪刀,剪刀) | (剪刀,布) |
| 布 | (布,石头) | (布,剪刀) | (布,布) |
由上表可知,共有 9 种等可能的结果,其中事件“乙不输”包含 6 种等可能结果. $\therefore$ 乙不输的概率为$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
| 甲\乙 | 石 头 | 剪 刀 | 布 |
|---|---|---|---|
| 石 头 | (石头,石头) | (石头,剪刀) | (石头,布) |
| 剪 刀 | (剪刀,石头) | (剪刀,剪刀) | (剪刀,布) |
| 布 | (布,石头) | (布,剪刀) | (布,布) |
由上表可知,共有 9 种等可能的结果,其中事件“乙不输”包含 6 种等可能结果. $\therefore$ 乙不输的概率为$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$.
解析
$＜[PLHD54_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaCreation＞＜[BOS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD62_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD90_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜RichMediaCreation＞＜[PLHD100_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD82_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[/audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[EOI_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SOGP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜RichMediaCreation＞＜[PLHD70_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|video|$＞:＜/escapeShell＞＜[PLHD69_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD79_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜hiddenthink＞＜[PLHD96_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|card|$＞:＜seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD80_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜reflection_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜parameter_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934=＜/escapeShell＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/escapeShell＞＜/seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD76_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[bou_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[EOG_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD56_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD88_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[EOG_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[UNK_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD67_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/reflection_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD87_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|video|$＞:＜[SOI_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜escapeShell ＜$|card|$＞:＜[PLHD58_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|video|$＞:＜hiddenthink＞＜[EOGP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD64_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|FCResponseEnd|$＞＜[CLS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD96_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD82_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD66_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/escapeShell＞＜[audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜escapeShell ＜/seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD89_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/think_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[botu_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaShow＞＜[PLHD96_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SILENT_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaReference＞＜[PLHD70_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD72_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PAD_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD79_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[CLS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD77_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaReference＞＜$|paragraph|$＞:＜[PLHD66_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD60_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD85_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD78_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[BOS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD89_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD78_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaShow＞＜[PLHD86_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD69_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD80_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD55_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD90_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD65_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[/audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞$$＜[PLHD69_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD75_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[CLS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD84_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD55_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD94_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SPEAK_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜function_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934=＜[PLHD76_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[EOI_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD85_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD84_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SEP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD98_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/doubaothinking_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD73_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[EOI_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SEP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD83_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/answer_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜hiddenthink＞＜/RichMediaCreation＞＜[PLHD87_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[eotu_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD77_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD97_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD43_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD61_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaCreation＞＜[SOG_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SPEAK_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD67_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[CLS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD90_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD69_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD87_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|paragraph|$＞:＜/function_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜$|card|$＞:＜RichMediaCreation＞＜[PLHD86_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD81_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD61_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD74_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜doubao_withdraw＞＜$|video|$＞:＜[PLHD64_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD62_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD96_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD64_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD90_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SOG_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[/audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|FCResponseEnd|$＞＜/think_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[BOS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SEP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜RichMediaShow＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD74_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[CLS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜RichMediaReference＞＜/RichMediaCreation＞＜[PLHD67_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaCreation＞＜[PLHD79_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜doubao_withdraw＞＜[PLHD63_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[BOS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[/audio_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜RichMediaReference＞＜[SOGP_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞$$＜function_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934=＜$|video|$＞:＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD63_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD89_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|superscript|$＞:＜/reflection_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜answer_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD73_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[SOG_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD60_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞$$＜[PAD_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD96_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD73_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD83_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜reflection_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜/RichMediaShow＞＜[CLS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜/RichMediaReference＞＜seed:tool_call_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜RichMediaReference＞＜[PLHD71_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜reflection_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜/answer_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜escapeShell ＜[PLHD43_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD55_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD93_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD68_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD90_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[BOS_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜escapeShell ＜[PLHD98_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜answer_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934＞＜[PLHD78_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜$|FCResponseBegin|＞＜doubao_withdraw＞＜/RichMediaCreation＞＜|card|$＞:＜[PLHD80_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD58_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞＜[PLHD87_never_used_51bce0c785ca2f68081bfa7d91973934]＞$
10. 新情境 学科融合 小明在学完物理电学相关知识后，进行“灯泡亮了”的实验，设计了如图所示的电路图，电路图上有5个开关$\mathrm{S}_1,\mathrm{S}_2,\mathrm{S}_3,\mathrm{S}_4,\mathrm{S}_5$和一个小灯泡，当开关$\mathrm{S}_1$闭合时，再同时闭合开关$\mathrm{S}_2,\mathrm{S}_3$或$\mathrm{S}_4,\mathrm{S}_5$都可以使小灯泡亮起来。
(1) 当开关$\mathrm{S}_1,\mathrm{S}_2$已经闭合时，再任意闭合开关$\mathrm{S}_3,\mathrm{S}_4,\mathrm{S}_5$中的一个，小灯泡能亮起来的概率是
(2) 当开关$\mathrm{S}_1$已经闭合时，再任意闭合开关$\mathrm{S}_2,\mathrm{S}_3,\mathrm{S}_4,\mathrm{S}_5$中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡能亮起来的概率。
(1) 当开关$\mathrm{S}_1,\mathrm{S}_2$已经闭合时，再任意闭合开关$\mathrm{S}_3,\mathrm{S}_4,\mathrm{S}_5$中的一个，小灯泡能亮起来的概率是
$\dfrac{1}{3}$
。(2) 当开关$\mathrm{S}_1$已经闭合时，再任意闭合开关$\mathrm{S}_2,\mathrm{S}_3,\mathrm{S}_4,\mathrm{S}_5$中的两个，请用画树状图或列表的方法求小灯泡能亮起来的概率。
答案
(1) $\dfrac{1}{3}$.
(2) 列表如下：
| | $\mathrm{S_2}$ | $\mathrm{S_3}$ | $\mathrm{S_4}$ | $\mathrm{S_5}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\mathrm{S_2}$ | | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_3}$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_2})$ | | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_4}$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_3})$ | | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_5}$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_4})$ | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,其中小灯泡能亮起来的有 4 种等可能结果. $\therefore P($小灯泡能亮起来$)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
(2) 列表如下：
| | $\mathrm{S_2}$ | $\mathrm{S_3}$ | $\mathrm{S_4}$ | $\mathrm{S_5}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\mathrm{S_2}$ | | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_3}$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_2})$ | | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_4}$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_3})$ | | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_5}$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_4})$ | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,其中小灯泡能亮起来的有 4 种等可能结果. $\therefore P($小灯泡能亮起来$)=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
(1) 首先明确小灯泡发光的规则：S₁闭合后，需要同时闭合S₂、S₃，或者同时闭合S₄、S₅，灯泡才会亮。现在已知S₁、S₂已经闭合，我们需要从S₃、S₄、S₅三个开关中任选一个闭合：只有闭合S₃时，能凑齐S₂、S₃同时闭合的亮灯条件，闭合S₄或S₅都无法凑齐S₄、S₅同时闭合的条件，总共有3种等可能的选择，其中仅1种能让灯泡亮，直接计算概率即可。
(2) 当S₁已经闭合时，需要从S₂、S₃、S₄、S₅四个开关中任选两个闭合，我们可以通过列表法枚举所有不放回选取两个开关的等可能结果，再从中筛选出满足“两个开关是S₂和S₃，或是S₄和S₅”的亮灯结果，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
【解析】
(1) 已知S₁、S₂已经闭合，此时从S₃、S₄、S₅中任意闭合一个，共有3种等可能的结果：
闭合S₃：满足S₂、S₃同时闭合，小灯泡亮；
闭合S₄：仅S₄闭合，无法满足S₄、S₅同时闭合，小灯泡不亮；
闭合S₅：仅S₅闭合，无法满足S₄、S₅同时闭合，小灯泡不亮。
因此能让小灯泡亮的结果只有1种，故所求概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 从S₂、S₃、S₄、S₅中任意闭合两个，列出所有等可能的结果如下：
| | $\mathrm{S_2}$ | $\mathrm{S_3}$ | $\mathrm{S_4}$ | $\mathrm{S_5}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\mathrm{S_2}$ | | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_3}$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_2})$ | | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_4}$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_3})$ | | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_5}$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_4})$ | |
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中能让小灯泡亮的结果为$(\mathrm{S_2},\mathrm{S_3})$、$(\mathrm{S_3},\mathrm{S_2})$、$(\mathrm{S_4},\mathrm{S_5})$、$(\mathrm{S_5},\mathrm{S_4})$，共4种。
因此$P(\mathrm{小灯泡能亮起来})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率基础计算，列表法求概率，电路通路判断
【点评】
本题是跨物理电学情境的概率应用题，解题核心是先准确提取灯泡发光的条件，再通过枚举法统计所有等可能结果，注意选取两个开关时是不放回抽样，不要重复或遗漏计数，既考察了概率的核心计算方法，也体现了学科融合的命题特点，难度适中。
【难度系数】
0.6
(1) 首先明确小灯泡发光的规则：S₁闭合后，需要同时闭合S₂、S₃，或者同时闭合S₄、S₅，灯泡才会亮。现在已知S₁、S₂已经闭合，我们需要从S₃、S₄、S₅三个开关中任选一个闭合：只有闭合S₃时，能凑齐S₂、S₃同时闭合的亮灯条件，闭合S₄或S₅都无法凑齐S₄、S₅同时闭合的条件，总共有3种等可能的选择，其中仅1种能让灯泡亮，直接计算概率即可。
(2) 当S₁已经闭合时，需要从S₂、S₃、S₄、S₅四个开关中任选两个闭合，我们可以通过列表法枚举所有不放回选取两个开关的等可能结果，再从中筛选出满足“两个开关是S₂和S₃，或是S₄和S₅”的亮灯结果，用符合条件的结果数除以总结果数即可得到对应概率。
【解析】
(1) 已知S₁、S₂已经闭合，此时从S₃、S₄、S₅中任意闭合一个，共有3种等可能的结果：
闭合S₃：满足S₂、S₃同时闭合，小灯泡亮；
闭合S₄：仅S₄闭合，无法满足S₄、S₅同时闭合，小灯泡不亮；
闭合S₅：仅S₅闭合，无法满足S₄、S₅同时闭合，小灯泡不亮。
因此能让小灯泡亮的结果只有1种，故所求概率为$\frac{1}{3}$。
(2) 从S₂、S₃、S₄、S₅中任意闭合两个，列出所有等可能的结果如下：
| | $\mathrm{S_2}$ | $\mathrm{S_3}$ | $\mathrm{S_4}$ | $\mathrm{S_5}$ |
|---|---|---|---|---|
| $\mathrm{S_2}$ | | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_2},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_3}$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_2})$ | | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_4})$ | $(\mathrm{S_3},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_4}$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_3})$ | | $(\mathrm{S_4},\mathrm{S_5})$ |
| $\mathrm{S_5}$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_2})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_3})$ | $(\mathrm{S_5},\mathrm{S_4})$ | |
由上表可知，共有12种等可能的结果，其中能让小灯泡亮的结果为$(\mathrm{S_2},\mathrm{S_3})$、$(\mathrm{S_3},\mathrm{S_2})$、$(\mathrm{S_4},\mathrm{S_5})$、$(\mathrm{S_5},\mathrm{S_4})$，共4种。
因此$P(\mathrm{小灯泡能亮起来})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{1}{3}$；(2) $\dfrac{1}{3}$
【知识点】
概率基础计算，列表法求概率，电路通路判断
【点评】
本题是跨物理电学情境的概率应用题，解题核心是先准确提取灯泡发光的条件，再通过枚举法统计所有等可能结果，注意选取两个开关时是不放回抽样，不要重复或遗漏计数，既考察了概率的核心计算方法，也体现了学科融合的命题特点，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. [摸球游戏中的不放回]在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4. 若随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次取出小球标号的和等于6的概率为（
A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{16}$
B
）A.$\dfrac{1}{4}$
B.$\dfrac{1}{6}$
C.$\dfrac{2}{3}$
D.$\dfrac{3}{16}$
答案
根据题意,画出如图所示的树状图. 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中两次取出小球标号的和等于 6 的有 2 种等可能结果,$\therefore$ 两次取出小球标号的和等于 6 的概率为$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
这道题是不放回摸球的概率计算问题，解题思路可以分三步走：第一步，先明确试验规则：第一次摸球后不放回，第二次再摸球，我们可以用树状图或者列表法枚举所有等可能的两次摸球结果，避免漏数、重复计数；第二步，从所有结果里筛选出两次小球标号相加和等于6的符合条件的结果；第三步，根据古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以全部等可能的总结果数，就能算出对应概率。这里要注意不放回的特点：两次摸到的小球标号不可能相同，不要误把总结果数算成放回情况下的16种。
【解析】
解：通过树状图枚举所有可能的结果：
第一次摸球的可能结果为1、2、3、4共4种：
1. 若第一次摸出1，第二次可摸出2、3、4，对应两数和分别为3、4、5
2. 若第一次摸出2，第二次可摸出1、3、4，对应两数和分别为3、5、6
3. 若第一次摸出3，第二次可摸出1、2、4，对应两数和分别为4、5、7
4. 若第一次摸出4，第二次可摸出1、2、3，对应两数和分别为5、6、7
由此可得，全部等可能的总结果数为4×3=12种，其中两次标号和等于6的结果只有(2,4)和(4,2)共2种。
代入概率公式计算：
$P(\mathrm{两次取出小球标号的和等于6})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
B
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，不放回抽样
【点评】
本题属于初中概率的基础题型，核心考察不放回抽样的概率计算，易错点在于部分同学会混淆放回和不放回试验的总结果数，误将总结果算为16得到错误答案1/16，解题时只要注意两次摸球不放回、结果有序，枚举时不重不漏就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
这道题是不放回摸球的概率计算问题，解题思路可以分三步走：第一步，先明确试验规则：第一次摸球后不放回，第二次再摸球，我们可以用树状图或者列表法枚举所有等可能的两次摸球结果，避免漏数、重复计数；第二步，从所有结果里筛选出两次小球标号相加和等于6的符合条件的结果；第三步，根据古典概型的概率公式，用符合条件的结果数除以全部等可能的总结果数，就能算出对应概率。这里要注意不放回的特点：两次摸到的小球标号不可能相同，不要误把总结果数算成放回情况下的16种。
【解析】
解：通过树状图枚举所有可能的结果：
第一次摸球的可能结果为1、2、3、4共4种：
1. 若第一次摸出1，第二次可摸出2、3、4，对应两数和分别为3、4、5
2. 若第一次摸出2，第二次可摸出1、3、4，对应两数和分别为3、5、6
3. 若第一次摸出3，第二次可摸出1、2、4，对应两数和分别为4、5、7
4. 若第一次摸出4，第二次可摸出1、2、3，对应两数和分别为5、6、7
由此可得，全部等可能的总结果数为4×3=12种，其中两次标号和等于6的结果只有(2,4)和(4,2)共2种。
代入概率公式计算：
$P(\mathrm{两次取出小球标号的和等于6})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总等可能结果数}}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$
【答案】
B
【知识点】
树状图法求概率，概率公式，不放回抽样
【点评】
本题属于初中概率的基础题型，核心考察不放回抽样的概率计算，易错点在于部分同学会混淆放回和不放回试验的总结果数，误将总结果算为16得到错误答案1/16，解题时只要注意两次摸球不放回、结果有序，枚举时不重不漏就能轻松得到正确结果。
【难度系数】
0.7
2. [数字牌游戏中的不放回]四张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字2，3，4，5，将它们背面朝上，洗匀后先随机抽取一张，得到的牌面数字记为$a$，然后不放回，继续抽取第二张，得到的牌面数字记为$b$，则$a-b=2$的概率是
$\dfrac{1}{6}$
.答案
根据题意,列表如下：
| $a$$b$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,其中事件“$a-b=2$”包含 2 种等可能结果,$\therefore a-b=2$的概率是$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
| $a$$b$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | |
由上表可知,共有 12 种等可能的结果,其中事件“$a-b=2$”包含 2 种等可能结果,$\therefore a-b=2$的概率是$\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$.
解析
【分析】
这是典型的不放回抽样的古典概型问题，解题思路可以分为三步：第一步先明确试验规则，第一次从4张牌抽1张得到a，不放回后第二次从剩余3张抽1张得到b，所有抽取结果都是等可能的；第二步用列表法或者树状图枚举所有等可能的结果，统计总结果数，注意不放回的条件下a和b不可能相等，避免多算重复的无效结果；第三步从所有结果里筛选出满足a-b=2的情况，统计符合条件的结果数，最后用概率的基本公式：目标事件概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，计算出最终概率。
【解析】
解：通过列表法枚举所有不放回抽取的等可能结果：
| $a\backslash b$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 无 | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | 无 | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | 无 | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | 无 |
由上表可知，不放回抽取的场景下，总共有12种等可能的结果。
筛选满足$a-b=2$的结果：仅$(4,2)$、$(5,3)$这2种情况符合要求。
代入概率公式计算：$P(a-b=2)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率；不放回抽样；古典概型计算
【点评】
本题属于概率模块的基础题，核心考察不放回抽样的概率计算逻辑，常见易错点是忽略“不放回”的条件误将总结果数算为16种，或者错把b-a=2的反向情况计入目标事件，解题时枚举结果做到不重不漏，严格按照题干要求筛选目标事件即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
这是典型的不放回抽样的古典概型问题，解题思路可以分为三步：第一步先明确试验规则，第一次从4张牌抽1张得到a，不放回后第二次从剩余3张抽1张得到b，所有抽取结果都是等可能的；第二步用列表法或者树状图枚举所有等可能的结果，统计总结果数，注意不放回的条件下a和b不可能相等，避免多算重复的无效结果；第三步从所有结果里筛选出满足a-b=2的情况，统计符合条件的结果数，最后用概率的基本公式：目标事件概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数，计算出最终概率。
【解析】
解：通过列表法枚举所有不放回抽取的等可能结果：
| $a\backslash b$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | 无 | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | 无 | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | 无 | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | 无 |
由上表可知，不放回抽取的场景下，总共有12种等可能的结果。
筛选满足$a-b=2$的结果：仅$(4,2)$、$(5,3)$这2种情况符合要求。
代入概率公式计算：$P(a-b=2)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
【答案】
$\dfrac{1}{6}$
【知识点】
列表法求概率；不放回抽样；古典概型计算
【点评】
本题属于概率模块的基础题，核心考察不放回抽样的概率计算逻辑，常见易错点是忽略“不放回”的条件误将总结果数算为16种，或者错把b-a=2的反向情况计入目标事件，解题时枚举结果做到不重不漏，严格按照题干要求筛选目标事件即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
3. [确定方程解的放回]从 2,3,4,5 四个数中随机选取一个数,记为 $a$,放回后再随机选取一个数,记为 $c$,则 $a,c$ 的取值使得关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2-6x+c=0$ 有实数解的概率为
$\dfrac{3}{8}$
.答案
$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2-6x+c=0$ 有实数解,$\therefore \Delta=36-4ac≥0$,且 $a≠0$,解得 $ac≤9$,$a≠0$.
根据题意,列表如下：
| $a$$c$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | $(5,5)$ |
由上表可知,共有 16 种等可能的结果,其中两个数的积不大于 9 的有 6 种等可能结果,$\therefore$ 使得关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2-6x+c=0$ 有实数解的概率为$\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$.
根据题意,列表如下：
| $a$$c$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | $(5,5)$ |
由上表可知,共有 16 种等可能的结果,其中两个数的积不大于 9 的有 6 种等可能结果,$\therefore$ 使得关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^2-6x+c=0$ 有实数解的概率为$\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$.
解析
【分析】
这是一道一元二次方程性质和概率计算结合的综合题，解题思路分三步：第一步，先根据一元二次方程有实数解的要求，推导得到参数a和c需要满足的约束条件：首先一元二次方程二次项系数不为0，同时判别式Δ≥0，代入方程系数化简就能得到ac≤9的要求；第二步，因为是放回式抽取，先后选a和c的所有可能结果是等可能的，通过列表法枚举所有16种等可能的(a,c)组合；第三步，从所有组合里筛选出满足ac≤9的结果数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能算出对应的概率。
【解析】
1. 推导方程有实根的约束条件：
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2-6x+c=0$有实数解，首先二次项系数$a≠0$，同时判别式$\Delta = (-6)^2 - 4ac ≥ 0$，化简得$36-4ac≥0$，即$ac≤9$。
本题中$a$是从2,3,4,5中选取，天然满足$a≠0$，因此只需要满足$ac≤9$即可。
2. 枚举所有等可能的结果：
因为是放回抽取，先后两次选数互不影响，总共有$4×4=16$种等可能的结果，列表如下：
| $a\backslash c$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | $(5,5)$ |
3. 统计符合条件的结果数：
逐一验证所有组合的$ac$值，满足$ac≤9$的组合共6种，分别是$(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(4,2)$。
4. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\dfrac{3}{8}$
【知识点】
一元二次方程判别式；古典概型计算；放回抽样
【点评】
本题属于代数与统计概率的小综合题，核心考点清晰，易错点有两处：一是容易误把放回抽样当成不放回抽样，错算总结果数为12；二是统计满足$ac≤9$的组合时出现漏数、多数的错误，解题时可以按a的取值分类逐一验证，避免计数出错。
【难度系数】
0.6
这是一道一元二次方程性质和概率计算结合的综合题，解题思路分三步：第一步，先根据一元二次方程有实数解的要求，推导得到参数a和c需要满足的约束条件：首先一元二次方程二次项系数不为0，同时判别式Δ≥0，代入方程系数化简就能得到ac≤9的要求；第二步，因为是放回式抽取，先后选a和c的所有可能结果是等可能的，通过列表法枚举所有16种等可能的(a,c)组合；第三步，从所有组合里筛选出满足ac≤9的结果数量，最后用符合条件的结果数除以总结果数，就能算出对应的概率。
【解析】
1. 推导方程有实根的约束条件：
已知关于$x$的一元二次方程$ax^2-6x+c=0$有实数解，首先二次项系数$a≠0$，同时判别式$\Delta = (-6)^2 - 4ac ≥ 0$，化简得$36-4ac≥0$，即$ac≤9$。
本题中$a$是从2,3,4,5中选取，天然满足$a≠0$，因此只需要满足$ac≤9$即可。
2. 枚举所有等可能的结果：
因为是放回抽取，先后两次选数互不影响，总共有$4×4=16$种等可能的结果，列表如下：
| $a\backslash c$ | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 2 | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |
| 3 | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ |
| 4 | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ | $(4,5)$ |
| 5 | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | $(5,5)$ |
3. 统计符合条件的结果数：
逐一验证所有组合的$ac$值，满足$ac≤9$的组合共6种，分别是$(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(4,2)$。
4. 计算概率：
根据古典概型概率公式，所求概率$P=\frac{符合条件的结果数}{总结果数}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$。
【答案】
$\dfrac{3}{8}$
【知识点】
一元二次方程判别式；古典概型计算；放回抽样
【点评】
本题属于代数与统计概率的小综合题，核心考点清晰，易错点有两处：一是容易误把放回抽样当成不放回抽样，错算总结果数为12；二是统计满足$ac≤9$的组合时出现漏数、多数的错误，解题时可以按a的取值分类逐一验证，避免计数出错。
【难度系数】
0.6
