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7. 某家庭准备生育2个小孩(生男生女的概率相等,且与顺序无关).
(1) 该家庭生育两胎,假设每胎都是1个小孩,求这2个小孩恰好是1男1女的概率.
(2) 该家庭生育两胎,假如第一胎是1个小孩,第二胎是一对双胞胎,求这3个小孩中至少有1个女孩的概率.
(1) 该家庭生育两胎,假设每胎都是1个小孩,求这2个小孩恰好是1男1女的概率.
(2) 该家庭生育两胎,假如第一胎是1个小孩,第二胎是一对双胞胎,求这3个小孩中至少有1个女孩的概率.
答案
(1) 画树状图如图①所示
. 由树状图可知,共有 4 种等可能的结果,其中恰好是 1 男 1 女的有 2 种可能结果.∴ P(这 2 个小孩恰好是 1 男 1 女)=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2) 画树状图如图②所示
. 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中至少有 1 个女孩的有 7 种等可能结果.∴ P(这 3 个小孩中至少有 1 个女孩)=$\frac{7}{8}$.
解析
【分析】
解题思路：对于这类分步的随机事件求概率，我们优先用树状图法枚举所有等可能的结果，再统计符合题目要求的结果数量，最后用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”得到概率。
第(1)问：生育两胎每胎1个孩子，第一步先枚举第一胎的2种可能（男、女），第二步对第一胎的每种结果，再枚举第二胎的2种可能，得到全部4种等可能结果，从中找出恰好1男1女的结果数，即可计算概率。
第(2)问：生育的3个孩子是第一胎1个、第二胎双胞胎，第一步先枚举第一胎的2种性别可能，第二步对第一胎的每种结果，枚举双胞胎的所有4种性别组合，得到全部8种等可能结果；“至少1个女孩”的对立事件是“3个全是男孩”，仅1种情况，用总结果数减去全男的情况数就能快速得到符合条件的结果数，避免漏数。
【解析】
(1) 按照树状图①分步枚举：
第一胎有男、女2种等可能结果，每种结果对应的第二胎又各有男、女2种等可能结果，因此总共有4种等可能的结果，分别为(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)。
其中恰好是1男1女的结果为(男,女)、(女,男)，共2种。
因此P(2个小孩恰好是1男1女) = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 按照树状图②分步枚举：
第一胎有男、女2种等可能结果，每种结果对应的双胞胎的性别组合各有4种等可能结果，因此总共有2×4=8种等可能的结果。
“3个小孩中至少有1个女孩”的对立事件是“3个小孩全为男孩”，仅存在1种结果，因此符合“至少有1个女孩”的结果数为8-1=7种。
因此P(3个小孩中至少有1个女孩) = $\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) 画树状图如图①所示. 由树状图可知,共有 4 种等可能的结果,其中恰好是 1 男 1 女的有 2 种可能结果.
∴ P(这 2 个小孩恰好是 1 男 1 女)=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2) 画树状图如图②所示. 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中至少有 1 个女孩的有 7 种等可能结果.
∴ P(这 3 个小孩中至少有 1 个女孩)=$\frac{7}{8}$.
【知识点】
树状图求概率，古典概型，对立事件
【点评】
本题是初中概率板块的基础典型题，考察用树状图枚举多步骤随机事件所有等可能结果的核心方法，第二问利用对立事件简化计数过程，能有效降低计数出错的概率，帮助学生养成枚举不重不漏的解题习惯。
【难度系数】
0.8
解题思路：对于这类分步的随机事件求概率，我们优先用树状图法枚举所有等可能的结果，再统计符合题目要求的结果数量，最后用“符合条件的结果数÷总等可能结果数”得到概率。
第(1)问：生育两胎每胎1个孩子，第一步先枚举第一胎的2种可能（男、女），第二步对第一胎的每种结果，再枚举第二胎的2种可能，得到全部4种等可能结果，从中找出恰好1男1女的结果数，即可计算概率。
第(2)问：生育的3个孩子是第一胎1个、第二胎双胞胎，第一步先枚举第一胎的2种性别可能，第二步对第一胎的每种结果，枚举双胞胎的所有4种性别组合，得到全部8种等可能结果；“至少1个女孩”的对立事件是“3个全是男孩”，仅1种情况，用总结果数减去全男的情况数就能快速得到符合条件的结果数，避免漏数。
【解析】
(1) 按照树状图①分步枚举：
第一胎有男、女2种等可能结果，每种结果对应的第二胎又各有男、女2种等可能结果，因此总共有4种等可能的结果，分别为(男,男)、(男,女)、(女,男)、(女,女)。
其中恰好是1男1女的结果为(男,女)、(女,男)，共2种。
因此P(2个小孩恰好是1男1女) = $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 按照树状图②分步枚举：
第一胎有男、女2种等可能结果，每种结果对应的双胞胎的性别组合各有4种等可能结果，因此总共有2×4=8种等可能的结果。
“3个小孩中至少有1个女孩”的对立事件是“3个小孩全为男孩”，仅存在1种结果，因此符合“至少有1个女孩”的结果数为8-1=7种。
因此P(3个小孩中至少有1个女孩) = $\frac{7}{8}$。
【答案】
(1) 画树状图如图①所示
. 由树状图可知,共有 4 种等可能的结果,其中恰好是 1 男 1 女的有 2 种可能结果.∴ P(这 2 个小孩恰好是 1 男 1 女)=$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2) 画树状图如图②所示
. 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中至少有 1 个女孩的有 7 种等可能结果.∴ P(这 3 个小孩中至少有 1 个女孩)=$\frac{7}{8}$.
【知识点】
树状图求概率，古典概型，对立事件
【点评】
本题是初中概率板块的基础典型题，考察用树状图枚举多步骤随机事件所有等可能结果的核心方法，第二问利用对立事件简化计数过程，能有效降低计数出错的概率，帮助学生养成枚举不重不漏的解题习惯。
【难度系数】
0.8
8. 为了参加中考体育测试，甲、乙、丙三名同学进行足球传球训练. 球从一人脚下随机传到另一人脚下，且每名传球人传球给其余两人的可能性是相同的，由甲开始传球，共传三次.
（1）请用画树状图法列出三次传球所有可能出现的结果.
（2）求传球三次后，球回到甲脚下的概率.
（3）传球三次后，球回到甲脚下的概率大还是传到丙脚下的概率大？
（1）请用画树状图法列出三次传球所有可能出现的结果.
（2）求传球三次后，球回到甲脚下的概率.
（3）传球三次后，球回到甲脚下的概率大还是传到丙脚下的概率大？
答案
(1) 画树状图如图所示
.(2) 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中传球三次后,球回到甲脚下的有 2 种等可能结果.
∴ 球回到甲脚下的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
(3) 由树状图可知,共有 8 种等可能的结果,其中传球三次后,球传到丙脚下的有 3 种等可能结果.
∴ 球传到丙脚下的概率为$\frac{3}{8}$.
∵ $\frac{3}{8}＞\frac{1}{4}$,
∴ 球传到丙脚下的概率大.
解析
【分析】
这是多步随机试验的概率求解问题，优先选择树状图法来枚举所有等可能结果，思路如下：
1. 第一步先确定首次传球的所有可能：由甲开始传球，不能传给自己，因此第一次传球只有传给乙、丙2种选择；
2. 第二步对第一次传球得到的每个结果，继续枚举第二次传球的可能：当前持球人同样不能传给自身，因此每个节点都对应2个传球方向；
3. 第三步同理枚举第三次传球的所有可能，得到全部的等可能结果；
4. 分别统计“三次后球回到甲脚下”、“三次后球传到丙脚下”的符合条件的结果数，代入等可能事件概率公式计算对应概率，最后比较两个概率的大小即可完成全部问题。
【解析】
（1）按照传球规则绘制树状图，从甲出发逐层展开所有传球路径，即可列出三次传球的所有可能结果，全部8种结果分别为：甲→乙→甲→乙、甲→乙→甲→丙、甲→乙→丙→甲、甲→乙→丙→乙、甲→丙→甲→乙、甲→丙→甲→丙、甲→丙→乙→甲、甲→丙→乙→丙。
（2）由树状图可知，三次传球共有8种等可能的结果，其中传球三次后球回到甲脚下的结果为甲→乙→丙→甲、甲→丙→乙→甲，共2种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，可得球回到甲脚下的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
（3）由树状图可知，传球三次后球传到丙脚下的结果为甲→乙→甲→丙、甲→丙→甲→丙、甲→丙→乙→丙，共3种，因此球传到丙脚下的概率为$\frac{3}{8}$。
因为$\frac{3}{8}＞\frac{1}{4}$，所以传球三次后球传到丙脚下的概率更大。
【答案】
(1) 画树状图如图所示.
(2) 球回到甲脚下的概率为$\frac{1}{4}$.
(3) 球传到丙脚下的概率大.
【知识点】
树状图求概率，等可能事件概率，概率大小比较
【点评】
本题是传球类概率的经典基础题型，核心考察学生用树状图不重不漏枚举多步试验所有结果的能力，解题时需要注意传球不能传给自身的隐含规则，避免多算或者漏算结果，是中考概率模块的常考题型，能够帮助学生巩固多步随机试验的概率求解思路。
【难度系数】
0.7
这是多步随机试验的概率求解问题，优先选择树状图法来枚举所有等可能结果，思路如下：
1. 第一步先确定首次传球的所有可能：由甲开始传球，不能传给自己，因此第一次传球只有传给乙、丙2种选择；
2. 第二步对第一次传球得到的每个结果，继续枚举第二次传球的可能：当前持球人同样不能传给自身，因此每个节点都对应2个传球方向；
3. 第三步同理枚举第三次传球的所有可能，得到全部的等可能结果；
4. 分别统计“三次后球回到甲脚下”、“三次后球传到丙脚下”的符合条件的结果数，代入等可能事件概率公式计算对应概率，最后比较两个概率的大小即可完成全部问题。
【解析】
（1）按照传球规则绘制树状图，从甲出发逐层展开所有传球路径，即可列出三次传球的所有可能结果，全部8种结果分别为：甲→乙→甲→乙、甲→乙→甲→丙、甲→乙→丙→甲、甲→乙→丙→乙、甲→丙→甲→乙、甲→丙→甲→丙、甲→丙→乙→甲、甲→丙→乙→丙。
（2）由树状图可知，三次传球共有8种等可能的结果，其中传球三次后球回到甲脚下的结果为甲→乙→丙→甲、甲→丙→乙→甲，共2种。
根据等可能事件概率公式：$P=\frac{符合条件的结果数}{总等可能结果数}$，可得球回到甲脚下的概率为$\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
（3）由树状图可知，传球三次后球传到丙脚下的结果为甲→乙→甲→丙、甲→丙→甲→丙、甲→丙→乙→丙，共3种，因此球传到丙脚下的概率为$\frac{3}{8}$。
因为$\frac{3}{8}＞\frac{1}{4}$，所以传球三次后球传到丙脚下的概率更大。
【答案】
(1) 画树状图如图所示
.(2) 球回到甲脚下的概率为$\frac{1}{4}$.
(3) 球传到丙脚下的概率大.
【知识点】
树状图求概率，等可能事件概率，概率大小比较
【点评】
本题是传球类概率的经典基础题型，核心考察学生用树状图不重不漏枚举多步试验所有结果的能力，解题时需要注意传球不能传给自身的隐含规则，避免多算或者漏算结果，是中考概率模块的常考题型，能够帮助学生巩固多步随机试验的概率求解思路。
【难度系数】
0.7
9. 在一个不透明的口袋里装着分别标有数$-2,-1,0,3$的四个小球，除数不同外，小球没有任何区别，每次试验先搅拌均匀.
(1) 从中任取一球，将球上的数记为$a$，求关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-2ax+a+2=0$有实数根的概率.
(2) 从中任取一球，将球上的数作为点的横坐标记为$x$(不放回)，再任取一球，将球上的数作为点的纵坐标，记为$y$，用画树状图法表示出点$(x,y)$所有可能出现的结果，并求点$(x,y)$落在第二象限内的概率.
(1) 从中任取一球，将球上的数记为$a$，求关于$x$的一元二次方程$ax^{2}-2ax+a+2=0$有实数根的概率.
(2) 从中任取一球，将球上的数作为点的横坐标记为$x$(不放回)，再任取一球，将球上的数作为点的纵坐标，记为$y$，用画树状图法表示出点$(x,y)$所有可能出现的结果，并求点$(x,y)$落在第二象限内的概率.
答案
(1)
∵ 一元二次方程$ax^2-2ax+a+2=0$有实数根，
∴ $\Delta=4a^2-4a(a+2)=-8a≥0$,且$a≠0$,
∴ $a＜0$.
∵ 数-2,-1,0,3中,小于0的有-2,-1,
∴ 关于x的一元二次方程$ax^2-2ax+a+2=0$有实数根的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2) 画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中点$(x,y)$落在第二象限内有$(-2,3)$,$(-1,3)$这 2 种等可能结果,
∴ 点$(x,y)$落在第二象限内的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
∵ 一元二次方程$ax^2-2ax+a+2=0$有实数根，
∴ $\Delta=4a^2-4a(a+2)=-8a≥0$,且$a≠0$,
∴ $a＜0$.
∵ 数-2,-1,0,3中,小于0的有-2,-1,
∴ 关于x的一元二次方程$ax^2-2ax+a+2=0$有实数根的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$.
(2) 画树状图如图所示. 由树状图可知,共有 12 种等可能的结果,其中点$(x,y)$落在第二象限内有$(-2,3)$,$(-1,3)$这 2 种等可能结果,
∴ 点$(x,y)$落在第二象限内的概率为$\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$.
解析
【分析】
这道题是概率与代数、平面直角坐标系结合的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先明确题目要求的是一元二次方程，因此二次项系数a不能为0，再根据一元二次方程有实数根的条件，即根的判别式Δ≥0，计算得到a的取值范围，再从给定的4个数字中筛选出符合条件的a的个数，最后用符合条件的结果数除以总结果数，得到对应概率。
2. 第(2)问：因为是不放回取球，第一次取完球后剩余3个不同的数，按照树状图的绘制规则，先列出第一次抽取的所有横坐标可能值，再对应每个横坐标列出第二次抽取的剩余纵坐标可能值，统计所有等可能的总结果数，再根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负、纵坐标为正）筛选出符合要求的点的数量，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 已知方程$ax^{2}-2ax+a+2=0$是一元二次方程，因此二次项系数满足$a ≠ 0$。
方程有实数根，说明根的判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = (-2a)^2 - 4 · a · (a+2) = 4a^2 -4a^2 -8a = -8a$
令$\Delta ≥ 0$，即$-8a ≥ 0$，解得$a ≤ 0$。
结合$a ≠ 0$，可得$a ＜ 0$。
给定的4个数字为$-2,-1,0,3$，其中满足$a＜0$的数是$-2$和$-1$，共2个。
因此所求概率为$P_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(2) 绘制树状图：
第一层（第一次取横坐标x）的所有可能结果：$-2,-1,0,3$；
当第一次取$x=-2$时，剩余的y可选值为$-1,0,3$，对应点$(-2,-1),(-2,0),(-2,3)$；
当第一次取$x=-1$时，剩余的y可选值为$-2,0,3$，对应点$(-1,-2),(-1,0),(-1,3)$；
当第一次取$x=0$时，剩余的y可选值为$-2,-1,3$，对应点$(0,-2),(0,-1),(0,3)$；
当第一次取$x=3$时，剩余的y可选值为$-2,-1,0$，对应点$(3,-2),(3,-1),(3,0)$。
由树状图可知，总共有12种等可能的结果。
第二象限内的点满足横坐标$x＜0$，纵坐标$y＞0$，符合条件的点只有$(-2,3)$和$(-1,3)$，共2种。
因此点落在第二象限的概率为$P_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；树状图法求概率；象限点的坐标特征
【点评】
本题属于概率综合题，将一元二次方程的性质、平面直角坐标系的象限特征和概率计算结合，易错点集中在第(1)问容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将a=0纳入符合条件的范围，第(2)问要注意不放回抽样的特点，不会出现x和y取值相同的情况，统计结果时避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.6
这道题是概率与代数、平面直角坐标系结合的综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问：首先明确题目要求的是一元二次方程，因此二次项系数a不能为0，再根据一元二次方程有实数根的条件，即根的判别式Δ≥0，计算得到a的取值范围，再从给定的4个数字中筛选出符合条件的a的个数，最后用符合条件的结果数除以总结果数，得到对应概率。
2. 第(2)问：因为是不放回取球，第一次取完球后剩余3个不同的数，按照树状图的绘制规则，先列出第一次抽取的所有横坐标可能值，再对应每个横坐标列出第二次抽取的剩余纵坐标可能值，统计所有等可能的总结果数，再根据第二象限点的坐标特征（横坐标为负、纵坐标为正）筛选出符合要求的点的数量，代入概率公式计算即可。
【解析】
(1) 已知方程$ax^{2}-2ax+a+2=0$是一元二次方程，因此二次项系数满足$a ≠ 0$。
方程有实数根，说明根的判别式$\Delta ≥ 0$：
$\Delta = (-2a)^2 - 4 · a · (a+2) = 4a^2 -4a^2 -8a = -8a$
令$\Delta ≥ 0$，即$-8a ≥ 0$，解得$a ≤ 0$。
结合$a ≠ 0$，可得$a ＜ 0$。
给定的4个数字为$-2,-1,0,3$，其中满足$a＜0$的数是$-2$和$-1$，共2个。
因此所求概率为$P_1 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(2) 绘制树状图：
第一层（第一次取横坐标x）的所有可能结果：$-2,-1,0,3$；
当第一次取$x=-2$时，剩余的y可选值为$-1,0,3$，对应点$(-2,-1),(-2,0),(-2,3)$；
当第一次取$x=-1$时，剩余的y可选值为$-2,0,3$，对应点$(-1,-2),(-1,0),(-1,3)$；
当第一次取$x=0$时，剩余的y可选值为$-2,-1,3$，对应点$(0,-2),(0,-1),(0,3)$；
当第一次取$x=3$时，剩余的y可选值为$-2,-1,0$，对应点$(3,-2),(3,-1),(3,0)$。
由树状图可知，总共有12种等可能的结果。
第二象限内的点满足横坐标$x＜0$，纵坐标$y＞0$，符合条件的点只有$(-2,3)$和$(-1,3)$，共2种。
因此点落在第二象限的概率为$P_2 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；树状图法求概率；象限点的坐标特征
【点评】
本题属于概率综合题，将一元二次方程的性质、平面直角坐标系的象限特征和概率计算结合，易错点集中在第(1)问容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误将a=0纳入符合条件的范围，第(2)问要注意不放回抽样的特点，不会出现x和y取值相同的情况，统计结果时避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.6
