13. (2024·绍兴市柯桥区期末)已知:如图,直线AB,直线DE被直线l所截,分别交直线AB,DE于点A,D。点C为其内部一点,联结AC,CD,且满足∠1+∠2=∠ACD。
(1)求证:AB//DE。
(2)若∠ACD=90°,且AC平分∠BAD,说明∠1和∠ADC的数量关系。

(1)证明:如图,过点C作CF//AB,所以∠1=∠ACF。因为∠ACF+∠DCF=∠ACD,∠1+∠2=∠ACD,所以∠DCF=∠2,所以CF//DE,所以AB//DE。
(2)解:∠1+∠ADC=90°。因为∠ACD=90°,∠1+∠2=∠ACD,所以∠1+∠2=90°。因为AC平分∠BAD,所以∠DAC=∠1。因为AB//DE,所以∠1+∠DAC+∠ADC+∠2=180°,所以∠1+∠ADC=90°。

【分析】
(1) 要证明AB//DE，可通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质和判定来推导。过点C作CF//AB，根据平行线内错角相等得到∠1=∠ACF，结合已知∠1+∠2=∠ACD，可推出∠DCF=∠2，进而得到CF//DE，再由平行的传递性证得AB//DE。
(2) 已知∠ACD=90°，结合∠1+∠2=∠ACD可得∠1+∠2=90°；由AC平分∠BAD得∠DAC=∠1，再利用AB//DE时同旁内角互补的性质，将∠BAD和∠ADE用∠1、∠ADC、∠2表示，代入后化简即可得到∠1与∠ADC的数量关系。
【解析】
(1) 证明：过点C作CF//AB，如图所示。
∵ CF//AB，
∴ ∠1 = ∠ACF（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠ACF + ∠DCF = ∠ACD，且已知∠1 + ∠2 = ∠ACD，
∴ ∠DCF = ∠2（等量代换），
∴ CF//DE（内错角相等，两直线平行），
∴ AB//DE（平行于同一条直线的两条直线平行）。
(2) 解：∠1 + ∠ADC = 90°，理由如下：
∵ ∠ACD = 90°，且∠1 + ∠2 = ∠ACD，
∴ ∠1 + ∠2 = 90°。
∵ AC平分∠BAD，
∴ ∠DAC = ∠1。
由(1)知AB//DE，
∴ ∠BAD + ∠ADE = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ ∠BAD = ∠1 + ∠DAC = 2∠1，∠ADE = ∠ADC + ∠2，
∴ 2∠1 + ∠ADC + ∠2 = 180°，
整理得：∠1 + (∠1 + ∠2) + ∠ADC = 180°，
将∠1 + ∠2 = 90°代入，得∠1 + 90° + ∠ADC = 180°，
∴ ∠1 + ∠ADC = 90°。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) ∠1 + ∠ADC = 90°。
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合平行线的判定与性质、角平分线的定义进行角度推导，通过作辅助线构造平行线是解题的核心思路，考查学生对平行线相关定理的掌握和应用能力，难度适中。
【难度系数】
0.5

14. 如图，$AE // DF$，含$30°$角的三角尺的直角顶点为$A$，$∠ C = 30°$，$BC$平分$∠ ABD$。
(1)若$∠ CAE = 20°$，求$∠ BDF$的度数。
(2)若$∠ BDF = 5∠ CAE$，求$∠ CAE$的度数。

(1)解:如图,过点B作BH//DF,所以∠BDF+∠DBH=180°。又因为AE//DF,所以AE//BH,所以∠HBA=∠BAG。因为∠CAE=20°,∠BAC=90°,所以∠BAG=180°−90°−20°=70°,所以∠HBA=70°。因为BC平分∠ABD,∠ABC=60°,所以∠ABD=2∠ABC=120°,所以∠DBH=120°−70°=50°,所以∠BDF=180°−50°=130°。
(2)解:设∠CAE=x,则∠BAG=90°−x,∠BDF=5x。由(1)知∠ABD=120°,∠HBA=∠BAG=90°−x,所以∠DBH=120°−(90°−x)=30°+x,所以∠BDF=180°−(30°+x)=150°−x=5x,解得x=25°,所以∠CAE=25°。

【分析】
要解决这道题，需通过作辅助线（过点B作BH//DF），结合平行线的性质（平行于同一直线的两直线平行、平行线的同旁内角互补、内错角相等），再利用直角三角形的内角和、角平分线的定义来转化角度。第(1)问先由已知∠CAE求出相关角，再逐步推导∠BDF；第(2)问设∠CAE为未知数，用未知数表示各角，列方程求解。
【解析】
(1) 过点B作BH//DF，
∵ AE//DF，
∴ AE//BH，
∴ ∠HBA = ∠BAG。
∵ ∠BAC=90°，∠CAE=20°，且∠BAG + ∠BAC + ∠CAE=180°（平角定义），
∴ ∠BAG=180° - 90° - 20°=70°，
∴ ∠HBA=70°。
在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，
∴ ∠ABC=180° - 90° - 30°=60°。
∵ BC平分∠ABD，
∴ ∠ABD=2∠ABC=2×60°=120°，
∴ ∠DBH=∠ABD - ∠HBA=120° - 70°=50°。
∵ BH//DF，
∴ ∠BDF + ∠DBH=180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠BDF=180° - 50°=130°。
(2) 设∠CAE=x，
由(1)知，∠BAG=90° - x，∠ABD=120°，
∴ ∠HBA=∠BAG=90° - x，
∴ ∠DBH=∠ABD - ∠HBA=120° - (90° - x)=30° + x。
∵ BH//DF，
∴ ∠BDF=180° - ∠DBH=180° - (30° + x)=150° - x。
又
∵ ∠BDF=5∠CAE=5x，
∴ 150° - x=5x，
解得x=25°，即∠CAE=25°。
【答案】
(1) 130°；(2) 25°
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和
【点评】
本题通过作辅助线构造平行关系，将分散的角集中转化，结合角平分线和三角形内角和定理求解，核心是利用平行线的性质实现角度的等量代换，难度适中，需要掌握辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.5