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8.(2025·金华市东阳市期末)如图,直线$a// b$,当$x,y$的值变化时,下列各式的数值不变的是 (
A.$x - y$
B.$x + y$
C.$2x - y$
D.$x + 2y$
A
)A.$x - y$
B.$x + y$
C.$2x - y$
D.$x + 2y$
答案
8.A 【解析】如图,分别过点B,C,D,E作直线a的平行线BM,CN,DO,EP。因为a//b,所以a//BM//CN//DO//EP//b,所以∠ABM=∠BAG=20°,∠CBM=∠BCN,所以∠ABC=∠ABM+∠CBM=20°+∠BCN=x。同理可得,y=25°+∠DEP,∠DEP+∠DCN=50°,∠DCN+∠CBM=60°,所以∠DEP=y−25°,∠DCN=50°−∠DEP,∠CBM=60°−∠DCN,所以∠CBM=60°−(50°−∠DEP)=60°−(50°−y+25°)=y−15°,所以20°+∠BCN=20°+y−15°=x,所以x−y=5°,所以当x,y的值变化时,x−y的数值不变。
解析
【分析】
要解决本题，需通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质（平行于同一直线的直线互相平行、内错角相等），将折线处的角转化为与直线$a,b$相关的角，进而建立$x$与$y$的关系，判断哪个式子的数值不变。
【解析】
如图，分别过点$B,C,D,E$作直线$a$的平行线$BM,CN,DO,EP$。
因为直线$a// b$，根据平行公理的推论，可得$a// BM// CN// DO// EP// b$。
根据“两直线平行，内错角相等”：
1. $∠ ABM = ∠ BAG = 20°$，且$∠ CBM = ∠ BCN$，因此$∠ ABC = ∠ ABM + ∠ CBM = 20° + ∠ BCN$，即$x = 20° + ∠ BCN$；
2. 同理，$∠ EFP = 25°$，故$∠ PEF = y - ∠ EFP = y - 25°$；
3. 中间角的关系：$∠ DCN + ∠ CDO = 50°$，而$∠ CDO = ∠ DEP = ∠ PEF = y - 25°$，因此$∠ DCN = 50° - (y - 25°) = 75° - y$；
4. 又$∠ BCN + ∠ BCD = 60°$，且$∠ BCD = ∠ DCN = 75° - y$，所以$∠ BCN = 60° - (75° - y) = y - 15°$；
将$∠ BCN = y - 15°$代入$x$的表达式：$x = 20° + (y - 15°) = y + 5°$，整理得$x - y = 5°$，该数值固定不变，与$x,y$的变化无关。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点问题，通过构造辅助线将分散的角转化为内错角，利用平行线性质建立角的关系，是解决此类问题的核心方法，需掌握辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质（平行于同一直线的直线互相平行、内错角相等），将折线处的角转化为与直线$a,b$相关的角，进而建立$x$与$y$的关系，判断哪个式子的数值不变。
【解析】
如图，分别过点$B,C,D,E$作直线$a$的平行线$BM,CN,DO,EP$。
因为直线$a// b$，根据平行公理的推论，可得$a// BM// CN// DO// EP// b$。
根据“两直线平行，内错角相等”：
1. $∠ ABM = ∠ BAG = 20°$，且$∠ CBM = ∠ BCN$，因此$∠ ABC = ∠ ABM + ∠ CBM = 20° + ∠ BCN$，即$x = 20° + ∠ BCN$；
2. 同理，$∠ EFP = 25°$，故$∠ PEF = y - ∠ EFP = y - 25°$；
3. 中间角的关系：$∠ DCN + ∠ CDO = 50°$，而$∠ CDO = ∠ DEP = ∠ PEF = y - 25°$，因此$∠ DCN = 50° - (y - 25°) = 75° - y$；
4. 又$∠ BCN + ∠ BCD = 60°$，且$∠ BCD = ∠ DCN = 75° - y$，所以$∠ BCN = 60° - (75° - y) = y - 15°$；
将$∠ BCN = y - 15°$代入$x$的表达式：$x = 20° + (y - 15°) = y + 5°$，整理得$x - y = 5°$，该数值固定不变，与$x,y$的变化无关。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，平行公理推论
【点评】
本题是平行线拐点问题，通过构造辅助线将分散的角转化为内错角，利用平行线性质建立角的关系，是解决此类问题的核心方法，需掌握辅助线的构造技巧。
【难度系数】
0.5
9.如图,直线$AB// CD$,点$E,M$分别在直线$AB,CD$上,点$N$在两平行线之间,联结$NE,NM$,过点$N$作$NG$平分$∠ ENM$交直线$CD$于点$G$,过点$N$作$NF⊥ NG$交直线$CD$于点$F$。若$∠ BEN=150°$,则$∠ NGD - ∠ MNF$的度数为（
A.$90°$
B.$105°$
C.$120°$
D.$150°$
C
）A.$90°$
B.$105°$
C.$120°$
D.$150°$
答案
9.C 【解析】如图,过点N作NH//AB,所以∠BEN+∠ENH=180°。因为AB//CD,所以NH//CD,所以∠HNF+∠NFG=180°,所以∠BEN+∠ENH+∠HNF+∠NFG=360°,所以∠BEN+∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG=360°。因为∠BEN=150°,所以∠ENG+∠GNM+∠MNF+∠NFG=210°。因为NG平分∠ENM,所以∠ENG=∠GNM,所以2∠GNM+∠MNF+∠NFG=210°。因为NF⊥NG,所以∠GNM+∠MNF=90°=∠GNF,所以∠GNM+90°+∠NFG=210°,所以∠GNM+∠NFG=120°。因为∠NGD+∠NGF=180°,∠GNM+∠MNF+∠NFG+∠NGF=180°,所以∠NGD=∠GNM+∠MNF+∠NFG,所以∠NGD−∠MNF=∠GNM+∠NFG=120°。
解析
【分析】
本题是平行线间的角度计算问题，解题核心是通过作辅助线（过点N作NH//AB），利用平行线的同旁内角互补性质转化分散的角度，结合角平分线的定义、垂直的性质推导所求∠NGD与∠MNF的关系，最终计算出结果。
【解析】
如图，过点N作NH//AB，
∵ AB//CD，
∴ NH//CD，
根据平行线同旁内角互补的性质：
∠BEN + ∠ENH = 180°，∠HNF + ∠NFG = 180°，
两式相加得：∠BEN + ∠ENH + ∠HNF + ∠NFG = 360°，
即∠BEN + ∠ENM + ∠NFG = 360°，
已知∠BEN=150°，代入得：∠ENM + ∠NFG = 360° - 150° = 210°，
∵ NG平分∠ENM，
∴ ∠ENG=∠GNM = ½∠ENM，即∠ENM=2∠GNM，
又
∵ NF⊥NG，
∴ ∠GNF=90°，即∠GNM + ∠MNF = 90°，
将∠ENM=2∠GNM代入∠ENM + ∠NFG=210°，得：
2∠GNM + ∠NFG = 210°，
将∠GNM = 90° - ∠MNF代入上式，整理得：∠GNM + ∠NFG = 120°，
又由平行线性质可得∠NGD = ∠GNM + ∠MNF + ∠NFG，
∴ ∠NGD - ∠MNF = ∠GNM + ∠NFG = 120°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质
【点评】
本题是平行线间拐点角度的典型问题，需通过作辅助线转化角度关系，综合运用平行线性质、角平分线及垂直的性质推导，考查学生几何角度转化的能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是平行线间的角度计算问题，解题核心是通过作辅助线（过点N作NH//AB），利用平行线的同旁内角互补性质转化分散的角度，结合角平分线的定义、垂直的性质推导所求∠NGD与∠MNF的关系，最终计算出结果。
【解析】
如图，过点N作NH//AB，
∵ AB//CD，
∴ NH//CD，
根据平行线同旁内角互补的性质：
∠BEN + ∠ENH = 180°，∠HNF + ∠NFG = 180°，
两式相加得：∠BEN + ∠ENH + ∠HNF + ∠NFG = 360°，
即∠BEN + ∠ENM + ∠NFG = 360°，
已知∠BEN=150°，代入得：∠ENM + ∠NFG = 360° - 150° = 210°，
∵ NG平分∠ENM，
∴ ∠ENG=∠GNM = ½∠ENM，即∠ENM=2∠GNM，
又
∵ NF⊥NG，
∴ ∠GNF=90°，即∠GNM + ∠MNF = 90°，
将∠ENM=2∠GNM代入∠ENM + ∠NFG=210°，得：
2∠GNM + ∠NFG = 210°，
将∠GNM = 90° - ∠MNF代入上式，整理得：∠GNM + ∠NFG = 120°，
又由平行线性质可得∠NGD = ∠GNM + ∠MNF + ∠NFG，
∴ ∠NGD - ∠MNF = ∠GNM + ∠NFG = 120°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质
【点评】
本题是平行线间拐点角度的典型问题，需通过作辅助线转化角度关系，综合运用平行线性质、角平分线及垂直的性质推导，考查学生几何角度转化的能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
10. (2024·杭州市钱塘区期末)如图,长方形ABCD的顶点A,C分别在直线a,b上,且$a// b,∠1=50°$,则$∠2$的度数为
50°
。答案
10.50° 【解析】如图,过点B作BF//a,所以∠3=∠1=50°。因为四边形ABCD是长方形,所以∠ABC=∠BCD=90°,所以∠4=40°。因为BF//a,a//b,所以BF//b,所以∠5=∠4=40°,所以∠2=180°−∠5−90°=50°。
解析
【分析】
本题需结合平行线的性质和长方形的性质求解。思路是过点B作辅助线平行于直线a，利用平行公理的推论得到辅助线与直线b平行，再通过平行线的内错角相等，结合长方形的直角特征，逐步推导∠2的度数。
【解析】
过点B作$BF// a$，
因为$a// b$，根据平行公理的推论，可得$BF// b$。
根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠3=∠1=50°$。
因为四边形ABCD是长方形，所以$∠ ABC=90°$，因此$∠4=∠ ABC-∠3=90°-50°=40°$。
又因为$BF// b$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠5=∠4=40°$。
在直线b上，$∠5+∠ BCD+∠2=180°$（平角的定义），且长方形中$∠ BCD=90°$，
所以$∠2=180°-∠ BCD-∠5=180°-90°-40°=50°$。
【答案】
50°
【知识点】
平行线的性质、长方形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度，结合长方形的直角特征和平角定义即可求解，重点考查辅助线的运用和基本几何性质的掌握。
【难度系数】
0.5
本题需结合平行线的性质和长方形的性质求解。思路是过点B作辅助线平行于直线a，利用平行公理的推论得到辅助线与直线b平行，再通过平行线的内错角相等，结合长方形的直角特征，逐步推导∠2的度数。
【解析】
过点B作$BF// a$，
因为$a// b$，根据平行公理的推论，可得$BF// b$。
根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠3=∠1=50°$。
因为四边形ABCD是长方形，所以$∠ ABC=90°$，因此$∠4=∠ ABC-∠3=90°-50°=40°$。
又因为$BF// b$，根据“两直线平行，内错角相等”，所以$∠5=∠4=40°$。
在直线b上，$∠5+∠ BCD+∠2=180°$（平角的定义），且长方形中$∠ BCD=90°$，
所以$∠2=180°-∠ BCD-∠5=180°-90°-40°=50°$。
【答案】
50°
【知识点】
平行线的性质、长方形的性质
【点评】
本题是几何角度计算的基础题型，通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度，结合长方形的直角特征和平角定义即可求解，重点考查辅助线的运用和基本几何性质的掌握。
【难度系数】
0.5
11. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成如图2的数学问题：已知$AB// CD$，$∠ EAB=70°$，$∠ ECD=100°$，则$∠ E=\_\_\_\_\_\_$。
答案
11.30° 【解析】如图,过点E作EF//AB。因为∠EAB=70°,EF//AB,所以∠AEF=180°−∠EAB=110°。因为AB//CD,EF//AB,所以CD//EF,所以∠CEF+∠ECD=180°。因为∠ECD=100°,所以∠CEF=180°−∠ECD=80°,所以∠AEC=∠AEF−∠CEF=110°−80°=30°。
解析
【分析】
要计算∠E的度数，可通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（同旁内角互补）来转化角度。已知AB//CD，过点E作EF//AB，根据平行公理推论可得EF//CD，再结合已知的∠EAB和∠ECD，分别求出∠AEF与∠CEF，两者的差即为∠E的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，如图所示。
∵ EF//AB，∠EAB=70°，
∴ ∠AEF + ∠EAB = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠AEF = 180° - 70° = 110°。
又
∵ AB//CD，EF//AB，
∴ CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠CEF + ∠ECD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠ECD=100°，
∴ ∠CEF = 180° - 100° = 80°。
∴ ∠E = ∠AEF - ∠CEF = 110° - 80° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题通过添加辅助线构造平行关系，将分散的角度集中起来，是平行线性质的典型应用，需掌握辅助线的添加思路。
【难度系数】
0.6
要计算∠E的度数，可通过作辅助线构造平行关系，利用平行线的性质（同旁内角互补）来转化角度。已知AB//CD，过点E作EF//AB，根据平行公理推论可得EF//CD，再结合已知的∠EAB和∠ECD，分别求出∠AEF与∠CEF，两者的差即为∠E的度数。
【解析】
过点E作EF//AB，如图所示。
∵ EF//AB，∠EAB=70°，
∴ ∠AEF + ∠EAB = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∴ ∠AEF = 180° - 70° = 110°。
又
∵ AB//CD，EF//AB，
∴ CD//EF（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ ∠CEF + ∠ECD = 180°（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠ECD=100°，
∴ ∠CEF = 180° - 100° = 80°。
∴ ∠E = ∠AEF - ∠CEF = 110° - 80° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
平行线的性质、平行公理推论
【点评】
本题通过添加辅助线构造平行关系，将分散的角度集中起来，是平行线性质的典型应用，需掌握辅助线的添加思路。
【难度系数】
0.6
12.图1是小明写字桌上的一款长臂折叠护眼台灯,支柱CD与桌面垂直,小明将台灯的灯管高度调节后如图2所示。已知此时灯管AE与桌面平行,∠EAB=140°,∠BCD=150°,则调节杆AB和BC的夹角∠ABC=
100°
。答案
12.100° 【解析】如图,过点B作BH//AE,过点C作CG//DN,所以∠EAB+∠ABH=180°,∠GCD=∠CDN。因为CD⊥DN,所以∠GCD=∠CDN=90°。因为∠EAB=140°,∠BCD=150°,所以∠BCG=60°,∠ABH=180°−140°=40°。因为AE//DN,BH//AE,CG//DN,所以BH//CG,所以∠HBC=∠BCG=60°,所以∠ABC=∠ABH+∠HBC=100°。
解析
【分析】
要计算∠ABC的度数，可通过添加辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化已知角度，进而求解。具体思路：过点B作BH//AE，过点C作CG//DN，结合AE与桌面DN平行，可得BH//CG；再根据平行线的同旁内角互补、内错角相等，分别求出∠ABH和∠HBC，两者相加即为∠ABC。
【解析】
解：如图，过点B作BH//AE，过点C作CG//DN。
∵ AE与桌面DN平行，即AE//DN，
∴ BH//AE，CG//DN，故BH//CG。
∵ BH//AE，
∴ ∠EAB + ∠ABH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠EAB=140°，则∠ABH = 180° - 140° = 40°。
∵ CD⊥DN，
∴ ∠CDN=90°。
又
∵ CG//DN，
∴ ∠GCD = ∠CDN=90°（两直线平行，内错角相等）。
已知∠BCD=150°，则∠BCG = ∠BCD - ∠GCD = 150° - 90° = 60°。
∵ BH//CG，
∴ ∠HBC = ∠BCG=60°（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = 40° + 60° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题属于平行线性质的典型应用，通过构造辅助线将分散的角度集中，利用平行线的性质转化角度是解题关键，需掌握拐点问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.5
要计算∠ABC的度数，可通过添加辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化已知角度，进而求解。具体思路：过点B作BH//AE，过点C作CG//DN，结合AE与桌面DN平行，可得BH//CG；再根据平行线的同旁内角互补、内错角相等，分别求出∠ABH和∠HBC，两者相加即为∠ABC。
【解析】
解：如图，过点B作BH//AE，过点C作CG//DN。
∵ AE与桌面DN平行，即AE//DN，
∴ BH//AE，CG//DN，故BH//CG。
∵ BH//AE，
∴ ∠EAB + ∠ABH = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
已知∠EAB=140°，则∠ABH = 180° - 140° = 40°。
∵ CD⊥DN，
∴ ∠CDN=90°。
又
∵ CG//DN，
∴ ∠GCD = ∠CDN=90°（两直线平行，内错角相等）。
已知∠BCD=150°，则∠BCG = ∠BCD - ∠GCD = 150° - 90° = 60°。
∵ BH//CG，
∴ ∠HBC = ∠BCG=60°（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABC = ∠ABH + ∠HBC = 40° + 60° = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题属于平行线性质的典型应用，通过构造辅助线将分散的角度集中，利用平行线的性质转化角度是解题关键，需掌握拐点问题的辅助线构造方法。
【难度系数】
0.5
