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15.如图,由两个全等菱形(菱形ABCD与菱形EFGH)组成的“四叶草”图案,其重叠部分是正八边形(阴影部分),点A,C在EG上,点F,H在BD上,若$CE=1$,则BD的长为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
$2+\sqrt{2}$
解析
【分析】首先，重叠部分是正八边形，根据正多边形内角和公式可求出其内角为135°，结合菱形的性质（四条边相等、对角线平分内角），可知两个全等菱形的内角分别为135°和45°。已知CE=1，需利用正八边形的边长相等及菱形边长与对角线的关系，推导BD的长度。
【解析】1. 计算正八边形的内角：正八边形每个内角为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$；
2. 结合菱形性质：菱形ABCD与EFGH全等，故菱形ABCD中∠BCD=135°，其邻角∠ABC=45°；
3. 分析线段关系：由图形对称性及正八边形边长相等，结合等腰直角三角形的性质，可得菱形的边长为$1+\sqrt{2}$；
4. 计算BD的长度：菱形中，对应135°内角的对角线BD，长度为边长×$\sqrt{2}$，代入边长$1+\sqrt{2}$，得$BD=(1+\sqrt{2})×\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$。
【答案】$2+\sqrt{2}$
【知识点】菱形的性质、正多边形内角、菱形对角线计算
【点评】本题将菱形与正八边形结合，关键在于利用正多边形内角和菱形内角的关系，理清线段间的等量关系，考查几何图形性质的综合应用。
【难度系数】0.4
【解析】1. 计算正八边形的内角：正八边形每个内角为$\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$；
2. 结合菱形性质：菱形ABCD与EFGH全等，故菱形ABCD中∠BCD=135°，其邻角∠ABC=45°；
3. 分析线段关系：由图形对称性及正八边形边长相等，结合等腰直角三角形的性质，可得菱形的边长为$1+\sqrt{2}$；
4. 计算BD的长度：菱形中，对应135°内角的对角线BD，长度为边长×$\sqrt{2}$，代入边长$1+\sqrt{2}$，得$BD=(1+\sqrt{2})×\sqrt{2}=2+\sqrt{2}$。
【答案】$2+\sqrt{2}$
【知识点】菱形的性质、正多边形内角、菱形对角线计算
【点评】本题将菱形与正八边形结合，关键在于利用正多边形内角和菱形内角的关系，理清线段间的等量关系，考查几何图形性质的综合应用。
【难度系数】0.4
16.如图,在矩形ABCD中,BC=9,点E,F分别在边AD,AB上,DE=2,把△AEF沿EF折叠,点A恰好落在边BC上的点G处,连结EG,FG,延长FE交CD的延长线于点H,若DH=BF,则BF的长为________。
答案
$\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$
解析:如图,延长HF交CB的延长线于点M,过点E作EK⊥BC于点K,则∠EKB=∠EKC=90°,因为四边形ABCD是矩形,所以∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°,AB//CD,AD//BC,AD=BC=9,所以∠HDE=∠FBM=90°,∠H=∠BFM。因为DH=BF,所以△DEH≌△BMF(ASA),所以DE=BM=2,所以CM=BC+BM=9+2=11。因为AD=9,DE=2,所以AE=7。因为AD//BC,所以∠AEM=∠M。由折叠得EG=AE=7,∠AEM=∠GEM,AF=GF,所以∠M=∠GEM,所以EG=MG=7,所以BG=MG-BM=7-2=5。因为∠ABC=∠A=∠EKB=90°,所以四边形ABKE是矩形,所以AB=EK,BK=AE=7,所以KG=BK-BG=7-5=2,所以EK=√(GE²-KG²)=√(7²-2²)=3√5,所以AB=3√5。设BF=x,则AF=3√5 -x=GF,因为BF²+BG²=GF²,所以x²+5²=(3√5 -x)²,解得x=2/3√5。所以BF=2/3√5。
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形性质、折叠性质，通过构造辅助线转化线段关系：首先延长HF交CB的延长线于点M，过E作EK⊥BC于K，利用矩形对边平行得到角相等，结合DH=BF证明△DEH≌△BMF，得到DE=BM；再根据折叠性质得EG=AE，结合平行线内错角相等推出EG=MG，进而算出BG的长度；接着利用矩形ABKE的性质得到AB=EK，在Rt△EGK中用勾股定理算出AB的长；最后设BF为未知数，在Rt△BFG中由勾股定理列方程求解。
【解析】
如图，延长HF交CB的延长线于点M，过点E作EK⊥BC于点K，则∠EKB=∠EKC=90°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，AB//CD，AD//BC，AD=BC=9，
∴∠HDE=∠FBM=90°，∠H=∠BFM。
又
∵DH=BF，
∴△DEH≌△BMF（ASA），
∴DE=BM=2，
∴CM=BC+BM=9+2=11。
∵AD=9，DE=2，
∴AE=AD-DE=7。
∵AD//BC，
∴∠AEM=∠M。
由折叠性质得：EG=AE=7，∠AEM=∠GEM，AF=GF，
∴∠M=∠GEM，
∴EG=MG=7，
∴BG=MG-BM=7-2=5。
∵∠ABC=∠A=∠EKB=90°，
∴四边形ABKE是矩形，
∴AB=EK，BK=AE=7，
∴KG=BK-BG=2。
在Rt△EGK中，由勾股定理得：
EK=√(GE²-KG²)=√(7²-2²)=3√5，
∴AB=3√5。
设BF=x，则GF=AF=3√5 -x，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
x² +5²=(3√5 -x)²，
解得x=2√5/3，即BF=2√5/3。
【答案】
$\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形与折叠结合的综合题，需构造辅助线转化线段关系，综合运用全等三角形、勾股定理等知识，关键是利用折叠性质推导等腰三角形，建立方程求解，对几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需结合矩形性质、折叠性质，通过构造辅助线转化线段关系：首先延长HF交CB的延长线于点M，过E作EK⊥BC于K，利用矩形对边平行得到角相等，结合DH=BF证明△DEH≌△BMF，得到DE=BM；再根据折叠性质得EG=AE，结合平行线内错角相等推出EG=MG，进而算出BG的长度；接着利用矩形ABKE的性质得到AB=EK，在Rt△EGK中用勾股定理算出AB的长；最后设BF为未知数，在Rt△BFG中由勾股定理列方程求解。
【解析】
如图，延长HF交CB的延长线于点M，过点E作EK⊥BC于点K，则∠EKB=∠EKC=90°。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°，AB//CD，AD//BC，AD=BC=9，
∴∠HDE=∠FBM=90°，∠H=∠BFM。
又
∵DH=BF，
∴△DEH≌△BMF（ASA），
∴DE=BM=2，
∴CM=BC+BM=9+2=11。
∵AD=9，DE=2，
∴AE=AD-DE=7。
∵AD//BC，
∴∠AEM=∠M。
由折叠性质得：EG=AE=7，∠AEM=∠GEM，AF=GF，
∴∠M=∠GEM，
∴EG=MG=7，
∴BG=MG-BM=7-2=5。
∵∠ABC=∠A=∠EKB=90°，
∴四边形ABKE是矩形，
∴AB=EK，BK=AE=7，
∴KG=BK-BG=2。
在Rt△EGK中，由勾股定理得：
EK=√(GE²-KG²)=√(7²-2²)=3√5，
∴AB=3√5。
设BF=x，则GF=AF=3√5 -x，
在Rt△BFG中，由勾股定理得：
x² +5²=(3√5 -x)²，
解得x=2√5/3，即BF=2√5/3。
【答案】
$\dfrac{2}{3}\sqrt{5}$
【知识点】
矩形性质、折叠性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形与折叠结合的综合题，需构造辅助线转化线段关系，综合运用全等三角形、勾股定理等知识，关键是利用折叠性质推导等腰三角形，建立方程求解，对几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.4
三、解答题(本题有8小题,共72分)
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{3}×\sqrt{6}$。
(2)$(\sqrt{5}-2)^2+\frac{5}{\sqrt{5}}$。
17.(8分)计算:
(1)$\sqrt{8}+\sqrt{3}×\sqrt{6}$。
(2)$(\sqrt{5}-2)^2+\frac{5}{\sqrt{5}}$。
答案
(1)原式=$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=5\sqrt{2}$。
(2)原式=$5-4\sqrt{5}+4+\sqrt{5}=9-3\sqrt{5}$。
(2)原式=$5-4\sqrt{5}+4+\sqrt{5}=9-3\sqrt{5}$。
解析
【分析】
第(1)小题：先将√8化为最简二次根式，再依据二次根式乘法法则计算√3×√6，最后合并同类二次根式；第(2)小题：先利用完全平方公式展开(√5 - 2)²，再对5/√5进行分母有理化，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式 = √8 + √3×√6
= 2√2 + √(3×6)
= 2√2 + √18
= 2√2 + 3√2
= 5√2
(2) 原式 = (√5 - 2)² + 5/√5
= (√5)² - 2×√5×2 + 2² + (5×√5)/(√5×√5)
= 5 - 4√5 + 4 + √5
= 9 - 3√5
【答案】
(1) 5√2；(2) 9 - 3√5
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简、完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，涉及二次根式化简、乘法法则、完全平方公式及合并同类二次根式，属于常规基础题型，侧重运算基本功的考查，难度适中。
【难度系数】
0.7
第(1)小题：先将√8化为最简二次根式，再依据二次根式乘法法则计算√3×√6，最后合并同类二次根式；第(2)小题：先利用完全平方公式展开(√5 - 2)²，再对5/√5进行分母有理化，最后合并同类项即可。
【解析】
(1) 原式 = √8 + √3×√6
= 2√2 + √(3×6)
= 2√2 + √18
= 2√2 + 3√2
= 5√2
(2) 原式 = (√5 - 2)² + 5/√5
= (√5)² - 2×√5×2 + 2² + (5×√5)/(√5×√5)
= 5 - 4√5 + 4 + √5
= 9 - 3√5
【答案】
(1) 5√2；(2) 9 - 3√5
【知识点】
二次根式的混合运算、二次根式的化简、完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的基础运算，涉及二次根式化简、乘法法则、完全平方公式及合并同类二次根式，属于常规基础题型，侧重运算基本功的考查，难度适中。
【难度系数】
0.7
18.(8分)解方程：
(1)$x^2 - 3x = 0$。
(2)$2x^2 - 3x = 4$。
(1)$x^2 - 3x = 0$。
(2)$2x^2 - 3x = 4$。
答案
(1)$x^2-3x=0$,所以$x(x-3)=0$,所以$x=0$或$x-3=0$,所以$x_1=0,x_2=3$。
(2)移项,得$2x^2-3x-4=0$。所以$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$。
(2)移项,得$2x^2-3x-4=0$。所以$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$。
解析
【分析】
对于一元二次方程的求解，需根据方程形式选择合适方法。第(1)题方程左边含公因式，适合用因式分解法，转化为两个一次因式乘积为0的形式，利用“乘积为0则至少一个因式为0”转化为一元一次方程求解；第(2)题先整理为一般式，确定$a、b、c$后计算判别式，再代入求根公式计算根。
【解析】
(1) 对$x^2 - 3x = 0$提取公因式：
$x(x - 3) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
(2) 移项将$2x^2 - 3x = 4$整理为一般式：
$2x^2 - 3x - 4 = 0$
其中$a=2$，$b=-3$，$c=-4$，计算判别式：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$
代入求根公式$x = \frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{3±\sqrt{41}}{4}$
因此，$x_1 = \frac{3+\sqrt{41}}{4}$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=3$；(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，涉及因式分解法和公式法，属于常规基础题型，需掌握两种解法的操作步骤，确保计算准确。
【难度系数】
0.7
对于一元二次方程的求解，需根据方程形式选择合适方法。第(1)题方程左边含公因式，适合用因式分解法，转化为两个一次因式乘积为0的形式，利用“乘积为0则至少一个因式为0”转化为一元一次方程求解；第(2)题先整理为一般式，确定$a、b、c$后计算判别式，再代入求根公式计算根。
【解析】
(1) 对$x^2 - 3x = 0$提取公因式：
$x(x - 3) = 0$
根据因式乘积为0的性质，得：
$x = 0$ 或 $x - 3 = 0$
解得：$x_1 = 0$，$x_2 = 3$。
(2) 移项将$2x^2 - 3x = 4$整理为一般式：
$2x^2 - 3x - 4 = 0$
其中$a=2$，$b=-3$，$c=-4$，计算判别式：
$\Delta = (-3)^2 - 4×2×(-4) = 9 + 32 = 41 ＞ 0$
代入求根公式$x = \frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$，得：
$x = \frac{3±\sqrt{41}}{4}$
因此，$x_1 = \frac{3+\sqrt{41}}{4}$，$x_2 = \frac{3-\sqrt{41}}{4}$。
【答案】
(1)$x_1=0,x_2=3$；(2)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
一元二次方程的解法、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础解法，涉及因式分解法和公式法，属于常规基础题型，需掌握两种解法的操作步骤，确保计算准确。
【难度系数】
0.7
19.(8分)如图,在5×5的正方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,只用无刻度的直尺,在给定的网格中按条件画图,要求所画图形的顶点均在格点上。
(1)在图1中以线段AB为边画一个面积为12的平行四边形ABCD。
(2)在图2中以线段AB为边画一个面积为8的菱形ABEF。
(1)在图1中以线段AB为边画一个面积为12的平行四边形ABCD。
(2)在图2中以线段AB为边画一个面积为8的菱形ABEF。
答案
(1)如图1,四边形ABCD为所求作的四边形。
(2)如图2,四边形ABEF为所求作的四边形。
解析
【分析】
第(1)题：要画以AB为边、面积12的平行四边形，平行四边形面积公式为“底×高”。观察网格中线段AB，纵向占3格，若邻边为水平方向，则高为3格，因此邻边的水平长度需为12÷3=4格，据此可确定平行四边形的另外两个顶点。
第(2)题：要画以AB为边、面积8的菱形，菱形需满足四边相等，因此邻边长度要等于AB的长度；同时结合面积要求，利用网格格点的坐标差确定邻边，使面积符合8的条件，进而找到菱形的另外两个顶点。
【解析】
(1) ①在图1中，确定A、B的格点位置，AB对应的垂直高度为3格；②根据平行四边形面积计算，邻边水平长度为12÷3=4格；③从点A向右数4格得格点D，从点B向右数4格得格点C；④依次连接BC、CD，四边形ABCD即为所求，其面积为4×3=12，满足要求。
(2) ①在图2中，AB的长度为√(1²+3²)=√10，菱形邻边需等于AB长度；②根据面积要求，邻边的横向差为3、纵向差为-1，从A点向右3格、向下1格得格点F，从B点向右3格、向下1格得格点E；③依次连接AF、FE、EB，四边形ABEF即为所求，其四边均为√10，面积为8，满足要求。
【答案】
(1) 如图1，四边形ABCD为所求作的四边形。
(2) 如图2，四边形ABEF为所求作的四边形。
【知识点】
网格作图、平行四边形、菱形性质
【点评】
本题考查网格中利用无刻度直尺作图，需结合平行四边形和菱形的面积公式、边长性质，通过网格格点的坐标差确定顶点，是基础的几何作图题，能锻炼学生对图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.4
第(1)题：要画以AB为边、面积12的平行四边形，平行四边形面积公式为“底×高”。观察网格中线段AB，纵向占3格，若邻边为水平方向，则高为3格，因此邻边的水平长度需为12÷3=4格，据此可确定平行四边形的另外两个顶点。
第(2)题：要画以AB为边、面积8的菱形，菱形需满足四边相等，因此邻边长度要等于AB的长度；同时结合面积要求，利用网格格点的坐标差确定邻边，使面积符合8的条件，进而找到菱形的另外两个顶点。
【解析】
(1) ①在图1中，确定A、B的格点位置，AB对应的垂直高度为3格；②根据平行四边形面积计算，邻边水平长度为12÷3=4格；③从点A向右数4格得格点D，从点B向右数4格得格点C；④依次连接BC、CD，四边形ABCD即为所求，其面积为4×3=12，满足要求。
(2) ①在图2中，AB的长度为√(1²+3²)=√10，菱形邻边需等于AB长度；②根据面积要求，邻边的横向差为3、纵向差为-1，从A点向右3格、向下1格得格点F，从B点向右3格、向下1格得格点E；③依次连接AF、FE、EB，四边形ABEF即为所求，其四边均为√10，面积为8，满足要求。
【答案】
(1) 如图1，四边形ABCD为所求作的四边形。
(2) 如图2，四边形ABEF为所求作的四边形。
【知识点】
网格作图、平行四边形、菱形性质
【点评】
本题考查网格中利用无刻度直尺作图，需结合平行四边形和菱形的面积公式、边长性质，通过网格格点的坐标差确定顶点，是基础的几何作图题，能锻炼学生对图形性质的应用能力。
【难度系数】
0.4
