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7. 如图,已知$□ ABCD$,从下列四个条件中选两个作为补充条件,使$□ ABCD$成为正方形。①$∠ ABC=90°$;②$AC⊥ BD$;③$AB=BC$;④$AC=BD$。则下列四种选法错误的是（
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
C
）A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
答案
C
解析
【分析】要判断平行四边形ABCD添加两个条件后能否成为正方形，需明确正方形的判定逻辑：平行四边形需同时满足矩形（有一个直角或对角线相等）和菱形（邻边相等或对角线垂直）的条件才能成为正方形。我们逐一分析每个选项的两个条件组合，验证是否能推出正方形，进而找出错误选法。
【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，结合各条件分析：
1. 选项A：①∠ABC=90°，平行四边形有一个内角为直角，则ABCD是矩形；②AC⊥BD，平行四边形对角线互相垂直，则ABCD是菱形；矩形与菱形的平行四边形是正方形，故A正确。
2. 选项B：①∠ABC=90°，推出ABCD是矩形；③AB=BC，平行四边形邻边相等，推出ABCD是菱形；矩形+菱形的平行四边形是正方形，故B正确。
3. 选项C：②AC⊥BD，推出ABCD是菱形；③AB=BC，平行四边形邻边相等，仍推出ABCD是菱形，仅为菱形，无法得到正方形，故C错误。
4. 选项D：③AB=BC，推出ABCD是菱形；④AC=BD，平行四边形对角线相等，推出ABCD是矩形；菱形+矩形的平行四边形是正方形，故D正确。
综上，错误的选法是C。
【答案】C
【知识点】正方形的判定、平行四边形的性质、菱形与矩形的判定
【点评】本题考查正方形的判定，核心是理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系，需熟练掌握各类图形的判定定理，逐一分析条件组合即可解题，属于中等难度题。
【难度系数】0.5
【解析】已知四边形ABCD是平行四边形，结合各条件分析：
1. 选项A：①∠ABC=90°，平行四边形有一个内角为直角，则ABCD是矩形；②AC⊥BD，平行四边形对角线互相垂直，则ABCD是菱形；矩形与菱形的平行四边形是正方形，故A正确。
2. 选项B：①∠ABC=90°，推出ABCD是矩形；③AB=BC，平行四边形邻边相等，推出ABCD是菱形；矩形+菱形的平行四边形是正方形，故B正确。
3. 选项C：②AC⊥BD，推出ABCD是菱形；③AB=BC，平行四边形邻边相等，仍推出ABCD是菱形，仅为菱形，无法得到正方形，故C错误。
4. 选项D：③AB=BC，推出ABCD是菱形；④AC=BD，平行四边形对角线相等，推出ABCD是矩形；菱形+矩形的平行四边形是正方形，故D正确。
综上，错误的选法是C。
【答案】C
【知识点】正方形的判定、平行四边形的性质、菱形与矩形的判定
【点评】本题考查正方形的判定，核心是理清平行四边形、矩形、菱形、正方形的从属关系，需熟练掌握各类图形的判定定理，逐一分析条件组合即可解题，属于中等难度题。
【难度系数】0.5
8. 在如图所示的正方形网格中,四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形$A'B'C'D'$(所有顶点都是网格线交点),在网格线交点M,N,P,Q中,可能是旋转中心的是（
A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
A
）A.点 M
B.点 N
C.点 P
D.点 Q
答案
A
解析
【分析】要确定旋转中心，需依据旋转的性质：旋转中心到任意一组对应点的距离相等，因此旋转中心是两组对应点所连线段的垂直平分线的交点。解题时，先找出四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的对应点，再分别连接两组对应点，作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，最后结合网格中的点判断即可。
【解析】设每个小正方形网格的边长为1，取对应点A与A'、B与B'：
1. 验证点M到对应点A、A'的距离：设A坐标为(2,5)，A'坐标为(3,2)，则$MA=\sqrt{(4-2)^2+(4-5)^2}=\sqrt{5}$，$MA'=\sqrt{(4-3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{5}$，即$MA=MA'$；
2. 验证点M到对应点B、B'的距离：设B坐标为(3,5)，B'坐标为(3,3)，则$MB=\sqrt{(4-3)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$，$MB'=\sqrt{(4-3)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}$，即$MB=MB'$；
因此点M是AA'和BB'的垂直平分线的交点，即为旋转中心。
【答案】A
【知识点】旋转的性质、垂直平分线
【点评】本题考查旋转中心的确定，核心是利用旋转中心到对应点距离相等的性质，通过作对应点连线的垂直平分线找到旋转中心，属于基础题型，需熟练掌握旋转的基本性质。
【难度系数】0.6
【解析】设每个小正方形网格的边长为1，取对应点A与A'、B与B'：
1. 验证点M到对应点A、A'的距离：设A坐标为(2,5)，A'坐标为(3,2)，则$MA=\sqrt{(4-2)^2+(4-5)^2}=\sqrt{5}$，$MA'=\sqrt{(4-3)^2+(4-2)^2}=\sqrt{5}$，即$MA=MA'$；
2. 验证点M到对应点B、B'的距离：设B坐标为(3,5)，B'坐标为(3,3)，则$MB=\sqrt{(4-3)^2+(4-5)^2}=\sqrt{2}$，$MB'=\sqrt{(4-3)^2+(4-3)^2}=\sqrt{2}$，即$MB=MB'$；
因此点M是AA'和BB'的垂直平分线的交点，即为旋转中心。
【答案】A
【知识点】旋转的性质、垂直平分线
【点评】本题考查旋转中心的确定，核心是利用旋转中心到对应点距离相等的性质，通过作对应点连线的垂直平分线找到旋转中心，属于基础题型，需熟练掌握旋转的基本性质。
【难度系数】0.6
9.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看。”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘。若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为$ x $，根据“两天不练丢一半”，可得方程 （
A.$(1+x)^2=1$
B.$(1+x)^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(1-x)^2=1$
D.$(1-x)^2=\dfrac{1}{2}$
D
）A.$(1+x)^2=1$
B.$(1+x)^2=\dfrac{1}{2}$
C.$(1-x)^2=1$
D.$(1-x)^2=\dfrac{1}{2}$
答案
D
解析
【分析】要解决该问题，需先明确“每天遗忘百分比为$ x $”的含义：每天结束后，剩余的知识和技艺量是初始量的$ (1 - x) $；“两天不练丢一半”即两天后剩余量为初始量的$\frac{1}{2}$，据此推导两天后剩余量的表达式，建立等式即可。
【解析】设每天遗忘的百分比为$ x $：
1. 经过1天后，剩余量为初始量的$ 1 - x $；
2. 经过2天后，剩余量为第一天剩余量的$ (1 - x) $倍，即$ (1 - x) × (1 - x) = (1 - x)^2 $；
根据“两天不练丢一半”，可知两天后剩余量为初始量的$\frac{1}{2}$，因此可列方程：$ (1 - x)^2 = \frac{1}{2} $，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用、减少率问题
【点评】本题结合生活俗语考查一元二次方程的实际应用，核心是理解“遗忘”对应的剩余量变化，属于基础应用题，准确分析数量关系即可解答。
【难度系数】0.8
【解析】设每天遗忘的百分比为$ x $：
1. 经过1天后，剩余量为初始量的$ 1 - x $；
2. 经过2天后，剩余量为第一天剩余量的$ (1 - x) $倍，即$ (1 - x) × (1 - x) = (1 - x)^2 $；
根据“两天不练丢一半”，可知两天后剩余量为初始量的$\frac{1}{2}$，因此可列方程：$ (1 - x)^2 = \frac{1}{2} $，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一元二次方程的应用、减少率问题
【点评】本题结合生活俗语考查一元二次方程的实际应用，核心是理解“遗忘”对应的剩余量变化，属于基础应用题，准确分析数量关系即可解答。
【难度系数】0.8
10.将四块直角三角形按图示方式围成$□ ABCD$，其中$△ ABF ≌ △ CDH$，$∠ ABF=45°$，其内部四个顶点构成正方形$EFGH$，若要求出$□ ABCD$的面积，则只需知道 （
A.$AB$的长
B.$BC$的长
C.$AE$的长
D.$ED$的长
A
）A.$AB$的长
B.$BC$的长
C.$AE$的长
D.$ED$的长
答案
A
解析:因为四边形EFGH是正方形,所以EF=FG=HG=EH,∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°,所以∠AED=∠AFB=∠CHD=∠BGC=90°。因为∠ABF=45°,所以∠BAF=90°-∠ABF=45°,所以AF=BF。因为△ABF≌△CDH,所以AF=BF=CH=DH。设EF=FG=HG=EH=x,AF=BF=CH=DH=y,所以AB²=BF²+AF²=2AF²,所以BG=DE=y+x,AE=CG=y-x,所以S_ABCD=2×1/2 y²+2×1/2(y+x)(y-x)+x²=2y²=2×1/2 AB²=AB²,所以若要求出□ABCD的面积,则只需知道AB的长。
解析:因为四边形EFGH是正方形,所以EF=FG=HG=EH,∠AFG=∠FEH=∠EHG=∠FGH=90°,所以∠AED=∠AFB=∠CHD=∠BGC=90°。因为∠ABF=45°,所以∠BAF=90°-∠ABF=45°,所以AF=BF。因为△ABF≌△CDH,所以AF=BF=CH=DH。设EF=FG=HG=EH=x,AF=BF=CH=DH=y,所以AB²=BF²+AF²=2AF²,所以BG=DE=y+x,AE=CG=y-x,所以S_ABCD=2×1/2 y²+2×1/2(y+x)(y-x)+x²=2y²=2×1/2 AB²=AB²,所以若要求出□ABCD的面积,则只需知道AB的长。
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合正方形的性质、全等三角形的性质及等腰直角三角形的特点，推导正方形ABCD的面积与各线段的关系。首先，由内部EFGH是正方形，可知其四边相等且内角为直角；再结合△ABF≌△CDH和∠ABF=45°，推出△ABF是等腰直角三角形，进而找到各线段的等量关系，最终推导ABCD的面积表达式，判断所需线段长度。
【解析】
1. 因为四边形EFGH是正方形，所以EF=FG=HG=EH，且∠AFB=∠CHD=90°（正方形内角为直角）。
2. 在Rt△ABF中，∠ABF=45°，则∠BAF=90°-45°=45°，故△ABF是等腰直角三角形，得AF=BF。
3. 设正方形EFGH的边长为x，AF=BF=y，在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB^2 = BF^2 + AF^2 = y^2 + y^2 = 2y^2$。
4. 正方形ABCD的面积可分解为：两个等腰直角三角形（△ABF、△CDH）的面积和 + 另外两个直角三角形（△ADE、△BCG）的面积和 + 中间正方形EFGH的面积。
两个等腰直角三角形面积和：$2×\frac{1}{2}y^2 = y^2$；
另外两个直角三角形面积和：$2×\frac{1}{2}(y+x)(y-x) = y^2 - x^2$；
中间正方形EFGH面积：$x^2$；
5. 因此$S_{ABCD}=y^2 + (y^2 - x^2) + x^2 = 2y^2$，结合$AB^2=2y^2$，得$S_{ABCD}=AB^2$，即只需知道AB的长即可求出正方形ABCD的面积。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、全等三角形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题通过分解正方形面积为多个基础图形的面积和，结合几何图形的性质推导面积表达式，关键在于找到ABCD面积与AB长度的直接关联，考查学生对几何性质的综合运用能力，需理清各线段间的等量关系。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合正方形的性质、全等三角形的性质及等腰直角三角形的特点，推导正方形ABCD的面积与各线段的关系。首先，由内部EFGH是正方形，可知其四边相等且内角为直角；再结合△ABF≌△CDH和∠ABF=45°，推出△ABF是等腰直角三角形，进而找到各线段的等量关系，最终推导ABCD的面积表达式，判断所需线段长度。
【解析】
1. 因为四边形EFGH是正方形，所以EF=FG=HG=EH，且∠AFB=∠CHD=90°（正方形内角为直角）。
2. 在Rt△ABF中，∠ABF=45°，则∠BAF=90°-45°=45°，故△ABF是等腰直角三角形，得AF=BF。
3. 设正方形EFGH的边长为x，AF=BF=y，在Rt△ABF中，由勾股定理得：$AB^2 = BF^2 + AF^2 = y^2 + y^2 = 2y^2$。
4. 正方形ABCD的面积可分解为：两个等腰直角三角形（△ABF、△CDH）的面积和 + 另外两个直角三角形（△ADE、△BCG）的面积和 + 中间正方形EFGH的面积。
两个等腰直角三角形面积和：$2×\frac{1}{2}y^2 = y^2$；
另外两个直角三角形面积和：$2×\frac{1}{2}(y+x)(y-x) = y^2 - x^2$；
中间正方形EFGH面积：$x^2$；
5. 因此$S_{ABCD}=y^2 + (y^2 - x^2) + x^2 = 2y^2$，结合$AB^2=2y^2$，得$S_{ABCD}=AB^2$，即只需知道AB的长即可求出正方形ABCD的面积。
【答案】
A
【知识点】
正方形性质、全等三角形性质、等腰直角三角形
【点评】
本题通过分解正方形面积为多个基础图形的面积和，结合几何图形的性质推导面积表达式，关键在于找到ABCD面积与AB长度的直接关联，考查学生对几何性质的综合运用能力，需理清各线段间的等量关系。
【难度系数】
0.5
11.二次根式$\sqrt{x-2}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围为________。
答案
x≥2
解析
【分析】要确定二次根式中x的取值范围，需依据二次根式在实数范围内有意义的核心条件：被开方数必须为非负数，据此列出关于x的不等式，解不等式即可得到结果。
【解析】根据二次根式的定义，二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a≥0$。对于$\sqrt{x-2}$，其被开方数为$x-2$，因此需满足：$x - 2 ≥ 0$，解这个不等式，两边同时加2得：$x ≥ 2$。
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】本题考查二次根式有意义的基础知识点，属于代数入门类题目，难度较低，主要考查学生对二次根式基本概念的掌握情况。
【难度系数】0.9
【解析】根据二次根式的定义，二次根式$\sqrt{a}$在实数范围内有意义的条件是被开方数$a≥0$。对于$\sqrt{x-2}$，其被开方数为$x-2$，因此需满足：$x - 2 ≥ 0$，解这个不等式，两边同时加2得：$x ≥ 2$。
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件；一元一次不等式的解法
【点评】本题考查二次根式有意义的基础知识点，属于代数入门类题目，难度较低，主要考查学生对二次根式基本概念的掌握情况。
【难度系数】0.9
12.已知$x^2 - 6x + 10 = (x - 3)^2 + m$，则$m$的值为________。
答案
1
解析
【分析】要计算m的值，需先将等式右边的完全平方展开，再根据等式两边对应项相等的原则求解。具体思路是：先展开$(x-3)^2$，再代入原式对比左右两边的常数项，即可求出m。
【解析】先展开等式右边的完全平方：$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$，将其代入原式得：$x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + m$。等式两边的$x^2$和$-6x$项已对应相等，因此常数项满足$10 = 9 + m$，解得$m = 1$。
【答案】1
【知识点】完全平方公式、代数式恒等变形
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，考察学生对配方法的基本理解，解题思路直接，属于代数运算中的基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】先展开等式右边的完全平方：$(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$，将其代入原式得：$x^2 - 6x + 10 = x^2 - 6x + 9 + m$。等式两边的$x^2$和$-6x$项已对应相等，因此常数项满足$10 = 9 + m$，解得$m = 1$。
【答案】1
【知识点】完全平方公式、代数式恒等变形
【点评】本题是完全平方公式的基础应用，考察学生对配方法的基本理解，解题思路直接，属于代数运算中的基础题型。
【难度系数】0.8
13.某餐饮连锁品牌有三家门店，7月份这三家门店的日均就餐人数分别为$x$人、$y$人和$z$人，日人均消费金额分别为45元、50元与55元。这三家门店所有顾客的日人均消费金额为$\underline{\hspace{5em}}$元。
答案
$\dfrac{45x+50y+55z}{x+y+z}$
解析
【分析】
要计算三家门店所有顾客的日人均消费金额，需明确核心关系：日人均消费金额 = 三家门店的日总消费金额 ÷ 三家门店的总日均就餐人数。先分别算出每家门店的日总消费，求和得到总消费；再计算三家门店的总日均就餐人数；最后用总消费除以总人数，即可得到所求结果。
【解析】
解：
1. 计算三家门店的日总消费金额：
第一家门店日总消费为 $45x$ 元，第二家为 $50y$ 元，第三家为 $55z$ 元，因此三家总日消费为 $45x + 50y + 55z$ 元。
2. 计算三家门店的总日均就餐人数：
总人数为三家门店日均人数之和，即 $x + y + z$ 人。
3. 计算日人均消费金额：
根据公式，日人均消费金额为总消费除以总人数，即 $\dfrac{45x + 50y + 55z}{x + y + z}$ 元。
【答案】
$\dfrac{45x+50y+55z}{x+y+z}$
【知识点】
加权平均数、代数式
【点评】
本题结合实际场景考查加权平均数的应用，核心是理解“人均消费=总消费÷总人数”的逻辑，避免直接求三个人均的算术平均，属于代数在实际问题中的基础应用，难度较低。
【难度系数】
0.3
要计算三家门店所有顾客的日人均消费金额，需明确核心关系：日人均消费金额 = 三家门店的日总消费金额 ÷ 三家门店的总日均就餐人数。先分别算出每家门店的日总消费，求和得到总消费；再计算三家门店的总日均就餐人数；最后用总消费除以总人数，即可得到所求结果。
【解析】
解：
1. 计算三家门店的日总消费金额：
第一家门店日总消费为 $45x$ 元，第二家为 $50y$ 元，第三家为 $55z$ 元，因此三家总日消费为 $45x + 50y + 55z$ 元。
2. 计算三家门店的总日均就餐人数：
总人数为三家门店日均人数之和，即 $x + y + z$ 人。
3. 计算日人均消费金额：
根据公式，日人均消费金额为总消费除以总人数，即 $\dfrac{45x + 50y + 55z}{x + y + z}$ 元。
【答案】
$\dfrac{45x+50y+55z}{x+y+z}$
【知识点】
加权平均数、代数式
【点评】
本题结合实际场景考查加权平均数的应用，核心是理解“人均消费=总消费÷总人数”的逻辑，避免直接求三个人均的算术平均，属于代数在实际问题中的基础应用，难度较低。
【难度系数】
0.3
14. 如图,在$□ ABCD$中,$AB=6,BC=9,∠ ABC$的平分线交$AD$于点$E$,$∠ BCD$的平分线交$AD$于点$F$,则线段$EF$的长是________。
答案
3
解析
【分析】
要解决本题，需结合平行四边形的性质和角平分线的性质推导等腰三角形，再通过线段和差计算EF的长度。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC平行、AB=CD、AD=BC；再结合角平分线，通过平行线的内错角相等推出等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；最后根据线段的和差关系求出EF。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=CD=6，AD=BC=9，
∴ ∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠EBC，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ △ABE为等腰三角形，AE=AB=6。
同理，
∵ CF平分∠BCD，
∴ ∠DCF=∠BCF，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠DFC=∠BCF，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∴ △DCF为等腰三角形，DF=CD=6。
此时，AE + DF = 6 + 6 = 12，而AD=9，
∴ EF = AE + DF - AD = 12 - 9 = 3。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是平行四边形与角平分线结合的基础计算题，核心是利用平行线和角平分线的关系构造等腰三角形，进而推导线段长度，需熟练掌握平行四边形的基本性质。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合平行四边形的性质和角平分线的性质推导等腰三角形，再通过线段和差计算EF的长度。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到AD与BC平行、AB=CD、AD=BC；再结合角平分线，通过平行线的内错角相等推出等腰三角形，得到AE=AB、DF=CD；最后根据线段的和差关系求出EF。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，AB=CD=6，AD=BC=9，
∴ ∠AEB=∠EBC（两直线平行，内错角相等）。
∵ BE平分∠ABC，
∴ ∠ABE=∠EBC，
∴ ∠ABE=∠AEB，
∴ △ABE为等腰三角形，AE=AB=6。
同理，
∵ CF平分∠BCD，
∴ ∠DCF=∠BCF，
又
∵ AD//BC，
∴ ∠DFC=∠BCF，
∴ ∠DFC=∠DCF，
∴ △DCF为等腰三角形，DF=CD=6。
此时，AE + DF = 6 + 6 = 12，而AD=9，
∴ EF = AE + DF - AD = 12 - 9 = 3。
【答案】
3
【知识点】
平行四边形性质、等腰三角形判定
【点评】
本题是平行四边形与角平分线结合的基础计算题，核心是利用平行线和角平分线的关系构造等腰三角形，进而推导线段长度，需熟练掌握平行四边形的基本性质。
【难度系数】
0.5
