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20.(8分)某校广播台要招聘一名编辑,甲、乙、丙三名同学报名参加了三项素质测试,各项得分如下表(单位:分)。
(1)计算得甲、乙的平均分分别为80分、82分,请求出丙的平均分,并根据三人的平均分从高到低进行排序。
(2)如果学校认为这三项的重要程度有所不同,每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按$5:2:3$的比例计算成绩,并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分。谁能成功应聘?
(1)计算得甲、乙的平均分分别为80分、82分,请求出丙的平均分,并根据三人的平均分从高到低进行排序。
(2)如果学校认为这三项的重要程度有所不同,每位应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按$5:2:3$的比例计算成绩,并且每位应聘者的单项得分最低不能低于75分。谁能成功应聘?
答案
(1)丙的平均分:$\dfrac{80+78+85}{3}=81$(分)。平均分从高到低排序为乙,丙,甲。
(2)因为乙的创意设计能力低于75分,所以乙首先被淘汰,甲的加权平均分是$\dfrac{86×5+77×2+77×3}{5+2+3}=81.5$(分),丙的加权平均分是$\dfrac{80×5+78×2+85×3}{5+2+3}=81.1$(分),因为甲的加权平均分高,所以甲将成功应聘。
(2)因为乙的创意设计能力低于75分,所以乙首先被淘汰,甲的加权平均分是$\dfrac{86×5+77×2+77×3}{5+2+3}=81.5$(分),丙的加权平均分是$\dfrac{80×5+78×2+85×3}{5+2+3}=81.1$(分),因为甲的加权平均分高,所以甲将成功应聘。
解析
【分析】
第(1)问：平均分的计算方法是将三项测试成绩相加后除以测试项数（共3项），先算出丙的平均分，再将甲、乙、丙的平均分比较大小，按从高到低排序即可。
第(2)问：首先根据题目要求，检查三人的单项得分是否满足“最低不低于75分”，淘汰不符合条件的应聘者；再按照加权平均数的计算规则（各项成绩乘以对应权重，求和后除以权重总和）分别计算剩余应聘者的加权平均分，比较后确定成功应聘的人员。
【解析】
(1) 计算丙的平均分：
丙的三项成绩为80分、78分、85分，因此丙的平均分 = $\dfrac{80 + 78 + 85}{3} = \dfrac{243}{3} = 81$分。
已知甲平均分80分、乙平均分82分，三人平均分分别为：甲80分，乙82分，丙81分，从高到低排序为乙，丙，甲。
(2) 首先检查单项得分限制：
乙的创意设计能力得分是73分，低于75分，因此乙被淘汰。
计算甲的加权平均分：
权重总和为$5+2+3=10$，甲的加权平均分 = $\dfrac{86×5 + 77×2 + 77×3}{10} = \dfrac{430 + 154 + 231}{10} = \dfrac{815}{10} = 81.5$分。
计算丙的加权平均分：
丙的加权平均分 = $\dfrac{80×5 + 78×2 + 85×3}{10} = \dfrac{400 + 156 + 255}{10} = \dfrac{811}{10} = 81.1$分。
因为$81.5 ＞ 81.1$，所以甲的加权平均分更高，甲成功应聘。
【答案】
(1) 丙的平均分是81分，平均分从高到低排序为乙，丙，甲；
(2) 甲能成功应聘。
【知识点】
平均数计算、加权平均数计算
【点评】
本题结合实际招聘场景考查平均数与加权平均数的应用，需准确掌握两类平均数的计算方法，同时注意题目中的单项得分限制条件，避免遗漏关键要求。
【难度系数】
0.5
第(1)问：平均分的计算方法是将三项测试成绩相加后除以测试项数（共3项），先算出丙的平均分，再将甲、乙、丙的平均分比较大小，按从高到低排序即可。
第(2)问：首先根据题目要求，检查三人的单项得分是否满足“最低不低于75分”，淘汰不符合条件的应聘者；再按照加权平均数的计算规则（各项成绩乘以对应权重，求和后除以权重总和）分别计算剩余应聘者的加权平均分，比较后确定成功应聘的人员。
【解析】
(1) 计算丙的平均分：
丙的三项成绩为80分、78分、85分，因此丙的平均分 = $\dfrac{80 + 78 + 85}{3} = \dfrac{243}{3} = 81$分。
已知甲平均分80分、乙平均分82分，三人平均分分别为：甲80分，乙82分，丙81分，从高到低排序为乙，丙，甲。
(2) 首先检查单项得分限制：
乙的创意设计能力得分是73分，低于75分，因此乙被淘汰。
计算甲的加权平均分：
权重总和为$5+2+3=10$，甲的加权平均分 = $\dfrac{86×5 + 77×2 + 77×3}{10} = \dfrac{430 + 154 + 231}{10} = \dfrac{815}{10} = 81.5$分。
计算丙的加权平均分：
丙的加权平均分 = $\dfrac{80×5 + 78×2 + 85×3}{10} = \dfrac{400 + 156 + 255}{10} = \dfrac{811}{10} = 81.1$分。
因为$81.5 ＞ 81.1$，所以甲的加权平均分更高，甲成功应聘。
【答案】
(1) 丙的平均分是81分，平均分从高到低排序为乙，丙，甲；
(2) 甲能成功应聘。
【知识点】
平均数计算、加权平均数计算
【点评】
本题结合实际招聘场景考查平均数与加权平均数的应用，需准确掌握两类平均数的计算方法，同时注意题目中的单项得分限制条件，避免遗漏关键要求。
【难度系数】
0.5
21.(8分)如图,在$□ ABCD$中,点$E,F$分别在$AB,CD$上,且$AE=CF$。
(1)求证:四边形$DEBF$是平行四边形。
(2)求证:$∠ AED=∠ BFC$。
(1)求证:四边形$DEBF$是平行四边形。
(2)求证:$∠ AED=∠ BFC$。
答案
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB// CD$,$AB=CD$。因为$AE=CF$,所以$BE=DF$,所以四边形BEDF是平行四边形。
(2)因为四边形BEDF是平行四边形,所以$∠BED=∠BFD$,所以$∠AED=∠BFC$。
(2)因为四边形BEDF是平行四边形,所以$∠BED=∠BFD$,所以$∠AED=∠BFC$。
解析
【分析】
要解决本题，需先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的平行且相等关系，结合已知AE=CF推导出BE与DF的关系，再依据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形；接着利用已证平行四边形的对角相等性质，结合补角的性质推导∠AED与∠BFC相等。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）。
又
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即 BE=DF。
∵ BE在AB上，DF在CD上，AB//CD，
∴ BE//DF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
∵ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ ∠BED=∠BFD（平行四边形的对角相等）。
又
∵ ∠AED + ∠BED = 180°，∠BFC + ∠BFD = 180°，
∴ ∠AED=∠BFC（等角的补角相等）。
【答案】
(1) 四边形DEBF是平行四边形；
(2) ∠AED=∠BFC。
【知识点】
平行四边形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，核心考查平行四边形的判定定理与性质的应用，解题关键是熟练运用平行四边形的对边、对角关系推导，属于几何证明的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需先利用平行四边形ABCD的性质得到AB与CD的平行且相等关系，结合已知AE=CF推导出BE与DF的关系，再依据平行四边形的判定定理证明四边形DEBF是平行四边形；接着利用已证平行四边形的对角相等性质，结合补角的性质推导∠AED与∠BFC相等。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AB=CD（平行四边形对边平行且相等）。
又
∵ AE=CF，
∴ AB - AE = CD - CF，即 BE=DF。
∵ BE在AB上，DF在CD上，AB//CD，
∴ BE//DF。
∴ 四边形DEBF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
∵ 四边形DEBF是平行四边形，
∴ ∠BED=∠BFD（平行四边形的对角相等）。
又
∵ ∠AED + ∠BED = 180°，∠BFC + ∠BFD = 180°，
∴ ∠AED=∠BFC（等角的补角相等）。
【答案】
(1) 四边形DEBF是平行四边形；
(2) ∠AED=∠BFC。
【知识点】
平行四边形的判定，平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形相关的基础证明题，核心考查平行四边形的判定定理与性质的应用，解题关键是熟练运用平行四边形的对边、对角关系推导，属于几何证明的常规题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
22.(10分)小明准备进行如下实验操作:把一根长为32 cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$34\ \mathrm{cm}^2$,则这两个正方形的边长各是多少？
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$,你认为他的说法正确吗？请说明理由。
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$34\ \mathrm{cm}^2$,则这两个正方形的边长各是多少？
(2)小明认为,这两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$,你认为他的说法正确吗？请说明理由。
答案
(1)设其中一个正方形的边长为$x$ cm,则另一个正方形的边长为$(8-x)$cm,依题意列方程得$x^2+(8-x)^2=34$,整理得$x^2-8x+15=0$,所以$(x-3)(x-5)=0$,解方程得$x_1=3,x_2=5$,因此这两个正方形的边长分别是3 cm,5 cm。
(2)小明的说法正确。理由:若两个正方形的面积和为$30\ \mathrm{cm}^2$,则$x^2+(8-x)^2=30$,所以$x^2-8x+17=0$,因为$b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$,所以此方程无解,所以两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$。
(2)小明的说法正确。理由:若两个正方形的面积和为$30\ \mathrm{cm}^2$,则$x^2+(8-x)^2=30$,所以$x^2-8x+17=0$,因为$b^2-4ac=(-8)^2-4×1×17=-4$,所以此方程无解,所以两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$。
解析
【分析】
首先，铁丝总长32cm，剪成两段后分别作为两个正方形的周长，因此两个正方形的周长和为32cm，可推导出边长关系：设其中一个正方形的边长为x cm，则其周长为4x cm，另一个正方形的周长为(32-4x)cm，故另一个正方形的边长为(32-4x)÷4=(8-x)cm。接下来，根据两个正方形的面积之和的条件列一元二次方程，第(1)问直接解方程求边长；第(2)问通过计算方程的判别式，判断方程是否有实数根，进而说明面积和能否等于30cm²。
【解析】
(1)设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则另一个正方形的边长为$(8-x)$cm。
根据两个正方形的面积之和为$34\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2 + (8-x)^2 = 34$
整理得：$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$
因此两个正方形的边长分别为3 cm和5 cm。
(2)小明的说法正确，理由如下：
假设两个正方形的面积和为$30\ \mathrm{cm}^2$，设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则另一个边长为$(8-x)$cm，列方程：
$x^2 + (8-x)^2=30$
整理得：$x^2 -8x +17=0$
计算判别式$\Delta = (-8)^2 -4×1×17=-4＜0$，该方程无实数根，即不存在符合条件的边长，因此两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$，小明的说法正确。
【答案】
(1)两个正方形的边长分别为3 cm和5 cm；(2)小明的说法正确，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，判别式的应用，正方形的周长与面积
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题，需先根据周长关系设未知数，再结合面积条件列方程，通过解方程或判别式判断根的存在性，考查学生的逻辑分析与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先，铁丝总长32cm，剪成两段后分别作为两个正方形的周长，因此两个正方形的周长和为32cm，可推导出边长关系：设其中一个正方形的边长为x cm，则其周长为4x cm，另一个正方形的周长为(32-4x)cm，故另一个正方形的边长为(32-4x)÷4=(8-x)cm。接下来，根据两个正方形的面积之和的条件列一元二次方程，第(1)问直接解方程求边长；第(2)问通过计算方程的判别式，判断方程是否有实数根，进而说明面积和能否等于30cm²。
【解析】
(1)设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则另一个正方形的边长为$(8-x)$cm。
根据两个正方形的面积之和为$34\ \mathrm{cm}^2$，列方程：
$x^2 + (8-x)^2 = 34$
整理得：$x^2 -8x +15=0$
因式分解得：$(x-3)(x-5)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=5$
因此两个正方形的边长分别为3 cm和5 cm。
(2)小明的说法正确，理由如下：
假设两个正方形的面积和为$30\ \mathrm{cm}^2$，设其中一个正方形的边长为$x$ cm，则另一个边长为$(8-x)$cm，列方程：
$x^2 + (8-x)^2=30$
整理得：$x^2 -8x +17=0$
计算判别式$\Delta = (-8)^2 -4×1×17=-4＜0$，该方程无实数根，即不存在符合条件的边长，因此两个正方形的面积之和不可能等于$30\ \mathrm{cm}^2$，小明的说法正确。
【答案】
(1)两个正方形的边长分别为3 cm和5 cm；(2)小明的说法正确，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用，判别式的应用，正方形的周长与面积
【点评】
本题是一元二次方程实际应用的典型题，需先根据周长关系设未知数，再结合面积条件列方程，通过解方程或判别式判断根的存在性，考查学生的逻辑分析与运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
