23.(10分)问题情境:在探索多边形的内角与外角关系的活动中,同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程,提出了问题,请解答。
(1)若四边形的一个内角的度数是α。
①求和它相邻的外角的度数。(用含α的代数式表示)
②求其他三个内角的和。(用含α的代数式表示)
(2)若一个n边形(n＞3),除了一个内角,其余内角的和为920°,求n的值。
深入探究:
(3)探索n边形(n＞3)的一个外角与和它不相邻的(n-1)个内角的和之间满足的等量关系,说明理由。

(1)①四边形的一个内角的度数是α,则与它相邻的外角的度数为$180°-α$。
②由于四边形的内角和是$360°$,其中一个内角为α,则其他三个内角的和为$360°-α$。
(2)由题意,得$(n-2)·180°-α=920°$,因为$n＞3$且为正整数,$0°＜α＜180°$,所以$n=8$,即这个多边形为八边形。
(3)设n边形($n＞3$)的一个外角为α,它不相邻的$(n-1)$个内角的和为β,则有$180°-α+β=(n-2)×180°$,即$β-α=(n-3)×180°$。

【分析】
解决本题需用到多边形内角和定理、邻补角的性质。对于（1），利用邻补角互补求相邻外角，结合四边形内角和求其他三个内角和；对于（2），根据n边形内角和公式，结合未知内角的取值范围确定n的值；对于（3），通过设未知数，结合内角和公式推导等量关系。
【解析】
(1) ① 多边形的一个内角与它相邻的外角互为邻补角，和为180°，已知该内角为α，因此相邻外角的度数为$180°-α$。
② 四边形的内角和为$360°$，其中一个内角为α，所以其他三个内角的和为$360°-α$。
(2) n边形内角和公式为$(n-2)·180°$，设未知内角为α，根据题意得：$(n-2)·180° - α = 920°$，整理得$α=(n-2)·180° - 920°$。因为$n＞3$且为正整数，同时$0°＜α＜180°$，所以：
$0° ＜ (n-2)·180° - 920° ＜ 180°$，
解得$5.11 ＜ n-2 ＜ 6.11$，由于$n-2$为整数，故$n-2=6$，即$n=8$。
(3) 设n边形的一个外角为α，其对应的内角为$180°-α$，不相邻的$(n-1)$个内角的和为β。根据n边形内角和公式，这n个内角的和为$(n-2)·180°$，因此：
$β + (180°-α) = (n-2)·180°$，
整理得$β - α = (n-3)·180°$，即n边形的一个外角与和它不相邻的$(n-1)$个内角的和满足该等量关系。
【答案】
(1) ① $180°-α$；② $360°-α$；
(2) $n=8$；
(3) 等量关系为：n边形的一个外角与和它不相邻的$(n-1)$个内角的和满足$β-α=(n-3)·180°$（其中β为不相邻的$(n-1)$个内角的和，α为该外角）。
【知识点】
多边形内角和定理，邻补角的性质，多边形内角与外角的关系。
【点评】
本题围绕多边形内角与外角的关系展开，综合考查多边形内角和公式的应用，需要学生熟练掌握多边形内角和定理，同时注意未知内角的取值范围，解题时需细心推导，属于中等难度的基础题。
【难度系数】
0.6