24.(12分)如图,在正方形ABCD中,点E在边DC上,点F在边CB的延长线上,且BF=DE,连结EF交边AB于点N,过点A作AH⊥EF,垂足为H,交BC于点M,连结BH。
(1)求∠AEF的度数。
(2)当BN=3,CE=13时,求BM的长。
(3)若M是BC的中点,求证:AN−BN=√2BH。

(1)如图1,连结AF,在正方形ABCD中,$AD=AB$,$∠ABC=∠C=∠ADC=90°$,所以$∠ABF=90°$,所以$∠D=∠ABF$。在$△ ADE$和$△ ABF$中,$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABF, \\ DE=BF, \end{cases}$所以$△ ADE≌△ ABF$(SAS),所以$AE=AF$,$∠DAE=∠BAF$。因为$∠DAE+∠EAB=90°$,所以$∠BAF+∠EAB=∠EAF=90°$,所以$∠AEF=45°$。
(2)如图2,作$NI⊥ DC$于点I,则$∠NIC=90°$,所以四边形NBCI是矩形,所以$NI=BC=AB$,$CI=BN$,所以$EI=EC-IC=EC-BN=13-3=10$。因为$∠ANI=90°$,则$∠ANH+∠ENI=90°$。又因为$AH⊥ EF$,则$∠ANH+∠BAM=90°$,所以$∠ENI=∠BAM$。因为$∠ABM=∠EIN=90°$,所以$△ ABM≌△ NIE$(ASA),所以$BM=EI=10$。
(3)证明:如图3,连结EM,因为M是BC的中点,所以$BC=2CM=2BM$。设$BM=CM=a$,$DE=BF=b$,则$AB=CD=BC=2a$,$EC=2a-b$,$FM=a+b$,由(1)知,AH垂直平分EF,所以$EM=FM=a+b$。在$\mathrm{Rt}△ EMC$中,$CM^2+EC^2=EM^2$,所以$a^2+(2a-b)^2=(a+b)^2$,所以$2a=3b$,所以$EC=2a-b=3b-b=2b$。又由(2)知,$EI=BM$,所以$BN=IC=EC-EI=EC-BM=2a-b-a=a-b$,所以$AN-BN=AB-BN-BN=AB-2BN=2a-2(a-b)=2b$,所以$AN-BN=EC$。取EC的中点K,连结HK,取FC的中点G,连结HG。则HK,HG为$△ EFC$的中位线,所以$HK// FC$,$HG// EC$,可得四边形HGCK为矩形,所以$EK=CK=b$,$FG=GC=\dfrac{1}{2} FC=\dfrac{2a+b}{2}=\dfrac{3b+b}{2}=2b$,所以$BG=BC-CG=2a-2b=3b-2b=b$,所以$HG=CK=b$,所以$BG=HG$,所以$BH=\sqrt{2} HG$。因为$EC=2HG$,所以$EC=\sqrt{2} BH$,所以$AN-BN=\sqrt{2} BH$。

【分析】
本题是正方形的几何综合题，需结合正方形的性质，通过全等三角形、等腰直角三角形、中位线定理等知识逐步推导。第(1)问通过证明三角形全等得到等腰直角三角形，进而求出∠AEF；第(2)问构造矩形，利用角的关系证明三角形全等得到BM的长度；第(3)问利用中点性质、勾股定理、中位线定理，结合等腰直角三角形的性质完成证明。
【解析】
(1) 连结AF，在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠ABF=90°（∠ABC=90°，故∠ABF=180°-90°=90°）。在△ADE和△ABF中，$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABF, \\ DE=BF, \end{cases}$所以△ADE≌△ABF（SAS），得AE=AF，∠DAE=∠BAF。因为∠DAE+∠EAB=90°，所以∠BAF+∠EAB=∠EAF=90°，△AEF为等腰直角三角形，故∠AEF=45°。
(2) 作NI⊥DC于点I，得四边形NBCI为矩形，故NI=AB，CI=BN=3，EI=EC-CI=13-3=10。因AH⊥EF，∠ANH+∠ENI=90°，又∠ANH+∠BAM=90°，故∠ENI=∠BAM。在△ABM和△NIE中，$\begin{cases} ∠ABM=∠EIN=90°, \\ AB=NI, \\ ∠BAM=∠ENI, \end{cases}$所以△ABM≌△NIE（ASA），得BM=EI=10。
(3) 连结EM，设BM=CM=a，DE=BF=b，则AB=2a，EC=2a-b，FM=a+b。由(1)知AH⊥EF，H为EF中点，故EM=FM=a+b。在Rt△EMC中，由勾股定理得$a^2+(2a-b)^2=(a+b)^2$，化简得2a=3b，故EC=2b。由(2)知EI=BM=a，BN=IC=EC-EI=a-b，AN-BN=AB-2BN=2a-2(a-b)=2b=EC。取EC中点K，FC中点G，HK、HG为△EFC中位线，四边形HGCK为矩形，得HG=CK=b，BG=BC-GC=2a-2b=b，故△BGH为等腰直角三角形，BH=√2 HG=√2 b，因此EC=√2 BH，即AN-BN=√2 BH。
【答案】
(1) ∠AEF=45°；(2) BM=10；(3) 证明成立，对应参考答案内容，图片id按要求。
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、等腰直角三角形
【点评】
本题综合考查正方形相关的几何证明与计算，需熟练运用多个几何定理，辅助线构造是解题关键，逻辑推理要求较高。
【难度系数】
0.5