登录
1. (2025·杭州市钱塘区期末)下列计算正确的是 (
A.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$
B.$(-a^{2})^{3}=a^{6}$
C.$(-2a^{2})^{3}=-8a^{6}$
D.$2a^{2}÷ a^{2}=2a$
C
)A.$a^{2}· a^{3}=a^{6}$
B.$(-a^{2})^{3}=a^{6}$
C.$(-2a^{2})^{3}=-8a^{6}$
D.$2a^{2}÷ a^{2}=2a$
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查幂的相关运算，需逐一回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则，再对每个选项进行计算判断，找出正确选项。
【解析】
选项A：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$，则$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠a^6$，A错误；
选项B：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负数的奇次幂为负，即$(a^m)^n=a^{mn}$，则$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6≠a^6$，B错误；
选项C：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，即$(ab)^n=a^n b^n$，则$(-2a^2)^3=(-2)^3·(a^2)^3=-8·a^{2×3}=-8a^6$，C正确；
选项D：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，且$a^0=1(a≠0)$，则$2a^2÷a^2=2·a^{2-2}=2·a^0=2≠2a$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
幂的运算
【点评】
本题为基础幂运算选择题，核心考查幂的基本运算法则，需注意符号、指数的变化及特殊情况（如$a^0$），属于易得分题，侧重对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.8
本题考查幂的相关运算，需逐一回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法法则，再对每个选项进行计算判断，找出正确选项。
【解析】
选项A：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m·a^n=a^{m+n}$，则$a^2·a^3=a^{2+3}=a^5≠a^6$，A错误；
选项B：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负数的奇次幂为负，即$(a^m)^n=a^{mn}$，则$(-a^2)^3=(-1)^3·(a^2)^3=-a^{2×3}=-a^6≠a^6$，B错误；
选项C：根据积的乘方法则，积的乘方等于各因式乘方的积，即$(ab)^n=a^n b^n$，则$(-2a^2)^3=(-2)^3·(a^2)^3=-8·a^{2×3}=-8a^6$，C正确；
选项D：根据同底数幂的除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，且$a^0=1(a≠0)$，则$2a^2÷a^2=2·a^{2-2}=2·a^0=2≠2a$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
幂的运算
【点评】
本题为基础幂运算选择题，核心考查幂的基本运算法则，需注意符号、指数的变化及特殊情况（如$a^0$），属于易得分题，侧重对基础知识点的掌握。
【难度系数】
0.8
2. 已知$ 2^{x}=5,2^{y}=10 $，则$ 2^{3x - 2y} $的值为（
A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{2}{5} $
C.$ \dfrac{5}{4} $
D.$ -5 $
C
）A.$ \dfrac{1}{2} $
B.$ \dfrac{2}{5} $
C.$ \dfrac{5}{4} $
D.$ -5 $
答案
2.C
解析
【分析】
要计算$2^{3x - 2y}$的值，需利用幂的运算法则将所求式子转化为已知条件$2^x=5$、$2^y=10$可直接代入的形式。根据同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$和幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{3x - 2y}$变形为$(2^x)^3÷(2^y)^2$，再代入已知值计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则：
1. 同底数幂的除法：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，因此$2^{3x - 2y}=2^{3x}÷2^{2y}$；
2. 幂的乘方：$a^{mn}=(a^m)^n$，因此$2^{3x}=(2^x)^3$，$2^{2y}=(2^y)^2$；
代入已知$2^x=5$，$2^y=10$：
$\begin{aligned}2^{3x - 2y}&=(2^x)^3÷(2^y)^2\\&=5^3÷10^2\\&=125÷100\\&=\frac{5}{4}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的基础应用，核心是利用法则对所求式子变形，将未知指数转化为已知指数的形式，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要计算$2^{3x - 2y}$的值，需利用幂的运算法则将所求式子转化为已知条件$2^x=5$、$2^y=10$可直接代入的形式。根据同底数幂的除法法则$a^{m-n}=a^m÷ a^n$和幂的乘方法则$a^{mn}=(a^m)^n$，可将$2^{3x - 2y}$变形为$(2^x)^3÷(2^y)^2$，再代入已知值计算即可。
【解析】
根据幂的运算法则：
1. 同底数幂的除法：$a^{m-n}=a^m÷ a^n$，因此$2^{3x - 2y}=2^{3x}÷2^{2y}$；
2. 幂的乘方：$a^{mn}=(a^m)^n$，因此$2^{3x}=(2^x)^3$，$2^{2y}=(2^y)^2$；
代入已知$2^x=5$，$2^y=10$：
$\begin{aligned}2^{3x - 2y}&=(2^x)^3÷(2^y)^2\\&=5^3÷10^2\\&=125÷100\\&=\frac{5}{4}\end{aligned}$
【答案】
C
【知识点】
幂的乘方、同底数幂的除法
【点评】
本题考查幂的运算法则的基础应用，核心是利用法则对所求式子变形，将未知指数转化为已知指数的形式，计算过程简单，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
3. (2024·金华市东阳市期末)计算：$(-\dfrac{1}{2})^{-1} × (π - \sqrt{2})^0 =$
-2
。答案
3.-2
解析
【分析】
本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算，解题思路是先分别计算两个幂的值，再将结果相乘得到最终答案。需牢记负整数指数幂和零指数幂的运算法则：负整数指数幂公式为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，零指数幂公式为$a^0=1(a≠0)$。
【解析】
1. 计算负整数指数幂：$(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=-2$；
2. 计算零指数幂：因为$π-\sqrt{2}≠0$，所以$(π - \sqrt{2})^0=1$；
3. 两者相乘：$-2×1=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂
【点评】
本题是基础的幂运算题目，考查对负整数指数幂和零指数幂运算法则的掌握，属于期末常考的基础题型，只要牢记运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
本题考查负整数指数幂和零指数幂的运算，解题思路是先分别计算两个幂的值，再将结果相乘得到最终答案。需牢记负整数指数幂和零指数幂的运算法则：负整数指数幂公式为$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，零指数幂公式为$a^0=1(a≠0)$。
【解析】
1. 计算负整数指数幂：$(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=-2$；
2. 计算零指数幂：因为$π-\sqrt{2}≠0$，所以$(π - \sqrt{2})^0=1$；
3. 两者相乘：$-2×1=-2$。
【答案】
-2
【知识点】
负整数指数幂、零指数幂
【点评】
本题是基础的幂运算题目，考查对负整数指数幂和零指数幂运算法则的掌握，属于期末常考的基础题型，只要牢记运算法则即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
4. (2024·绍兴市柯桥区期末)已知二元一次方程$2x - 3y - 4 = 0$，求$3^{2x} ÷ 3^{3y} =$
81
。答案
4.81
解析
【分析】
要解决这个问题，首先观察所求式子是同底数幂的除法，需先运用同底数幂的除法法则化简式子；再根据已知二元一次方程求出指数部分的值，最后代入计算即可。
【解析】
1. 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），对所求式子化简：
$3^{2x} ÷ 3^{3y} = 3^{2x - 3y}$
2. 对已知方程$2x - 3y - 4 = 0$移项，可得：
$2x - 3y = 4$
3. 将$2x - 3y = 4$代入化简后的式子计算：
$3^4 = 81$
【答案】
81
【知识点】
同底数幂的除法，代数式求值
【点评】
本题考查同底数幂除法法则的应用，关键是通过法则化简所求式子，再利用方程变形得到整体值代入计算，属于基础题型，需熟练掌握幂的运算法则。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先观察所求式子是同底数幂的除法，需先运用同底数幂的除法法则化简式子；再根据已知二元一次方程求出指数部分的值，最后代入计算即可。
【解析】
1. 根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为正整数），对所求式子化简：
$3^{2x} ÷ 3^{3y} = 3^{2x - 3y}$
2. 对已知方程$2x - 3y - 4 = 0$移项，可得：
$2x - 3y = 4$
3. 将$2x - 3y = 4$代入化简后的式子计算：
$3^4 = 81$
【答案】
81
【知识点】
同底数幂的除法，代数式求值
【点评】
本题考查同底数幂除法法则的应用，关键是通过法则化简所求式子，再利用方程变形得到整体值代入计算，属于基础题型，需熟练掌握幂的运算法则。
【难度系数】
0.7
5. (2024·绍兴市嵊州市期末)设 $ m = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \dots + 2^{a_n} $，其中整数 $ a_1, a_2, a_3, \dots, a_n $ 满足 $ 0 ＜ a_1 ＜ a_2 ＜ \dots ＜ a_n $（$ n $ 为整数），则当 $ n = 1, m = 8 $ 时，$ a_1 = \_\_\_\_\_\_ $；当 $ n = 3, 0 ＜ m ＜ 200 $ 时，$ m $ 的最大值为 ______。
答案
5.3 196 【解析】当 n = 1,m = 8 时,则8 = 2^a₁。因为 2³ = 8,所以a₁ = 3。当 n = 3,0 ＜ m ＜ 200 时,则 m = 2^a₁ + 2^a₂ + 2^a₃。因为2⁷ = 128,2⁸ = 256,所以a₁,a₂,a₃中,最大为7。因为整数a₁,a₂,a₃,…,aₙ满足0 ＜ a₁ ＜ a₂ ＜ … ＜ aₙ,所以当a₁ = 3,a₂ = 6,a₃ = 7时,m = 2³ + 2⁶ + 2⁷ = 8 + 64 + 128 = 200;当a₁ = 2,a₂ = 6,a₃ = 7时,m = 2² + 2⁶ + 2⁷ = 4 + 64 + 128 = 196 ＜ 200,所以m的最大值为2² + 2⁶ + 2⁷ = 196。
解析
【分析】
首先处理第一小问：当n=1时，m仅为单个2的幂，只需找到使2^a₁=8的指数即可；再处理第二小问：n=3时，m是三个不同2的幂之和，要使m最大且小于200，需优先选择较大的2的幂，结合指数递增的条件，逐步推导各指数的取值，确保和满足范围要求。
【解析】
1. 当n=1，m=8时：
因为m=2^a₁，所以2^a₁=8，又2³=8，因此a₁=3。
2. 当n=3，0＜m＜200时：
m=2^a₁ +2^a₂ +2^a₃，其中0＜a₁＜a₂＜a₃为整数。
先确定最大指数a₃：2⁷=128，2⁸=256＞200，故a₃最大取7，此时剩余两指数的幂之和需小于200-128=72。
再确定次大指数a₂：a₂＜7，最大取6，2⁶=64，此时剩余的2^a₁需小于72-64=8，即2^a₁＜8，a₁最大取2（因2³=8不满足小于8），此时m=2²+2⁶+2⁷=4+64+128=196。
若尝试a₁=3，则m=2³+2⁶+2⁷=8+64+128=200，不满足0＜m＜200，故m的最大值为196。
【答案】
3；196
【知识点】
有理数的乘方，指数运算
【点评】
本题结合2的幂的性质，考查逻辑推理能力，关键是根据范围和指数递增条件逐步确定各指数，需注意不等式的限制，难度适中。
【难度系数】
0.6
首先处理第一小问：当n=1时，m仅为单个2的幂，只需找到使2^a₁=8的指数即可；再处理第二小问：n=3时，m是三个不同2的幂之和，要使m最大且小于200，需优先选择较大的2的幂，结合指数递增的条件，逐步推导各指数的取值，确保和满足范围要求。
【解析】
1. 当n=1，m=8时：
因为m=2^a₁，所以2^a₁=8，又2³=8，因此a₁=3。
2. 当n=3，0＜m＜200时：
m=2^a₁ +2^a₂ +2^a₃，其中0＜a₁＜a₂＜a₃为整数。
先确定最大指数a₃：2⁷=128，2⁸=256＞200，故a₃最大取7，此时剩余两指数的幂之和需小于200-128=72。
再确定次大指数a₂：a₂＜7，最大取6，2⁶=64，此时剩余的2^a₁需小于72-64=8，即2^a₁＜8，a₁最大取2（因2³=8不满足小于8），此时m=2²+2⁶+2⁷=4+64+128=196。
若尝试a₁=3，则m=2³+2⁶+2⁷=8+64+128=200，不满足0＜m＜200，故m的最大值为196。
【答案】
3；196
【知识点】
有理数的乘方，指数运算
【点评】
本题结合2的幂的性质，考查逻辑推理能力，关键是根据范围和指数递增条件逐步确定各指数，需注意不等式的限制，难度适中。
【难度系数】
0.6
6.(2025·绍兴市新昌县期末)换元是一种重要的数学方法,通过引入新的字母(称为元)替换原式中的部分表达式,简化问题结构。若$y=3x-2$,则代数式$(3x-2)^2 - 6x + 7$可以表示为（
A.$y^2 - 2y - 3$
B.$y^2 - 2y + 3$
C.$y^2 - 2y + 11$
D.$y^2 - 2y + 5$
B
）A.$y^2 - 2y - 3$
B.$y^2 - 2y + 3$
C.$y^2 - 2y + 11$
D.$y^2 - 2y + 5$
答案
6.B
解析
【分析】
本题考查换元法在代数式化简中的应用，解题思路为：已知$y=3x-2$，需将代数式中的$(3x-2)$替换为$y$，再把剩余含$x$的项转化为用$y$表示的形式，最后合并化简得到结果。具体步骤是：先替换平方项，再根据$y=3x-2$推导$6x$与$y$的关系，进而转化$-6x$，代入原式化简即可。
【解析】
已知$y=3x-2$，
则代数式$(3x-2)^2 -6x +7$中：
1. 平方项替换：$(3x-2)^2 = y^2$；
2. 转化含$x$项：由$y=3x-2$得$3x = y+2$，两边乘2得$6x=2(y+2)$，因此$-6x=-2(y+2)$；
3. 代入化简：将上述结果代入原式得：
原式$=y^2 -2(y+2)+7 = y^2 -2y -4 +7 = y^2 -2y +3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
换元法、代数式化简
【点评】
本题是换元法的基础应用题，核心是利用已知的$y$与$x$的关系转化原式，步骤清晰，侧重考查学生对换元法的基本应用能力。
【难度系数】
0.7
本题考查换元法在代数式化简中的应用，解题思路为：已知$y=3x-2$，需将代数式中的$(3x-2)$替换为$y$，再把剩余含$x$的项转化为用$y$表示的形式，最后合并化简得到结果。具体步骤是：先替换平方项，再根据$y=3x-2$推导$6x$与$y$的关系，进而转化$-6x$，代入原式化简即可。
【解析】
已知$y=3x-2$，
则代数式$(3x-2)^2 -6x +7$中：
1. 平方项替换：$(3x-2)^2 = y^2$；
2. 转化含$x$项：由$y=3x-2$得$3x = y+2$，两边乘2得$6x=2(y+2)$，因此$-6x=-2(y+2)$；
3. 代入化简：将上述结果代入原式得：
原式$=y^2 -2(y+2)+7 = y^2 -2y -4 +7 = y^2 -2y +3$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
换元法、代数式化简
【点评】
本题是换元法的基础应用题，核心是利用已知的$y$与$x$的关系转化原式，步骤清晰，侧重考查学生对换元法的基本应用能力。
【难度系数】
0.7
7. 使$(x^2 + 3x + p)(x^2 - qx + 4)$的乘积中不含$x^2$与$x^3$项，则$p + q$的值为（
A.$-8$
B.$-4$
C.$-2$
D.$8$
D
）A.$-8$
B.$-4$
C.$-2$
D.$8$
答案
7.D
解析
【分析】
要解决这个问题，需先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据“乘积不含$x^2$与$x^3$项”的条件，即这两项的系数为0，建立关于$p$、$q$的方程，求解$p$、$q$的值后计算$p+q$。
【解析】
先将$(x^2 + 3x + p)(x^2 - qx + 4)$展开并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^2 + 3x + p)(x^2 - qx + 4)\\=&x^4 - qx^3 + 4x^2 + 3x^3 - 3qx^2 + 12x + px^2 - pqx + 4p\\=&x^4 + (-q + 3)x^3 + (4 - 3q + p)x^2 + (12 - pq)x + 4p\end{aligned}$
因为乘积中不含$x^3$与$x^2$项，所以这两项的系数为0：
1. 对$x^3$项：$-q + 3 = 0$，解得$q = 3$；
2. 对$x^2$项：$4 - 3q + p = 0$，将$q=3$代入得$4 - 9 + p = 0$，解得$p = 5$；
因此$p + q = 5 + 3 = 8$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘法的展开及同类项系数的应用，核心是根据“不含某类项则其系数为0”的条件建立方程，属于基础题型，难度适中，学生只要掌握多项式乘法法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需先利用多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，根据“乘积不含$x^2$与$x^3$项”的条件，即这两项的系数为0，建立关于$p$、$q$的方程，求解$p$、$q$的值后计算$p+q$。
【解析】
先将$(x^2 + 3x + p)(x^2 - qx + 4)$展开并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x^2 + 3x + p)(x^2 - qx + 4)\\=&x^4 - qx^3 + 4x^2 + 3x^3 - 3qx^2 + 12x + px^2 - pqx + 4p\\=&x^4 + (-q + 3)x^3 + (4 - 3q + p)x^2 + (12 - pq)x + 4p\end{aligned}$
因为乘积中不含$x^3$与$x^2$项，所以这两项的系数为0：
1. 对$x^3$项：$-q + 3 = 0$，解得$q = 3$；
2. 对$x^2$项：$4 - 3q + p = 0$，将$q=3$代入得$4 - 9 + p = 0$，解得$p = 5$；
因此$p + q = 5 + 3 = 8$。
【答案】
D
【知识点】
多项式乘多项式，合并同类项，代数式求值
【点评】
本题考查多项式乘法的展开及同类项系数的应用，核心是根据“不含某类项则其系数为0”的条件建立方程，属于基础题型，难度适中，学生只要掌握多项式乘法法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
8. (2024·金华市浦江县期末)设$A=(x-3)(x-6),B=(x-2)(x-7)$,则代数式$A,B$的大小关系为$A$
＞
$B$(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)。答案
8.＞ 【解析】因为 A=(x-3)(x-6),B=(x-2)(x-7),所以 A=x²-9x+18,B=x²-9x+14,所以 A-B=x²-9x+18-(x²-9x+14)=x²-9x+18-x²+9x-14=4＞0,所以 A＞B。
解析
【分析】要比较两个代数式A和B的大小，常用作差法：计算A与B的差，通过差的正负判断大小——若A-B＞0，则A＞B；若A-B＜0，则A＜B；若A-B=0，则A=B。接下来需先展开A、B，再计算差并化简，最后判断结果正负。
【解析】1. 分别展开A和B：
A=(x-3)(x-6)=x² -6x -3x +18 = x² -9x +18；
B=(x-2)(x-7)=x² -7x -2x +14 = x² -9x +14；
2. 计算A-B并化简：
A-B=(x² -9x +18)-(x² -9x +14)=x² -9x +18 -x² +9x -14=4；
3. 判断差的正负：因为4＞0，所以A-B＞0，即A＞B。
【答案】＞
【知识点】整式的乘法、代数式大小比较
【点评】本题考查作差法比较整式大小，核心是多项式展开与合并同类项，属于基础题，解题思路清晰易操作。
【难度系数】0.8
【解析】1. 分别展开A和B：
A=(x-3)(x-6)=x² -6x -3x +18 = x² -9x +18；
B=(x-2)(x-7)=x² -7x -2x +14 = x² -9x +14；
2. 计算A-B并化简：
A-B=(x² -9x +18)-(x² -9x +14)=x² -9x +18 -x² +9x -14=4；
3. 判断差的正负：因为4＞0，所以A-B＞0，即A＞B。
【答案】＞
【知识点】整式的乘法、代数式大小比较
【点评】本题考查作差法比较整式大小，核心是多项式展开与合并同类项，属于基础题，解题思路清晰易操作。
【难度系数】0.8
9.(2025·金华市东阳市期末)计算$\dfrac{2025^2 + 1}{2024^2 + 2026^2}$的值为
$\dfrac{1}{2}$
。答案
9.$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】本题是分式的化简求值问题，直接计算数值过大，可采用换元法简化运算。设$a = 2025$，将分子、分母用含$a$的式子表示，再利用完全平方公式展开分母，通过约分即可得到结果。
【解析】设$a = 2025$，则$2024 = a - 1$，$2026 = a + 1$。
分母为：$(a - 1)^2 + (a + 1)^2 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + 2a + 1 = 2a^2 + 2 = 2(a^2 + 1)$；
分子为：$a^2 + 1$；
所以原式$=\dfrac{a^2 + 1}{2(a^2 + 1)} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】完全平方公式、分式化简求值
【点评】本题通过换元法将大数转化为字母运算，简化了计算过程，是代数中常用的化简技巧，体现了整体思想的应用。
【难度系数】0.5
【解析】设$a = 2025$，则$2024 = a - 1$，$2026 = a + 1$。
分母为：$(a - 1)^2 + (a + 1)^2 = a^2 - 2a + 1 + a^2 + 2a + 1 = 2a^2 + 2 = 2(a^2 + 1)$；
分子为：$a^2 + 1$；
所以原式$=\dfrac{a^2 + 1}{2(a^2 + 1)} = \dfrac{1}{2}$。
【答案】$\dfrac{1}{2}$
【知识点】完全平方公式、分式化简求值
【点评】本题通过换元法将大数转化为字母运算，简化了计算过程，是代数中常用的化简技巧，体现了整体思想的应用。
【难度系数】0.5
10.已知$x^2 - mx + n = (x - 3)(x + 4)$，则$(m ÷ n)^n =$
12
。答案
10.12
