登录
23.(10分)某工厂生产某种产品,3月份的产量为5 000件,4月份的产量为10 000件。用简单随机抽样的方法分别抽取这两个月生产的该产品若干件进行检测,并将检测结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和频数直方图(每组不含前一个边界值,含后一个边界值)。已知检测综合得分大于70分的产品为合格产品。
(1)求4月份生产的该产品抽样检测的合格率。
(2)在3月份和4月份生产的产品中,估计哪个月不合格的件数多?为什么?
(1)求4月份生产的该产品抽样检测的合格率。
(2)在3月份和4月份生产的产品中,估计哪个月不合格的件数多?为什么?
答案
(1)解:由题意,得(132+160+200)÷(8+132+160+200)×100%=98.4%。答:4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%。
(2)解:估计4月份生产的产品中,不合格的件数多。理由如下:估计3月份生产的产品中,不合格的件数为5000×2%=100(件),估计4月份生产的产品中,不合格的件数为10000×(1-98.4%)=160(件)。因为100＜160,所以估计4月份生产的产品中,不合格的件数多。
(2)解:估计4月份生产的产品中,不合格的件数多。理由如下:估计3月份生产的产品中,不合格的件数为5000×2%=100(件),估计4月份生产的产品中,不合格的件数为10000×(1-98.4%)=160(件)。因为100＜160,所以估计4月份生产的产品中,不合格的件数多。
解析
【分析】
要解决问题，需明确：(1) 4月份抽样检测的合格率 = 抽样中合格产品数 ÷ 抽样总产品数 ×100%，合格产品为综合得分大于70分的产品，对应频数直方图中75、85、95分的频数之和；抽样总产品数为所有频数相加。(2) 分别计算两个月的不合格件数：3月不合格件数 = 3月产量 × 3月不合格率；4月不合格件数 = 4月产量 × (1 - 4月抽样合格率)，再比较两者大小即可。
【解析】
(1) 4月份抽样检测的总产品数为：$8 + 132 + 160 + 200 = 500$（件）；
抽样中合格产品数（得分＞70分）为：$132 + 160 + 200 = 492$（件）；
则4月份抽样检测的合格率为：$\frac{492}{500}×100\% = 98.4\%$。
(2) 3月份不合格件数：$5000×2\% = 100$（件）；
4月份不合格件数：$10000×(1 - 98.4\%) = 10000×1.6\% = 160$（件）；
因为$100 ＜ 160$，所以4月份不合格件数更多。
【答案】
(1) 4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；
(2) 估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，理由：3月不合格件数为$5000×2\%=100$件，4月不合格件数为$10000×(1-98.4\%)=160$件，$100＜160$，故4月不合格件数多。
【知识点】
扇形统计图、频数直方图、合格率计算
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，需从两种统计图表中提取数据，结合合格率、不合格率的计算方法解决问题，属于统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决问题，需明确：(1) 4月份抽样检测的合格率 = 抽样中合格产品数 ÷ 抽样总产品数 ×100%，合格产品为综合得分大于70分的产品，对应频数直方图中75、85、95分的频数之和；抽样总产品数为所有频数相加。(2) 分别计算两个月的不合格件数：3月不合格件数 = 3月产量 × 3月不合格率；4月不合格件数 = 4月产量 × (1 - 4月抽样合格率)，再比较两者大小即可。
【解析】
(1) 4月份抽样检测的总产品数为：$8 + 132 + 160 + 200 = 500$（件）；
抽样中合格产品数（得分＞70分）为：$132 + 160 + 200 = 492$（件）；
则4月份抽样检测的合格率为：$\frac{492}{500}×100\% = 98.4\%$。
(2) 3月份不合格件数：$5000×2\% = 100$（件）；
4月份不合格件数：$10000×(1 - 98.4\%) = 10000×1.6\% = 160$（件）；
因为$100 ＜ 160$，所以4月份不合格件数更多。
【答案】
(1) 4月份生产的该产品抽样检测的合格率为98.4%；
(2) 估计4月份生产的产品中，不合格的件数多，理由：3月不合格件数为$5000×2\%=100$件，4月不合格件数为$10000×(1-98.4\%)=160$件，$100＜160$，故4月不合格件数多。
【知识点】
扇形统计图、频数直方图、合格率计算
【点评】
本题考查统计图表的实际应用，需从两种统计图表中提取数据，结合合格率、不合格率的计算方法解决问题，属于统计部分的基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6
24.（12分）真实情境中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟。”为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用$ t $表示，单位：h）状况设置了如下四个选项，分别为A. $ t ≤ 1 $，B. $ 1 ＜ t ≤ 1.5 $，C. $ 1.5 ＜ t ≤ 2 $，D. $ t ＞ 2 $，并根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图。请根据以上提供的信息解答下列问题：
(1)此次调查，选项A中的学生人数是多少？
(2)在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
(3)如果该县有15 000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生有多少人？
(4)请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议。
(1)此次调查，选项A中的学生人数是多少？
(2)在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
(3)如果该县有15 000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生有多少人？
(4)请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议。
答案
(1)解:此次调查的总人数是24÷24%=100(人),所以选项A中的学生人数是100-56-24-12=8(人)。
(2)解:选项D所对应的扇形圆心角的大小为$360°×\frac{12}{100}=43.2°$。
(3)解:由题意,得$15000×\frac{8+56}{100}=9600$(人)。答:估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生有9600人。
(4)解:我每天完成书面作业的时间属于选项B。从调查结果来看:仅有64%的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”,还有36%的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟,所以布置的作业应该精简量少。(答案不唯一,合理即可)
(2)解:选项D所对应的扇形圆心角的大小为$360°×\frac{12}{100}=43.2°$。
(3)解:由题意,得$15000×\frac{8+56}{100}=9600$(人)。答:估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生有9600人。
(4)解:我每天完成书面作业的时间属于选项B。从调查结果来看:仅有64%的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”,还有36%的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟,所以布置的作业应该精简量少。(答案不唯一,合理即可)
解析
【分析】
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息：先通过C组的人数和占比求出调查总人数，再依次计算各问题；其中“不超过90分钟”对应t≤1.5h，即选项A和B，需先确定这两组的占比，再用样本估计总体。
1. 求选项A人数：利用C组人数（24人）和占比（24%）算出总人数，再减去B、C、D组人数；
2. 求D的圆心角：先算D组人数占总人数的比例，再乘360°；
3. 估算该县符合条件的学生数：计算A、B组人数占比，再乘该县总学生数；
4. 第四问为开放性问题，结合调查结果给出合理建议即可。
【解析】
(1) 由扇形图知C组占24%，条形图知C组有24人，因此调查总人数为：$24÷24\% = 100$（人）；
选项A的学生人数 = 总人数 - B组人数 - C组人数 - D组人数 = $100 - 56 - 24 - 12 = 8$（人）。
(2) D组人数为12人，占总人数的比例为$\frac{12}{100}=12\%$，对应的扇形圆心角为：$360°×12\% = 43.2°$。
(3) “每天完成书面作业的时间不超过90分钟”即$t≤1.5h$，对应选项A和B，两组总人数为$8+56=64$人，占总人数的比例为$\frac{64}{100}=64\%$；
因此该县符合条件的学生数为：$15000×64\% = 9600$（人）。
(4) 示例：我每天完成书面作业的时间属于选项B。从调查结果看，仅64%的学生符合作业时间要求，建议老师精简作业量，布置分层、高效的作业，减少无效重复作业，提升作业质量。（答案合理即可）
【答案】
(1) 8人；(2) $43.2°$；(3) 9600人；(4) 示例：属于选项B，建议精简作业量，布置高效作业（合理即可）
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合“双减”真实情境，考查统计图表的综合应用，核心是从两个统计图中提取关联信息，先求总人数再逐步计算，体现了统计中“用样本估计总体”的思想，第四问开放性强，需结合实际给出合理建议，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合条形统计图和扇形统计图的关联信息：先通过C组的人数和占比求出调查总人数，再依次计算各问题；其中“不超过90分钟”对应t≤1.5h，即选项A和B，需先确定这两组的占比，再用样本估计总体。
1. 求选项A人数：利用C组人数（24人）和占比（24%）算出总人数，再减去B、C、D组人数；
2. 求D的圆心角：先算D组人数占总人数的比例，再乘360°；
3. 估算该县符合条件的学生数：计算A、B组人数占比，再乘该县总学生数；
4. 第四问为开放性问题，结合调查结果给出合理建议即可。
【解析】
(1) 由扇形图知C组占24%，条形图知C组有24人，因此调查总人数为：$24÷24\% = 100$（人）；
选项A的学生人数 = 总人数 - B组人数 - C组人数 - D组人数 = $100 - 56 - 24 - 12 = 8$（人）。
(2) D组人数为12人，占总人数的比例为$\frac{12}{100}=12\%$，对应的扇形圆心角为：$360°×12\% = 43.2°$。
(3) “每天完成书面作业的时间不超过90分钟”即$t≤1.5h$，对应选项A和B，两组总人数为$8+56=64$人，占总人数的比例为$\frac{64}{100}=64\%$；
因此该县符合条件的学生数为：$15000×64\% = 9600$（人）。
(4) 示例：我每天完成书面作业的时间属于选项B。从调查结果看，仅64%的学生符合作业时间要求，建议老师精简作业量，布置分层、高效的作业，减少无效重复作业，提升作业质量。（答案合理即可）
【答案】
(1) 8人；(2) $43.2°$；(3) 9600人；(4) 示例：属于选项B，建议精简作业量，布置高效作业（合理即可）
【知识点】
条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题结合“双减”真实情境，考查统计图表的综合应用，核心是从两个统计图中提取关联信息，先求总人数再逐步计算，体现了统计中“用样本估计总体”的思想，第四问开放性强，需结合实际给出合理建议，整体难度适中。
【难度系数】
0.5
