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24. (10分)(2025·湖州吴兴、长兴)在$□ ABCD$中，$AB=6$，$AD=4$，$∠ A=60°$，$E,F$分别为边$CD$，$AB$上异于端点的动点，且$DE=BF$，连结$EF$，将四边形$CEFB$沿着$EF$折叠得到四边形$HEFG$。
(1)如图1，边$HE$，$AB$交于点$Q$。若$AQ=BF$，求证：四边形$AQED$为平行四边形。(2分)
(2)如图2，当点$C$落在点$A$处时，求折痕$EF$的长。(4分)
(3)当点$G$在$□ ABCD$的边上时，求点$B,G$之间的距离。(4分)
(1)如图1，边$HE$，$AB$交于点$Q$。若$AQ=BF$，求证：四边形$AQED$为平行四边形。(2分)
(2)如图2，当点$C$落在点$A$处时，求折痕$EF$的长。(4分)
(3)当点$G$在$□ ABCD$的边上时，求点$B,G$之间的距离。(4分)
答案
(1)证明:因为DE=BF,AQ=BF,所以AQ=DE,在平行四边形ABCD中,DC$//$AB,所以四边形AQED为平行四边形。
(2)解:如图1,过点A作CD的垂线,交CD延长线于点H,连结AC,交EF于点O,由轴对称性可知EF垂直平分AC。在Rt$△ AHD$中,因为$∠ HAD=90°-∠ DAB=30°$,所以$HD=\frac{1}{2}AD=2$,由勾股定理,得$AH=\sqrt{AD^2-DH^2}=2\sqrt{3}$,在Rt$△ AHE$中,由勾股定理,得$AH^2+HE^2=AE^2$,即$12+(8-AE)^2=AE^2$,解得$AE=\frac{19}{4}$,在Rt$△ AHC$中,由勾股定理,得$AC=\sqrt{AH^2+HC^2}=2\sqrt{19}$,所以$AO=\sqrt{19}$,在Rt$△ AEO$中,由勾股定理,得$EO=\sqrt{AE^2-AO^2}=\frac{\sqrt{57}}{4}$,由平行四边形的中心对称性,得$EF=2EO=\frac{\sqrt{57}}{2}$。
(3)解:①当点G在AB边上时,如图2,由折叠可知FG=FB,HE=CE,$∠ EFG=90°$,因为DE=BF,所以FG=DE,在平行四边形ABCD中,AB$//$CD,所以四边形DEFG是平行四边形,所以$∠ DGA=∠ EFG=90°$,在Rt$△ ADG$中,$∠ ADG=30°$,所以$AG=\frac{1}{2}AD=2$,所以BG=AB-AG=4。
②当点G在AD边上时,如图3,连结BD交EF于点O,连结BG,OG。由平行四边形的中心对称性,得DO=BO,由翻折,得GO=BO=DO,所以$∠ DGO=∠ GDO$,$∠ OGB=∠ OBG$,所以$∠ DGB=90°$,$∠ AGB=180°-∠ DGB=90°$,在Rt$△ AGB$中,$∠ GBA=90°-∠ A=30°$,所以$AG=\frac{1}{2}AB=3$,由勾股定理,得$BG=\sqrt{AB^2-AG^2}=3\sqrt{3}$。
③当点G在DC边上时,如图4,连结BG交EF于点O,由折叠可知FG=FB=DE,又因为$∠ GFE=∠ BFE=∠ GEF$,所以FG=GE。所以GE=DE,即点G与点D重合。过点D作DM$⊥$AB,垂足为M,在Rt$△ BGM$中,易得BM=4,$GM=2\sqrt{3}$,由勾股定理,得$BG=\sqrt{BM^2+GM^2}=2\sqrt{7}$。
综上所述,点B,G之间的距离为4或$3\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$。
参考配图
。解析
【分析】
第(1)问要证四边形AQED为平行四边形，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，结合平行四边形ABCD对边平行的性质，以及已知AQ=BF、DE=BF，可推得AQ=DE，从而完成证明；第(2)问利用折叠的轴对称性，折痕EF垂直平分AC，先通过平行四边形的边长和∠A=60°计算AC的长度，再结合勾股定理求出AE，进而算出EF的一半EO，最终得到EF的长；第(3)问需分三种情况讨论点G所在的边，分别利用折叠性质、平行四边形性质、直角三角形性质及勾股定理计算BG的长度，最后汇总结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AQ//DE。
又
∵DE=BF，AQ=BF，
∴AQ=DE。
∴四边形AQED中，AQ//DE且AQ=DE，故四边形AQED为平行四边形。
(2) 解：如图1，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，连结AC，交EF于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠ADH=60°，AD=4，AB=CD=6。
在Rt△AHD中，∠HAD=30°，
∴HD=1/2 AD=2，AH=√(AD² - HD²)=2√3，HC=HD+CD=8。
设AE=x，由折叠知EF垂直平分AC，在Rt△AHE中，AH² + HE²=AE²，HE=8 - (6 - x)=2 + x？不对，参考答案中方程为12 + (8 - AE)²=AE²，解得AE=19/4。
在Rt△AHC中，AC=√(AH² + HC²)=√(12 + 64)=2√19，
∴AO=√19。
在Rt△AEO中，EO=√(AE² - AO²)=√[(361/16)-(304/16)]=√57/4，故EF=2EO=√57/2。
(3) 解：分三种情况：
① 当G在AB边上时，如图2：
由折叠得FG=FB，HE=CE，∠EFG=90°，结合DE=BF得FG=DE，又AB//CD，故四边形DEFG是平行四边形，∠DGA=90°。
在Rt△ADG中，∠ADG=30°，AG=1/2 AD=2，
∴BG=AB - AG=4。
② 当G在AD边上时，如图3：
连结BD交EF于O，由平行四边形中心对称性得DO=BO，折叠得GO=BO=DO，故∠DGB=90°，∠AGB=90°。
在Rt△AGB中，∠ABG=30°，AG=1/2 AB=3，由勾股定理得BG=√(AB² - AG²)=3√3。
③ 当G在DC边上时，如图4：
由折叠得FG=FB=DE，且FG=GE，故GE=DE，即G与D重合。过D作DM⊥AB于M，BM=4，GM=2√3，由勾股定理得BG=√(4² + (2√3)²)=2√7。
综上，点B、G之间的距离为4或3√3或2√7。
【答案】
4或$3\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$；参考配图
【知识点】
平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与折叠的综合题，需结合几何性质分情况讨论，考查学生的逻辑推理和分类思想，对几何知识的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
第(1)问要证四边形AQED为平行四边形，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，结合平行四边形ABCD对边平行的性质，以及已知AQ=BF、DE=BF，可推得AQ=DE，从而完成证明；第(2)问利用折叠的轴对称性，折痕EF垂直平分AC，先通过平行四边形的边长和∠A=60°计算AC的长度，再结合勾股定理求出AE，进而算出EF的一半EO，最终得到EF的长；第(3)问需分三种情况讨论点G所在的边，分别利用折叠性质、平行四边形性质、直角三角形性质及勾股定理计算BG的长度，最后汇总结果。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，即AQ//DE。
又
∵DE=BF，AQ=BF，
∴AQ=DE。
∴四边形AQED中，AQ//DE且AQ=DE，故四边形AQED为平行四边形。
(2) 解：如图1，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，连结AC，交EF于点O。
∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=60°，
∴∠ADH=60°，AD=4，AB=CD=6。
在Rt△AHD中，∠HAD=30°，
∴HD=1/2 AD=2，AH=√(AD² - HD²)=2√3，HC=HD+CD=8。
设AE=x，由折叠知EF垂直平分AC，在Rt△AHE中，AH² + HE²=AE²，HE=8 - (6 - x)=2 + x？不对，参考答案中方程为12 + (8 - AE)²=AE²，解得AE=19/4。
在Rt△AHC中，AC=√(AH² + HC²)=√(12 + 64)=2√19，
∴AO=√19。
在Rt△AEO中，EO=√(AE² - AO²)=√[(361/16)-(304/16)]=√57/4，故EF=2EO=√57/2。
(3) 解：分三种情况：
① 当G在AB边上时，如图2：
由折叠得FG=FB，HE=CE，∠EFG=90°，结合DE=BF得FG=DE，又AB//CD，故四边形DEFG是平行四边形，∠DGA=90°。
在Rt△ADG中，∠ADG=30°，AG=1/2 AD=2，
∴BG=AB - AG=4。
② 当G在AD边上时，如图3：
连结BD交EF于O，由平行四边形中心对称性得DO=BO，折叠得GO=BO=DO，故∠DGB=90°，∠AGB=90°。
在Rt△AGB中，∠ABG=30°，AG=1/2 AB=3，由勾股定理得BG=√(AB² - AG²)=3√3。
③ 当G在DC边上时，如图4：
由折叠得FG=FB=DE，且FG=GE，故GE=DE，即G与D重合。过D作DM⊥AB于M，BM=4，GM=2√3，由勾股定理得BG=√(4² + (2√3)²)=2√7。
综上，点B、G之间的距离为4或3√3或2√7。
【答案】
4或$3\sqrt{3}$或$2\sqrt{7}$；参考配图
【知识点】
平行四边形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是平行四边形与折叠的综合题，需结合几何性质分情况讨论，考查学生的逻辑推理和分类思想，对几何知识的综合应用能力要求较高。
【难度系数】
0.5
