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22.(6分)(2025·台州路桥)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,连结AF,AF//CD。
(1)求证:AD=CF。
(2)若∠EFB=90°,BF=3,EF=1,求BC的长。
(1)求证:AD=CF。
(2)若∠EFB=90°,BF=3,EF=1,求BC的长。
答案
(1)证明:因为E是AB的中点,所以AE=BE,因为DF=BF,所以EF是$△ ABD$的中位线。所以EF$//$AD,所以CF$//$AD,因为AF$//$CD,所以四边形AFCD为平行四边形,所以AD=CF。
(2)解:由(1)知,EF是$△ ABD$的中位线,四边形AFCD为平行四边形,所以CF=AD=2EF=2,因为$∠ EFB=90°$,所以$∠ BFC=90°$,在Rt$△ CFB$中,BF=3,CF=2,由勾股定理得$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
(2)解:由(1)知,EF是$△ ABD$的中位线,四边形AFCD为平行四边形,所以CF=AD=2EF=2,因为$∠ EFB=90°$,所以$∠ BFC=90°$,在Rt$△ CFB$中,BF=3,CF=2,由勾股定理得$BC=\sqrt{CF^2+BF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
解析
【分析】
第(1)问要证明AD=CF，需结合中点条件和线段相等关系，先判定EF是△ABD的中位线，得到EF//AD，进而推出CF//AD；再结合已知AF//CD，可判定四边形AFCD为平行四边形，利用平行四边形对边相等即可得证。第(2)问，利用(1)中中位线性质和平行四边形性质算出CF的长度，再根据∠EFB=90°推出∠BFC=90°，最后在直角三角形中用勾股定理计算BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，
∴ AE=BE，
又
∵ DF=FB，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ EF//AD，
∴ CF//AD，
又
∵ AF//CD，
∴ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ AD=CF。
(2) 解：
由(1)知，EF是△ABD的中位线，
∴ AD=2EF，
∵ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ CF=AD，
已知EF=1，
∴ CF=2×1=2，
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠BFC=180°−∠EFB=90°，
在Rt△CFB中，BF=3，CF=2，
由勾股定理得：BC=√(CF²+BF²)=√(2²+3²)=√13。
【答案】
(1) 证明成立，AD=CF；(2) BC的长为√13
【知识点】
三角形中位线、平行四边形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是利用中点和线段平行关系推导平行四边形，再结合直角三角形性质计算边长，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.4
第(1)问要证明AD=CF，需结合中点条件和线段相等关系，先判定EF是△ABD的中位线，得到EF//AD，进而推出CF//AD；再结合已知AF//CD，可判定四边形AFCD为平行四边形，利用平行四边形对边相等即可得证。第(2)问，利用(1)中中位线性质和平行四边形性质算出CF的长度，再根据∠EFB=90°推出∠BFC=90°，最后在直角三角形中用勾股定理计算BC的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ E是AB的中点，
∴ AE=BE，
又
∵ DF=FB，
∴ EF是△ABD的中位线，
∴ EF//AD，
∴ CF//AD，
又
∵ AF//CD，
∴ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ AD=CF。
(2) 解：
由(1)知，EF是△ABD的中位线，
∴ AD=2EF，
∵ 四边形AFCD是平行四边形，
∴ CF=AD，
已知EF=1，
∴ CF=2×1=2，
∵ ∠EFB=90°，
∴ ∠BFC=180°−∠EFB=90°，
在Rt△CFB中，BF=3，CF=2，
由勾股定理得：BC=√(CF²+BF²)=√(2²+3²)=√13。
【答案】
(1) 证明成立，AD=CF；(2) BC的长为√13
【知识点】
三角形中位线、平行四边形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查三角形中位线、平行四边形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题关键是利用中点和线段平行关系推导平行四边形，再结合直角三角形性质计算边长，属于中等难度的几何证明与计算题型。
【难度系数】
0.4
23.(8分)(2025·奉化、象山、宁海)如图1,已知线段AB,BC,用无刻度的直尺和圆规求作$□ ABCD$。
以下是小颖同学的作法：
如图2,先作$∠ ABC$的平分线$BM$,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$BM$于点$E$,连结$AE$并延长,再以点$A$为圆心,$BC$长为半径画弧,交射线$AE$于点$D$,连结$AD,CD$,则四边形$ABCD$为平行四边形。
(1)小颖的作法是否正确?若正确,请给出证明。(3分)
(2)在图1中作一个与小颖不同的方法的$□ ABCD$(保留作图痕迹,不需要证明)。(2分)
(3)如图3,在小颖同学的作法的条件下,连结$EC$,若$∠ A + ∠ BCE=180°,AB=4,BC=6$,求四边形$ABCD$的面积。(3分)
以下是小颖同学的作法：
如图2,先作$∠ ABC$的平分线$BM$,以点$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,交$BM$于点$E$,连结$AE$并延长,再以点$A$为圆心,$BC$长为半径画弧,交射线$AE$于点$D$,连结$AD,CD$,则四边形$ABCD$为平行四边形。
(1)小颖的作法是否正确?若正确,请给出证明。(3分)
(2)在图1中作一个与小颖不同的方法的$□ ABCD$(保留作图痕迹,不需要证明)。(2分)
(3)如图3,在小颖同学的作法的条件下,连结$EC$,若$∠ A + ∠ BCE=180°,AB=4,BC=6$,求四边形$ABCD$的面积。(3分)
答案
(1)小颖的作法正确。因为BM平分$∠ ABC$,所以$∠ ABM=∠ CBM$。因为AE=AB,所以$∠ ABM=∠ AEB$,即$∠ AEB=∠ CBM$,所以AD$//$BC。因为AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形。
(2)作图结果参考
。(3)如图2,过点A作AF$⊥$BC,过点E作EG$⊥$BC。因为AD$//$BC,所以$∠ BAD+∠ ABC=180°$。因为$∠ BAD+∠ BCE=180°$,所以$∠ ABC=∠ BCE$。因为AF$⊥$BC,EG$⊥$BC,所以AF=EG,$∠ AFB=∠ EGC$,所以$△ AFB≌△ EGC$。因为AB=AE=4,所以FG=4。因为BC=6,所以BF=CG=1,所以由勾股定理得AF=$\sqrt{15}$,所以$S_{四边形ABCD}=BC× AF=6\sqrt{15}$。
参考配图
。解析
【分析】
本题包含三小问，第(1)问需结合角平分线、等腰三角形的性质，依据平行四边形的判定定理判断作法的正确性；第(2)问需掌握平行四边形的不同尺规作图方法；第(3)问需利用平行四边形的性质、角度关系证明三角形全等，结合勾股定理求出高，进而计算平行四边形的面积。
【解析】
(1) 小颖的作法正确，证明如下：
∵ BM平分∠ABC，
∴ ∠ABM=∠CBM。
∵ 以点A为圆心，AB长为半径画弧交BM于点E，
∴ AE=AB，即△ABE为等腰三角形，
∴ ∠ABM=∠AEB。
∴ ∠AEB=∠CBM，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD//BC。
又
∵ 以点A为圆心，BC长为半径画弧，交射线AE于点D，
∴ AD=BC。
∴ 四边形ABCD中，一组对边平行且相等，故四边形ABCD是平行四边形，作法正确。
(2) 不同的平行四边形作法：
① 以点A为圆心，BC长为半径画弧；② 以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；③ 连接AD、CD，四边形ABCD即为所求，保留两弧交点及连线的作图痕迹。
(3) 计算四边形ABCD的面积：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠BAD + ∠ABC=180°。
已知∠BAD + ∠BCE=180°，
∴ ∠ABC=∠BCE。
过点A作AF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC于G，
∵ AD//BC，AF⊥BC，EG⊥BC，
∴ AF//EG，且AE//FG，
∴ 四边形AFGE是矩形，
∴ FG=AE。
由作法知AE=AB=4，
∴ FG=4。
∵ BC=6，
∴ BF=CG=(BC - FG)/2=(6-4)/2=1。
在Rt△ABF中，AB=4，BF=1，由勾股定理得：
AF=√(AB² - BF²)=√(4² - 1²)=√15。
∴ 平行四边形ABCD的面积=底×高=BC×AF=6×√15=6√15。
【答案】
(1) 正确，证明如上；(2) 作图见上述步骤；(3) $6\sqrt{15}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、尺规作图、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的作图、判定及面积计算，需学生熟练运用几何定理进行推理，第(3)问需结合角度关系与全等三角形分析，有一定综合性。
【难度系数】
0.5
本题包含三小问，第(1)问需结合角平分线、等腰三角形的性质，依据平行四边形的判定定理判断作法的正确性；第(2)问需掌握平行四边形的不同尺规作图方法；第(3)问需利用平行四边形的性质、角度关系证明三角形全等，结合勾股定理求出高，进而计算平行四边形的面积。
【解析】
(1) 小颖的作法正确，证明如下：
∵ BM平分∠ABC，
∴ ∠ABM=∠CBM。
∵ 以点A为圆心，AB长为半径画弧交BM于点E，
∴ AE=AB，即△ABE为等腰三角形，
∴ ∠ABM=∠AEB。
∴ ∠AEB=∠CBM，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD//BC。
又
∵ 以点A为圆心，BC长为半径画弧，交射线AE于点D，
∴ AD=BC。
∴ 四边形ABCD中，一组对边平行且相等，故四边形ABCD是平行四边形，作法正确。
(2) 不同的平行四边形作法：
① 以点A为圆心，BC长为半径画弧；② 以点C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D；③ 连接AD、CD，四边形ABCD即为所求，保留两弧交点及连线的作图痕迹。
(3) 计算四边形ABCD的面积：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠BAD + ∠ABC=180°。
已知∠BAD + ∠BCE=180°，
∴ ∠ABC=∠BCE。
过点A作AF⊥BC于F，过点E作EG⊥BC于G，
∵ AD//BC，AF⊥BC，EG⊥BC，
∴ AF//EG，且AE//FG，
∴ 四边形AFGE是矩形，
∴ FG=AE。
由作法知AE=AB=4，
∴ FG=4。
∵ BC=6，
∴ BF=CG=(BC - FG)/2=(6-4)/2=1。
在Rt△ABF中，AB=4，BF=1，由勾股定理得：
AF=√(AB² - BF²)=√(4² - 1²)=√15。
∴ 平行四边形ABCD的面积=底×高=BC×AF=6×√15=6√15。
【答案】
(1) 正确，证明如上；(2) 作图见上述步骤；(3) $6\sqrt{15}$
【知识点】
平行四边形的判定与性质、尺规作图、勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形的作图、判定及面积计算，需学生熟练运用几何定理进行推理，第(3)问需结合角度关系与全等三角形分析，有一定综合性。
【难度系数】
0.5
