19.(6分)(2025·慈溪)我们把顶点在格点的四边形叫作格点四边形。如图,在$7×7$的方格纸中,已知线段$AB$,请按下列要求完成作图。

(1)在图1中作格点四边形$ABCD$,使四边形$ABCD$为中心对称图形。
(2)在图2中作格点四边形$ABCD$,使四边形$ABCD$为轴对称图形。

19.(答案不唯一)
作图结果参考。

【分析】
要完成格点四边形的作图，需结合中心对称、轴对称图形的性质：
1. 中心对称图形：绕某点旋转180°后与自身重合，平行四边形是典型的中心对称图形，因此可构造以AB为边的平行四边形，满足对边平行且相等，顶点均在格点即可。
2. 轴对称图形：沿某条直线对折后直线两侧部分完全重合，需找到合适的对称轴，使四边形顶点关于该直线对称，且所有顶点在格点上。
【解析】
(1) 作中心对称的格点四边形：
在图1中，以AB为边，根据平行四边形对边平行且相等的性质，在格点上确定点D和点C，使得AD//BC且AD=BC，AB//CD且AB=CD，连接各点即可得到中心对称的格点四边形ABCD（答案不唯一）。
(2) 作轴对称的格点四边形：
在图2中，先确定一条对称轴（如AB的垂直平分线或合适的格点直线），在对称轴另一侧找到点D和点C，使A与D、B与C关于该直线对称，且所有顶点均在格点，连接各点即可得到轴对称的格点四边形ABCD（答案不唯一）。
【答案】

【知识点】
中心对称图形、轴对称图形、格点作图
【点评】
本题结合格点作图考查中心对称与轴对称图形的性质，答案不唯一，需学生掌握两种图形的核心特征，难度适中，能有效锻炼几何作图能力。
【难度系数】
0.5

20.(6分)(2025·苍南)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的四边形称为格点四边形。在$6×6$的正方形方格纸中，点$A,B,O$均为格点(如图所示)，按下列要求画格点四边形。
(1)请在图1画一个平行四边形$ABCD$，使点$O$在它的一边上，且不与顶点重合。
(2)请在图2中画一个平行四边形$ABCD$，使点$O$在它的对角线上。

解：
(1) 在图1中，取格点C、D，满足AB//CD，AB=CD，且点O落在线段CD上、不与端点C、D重合，顺次连接A、B、C、D，所得四边形ABCD即为符合要求的平行四边形，画法不唯一。
(2) 在图2中，取格点C、D，满足点O是AC的中点，同时是BD的中点，顺次连接A、B、C、D，所得平行四边形ABCD的对角线经过点O，点O落在对角线上，即为符合要求的图形，画法不唯一。

【分析】
本题需结合平行四边形的性质在格点中作图，核心思路是利用平行四边形“对边平行且相等”“对角线互相平分”的性质，结合格点的位置特点，分别满足两小问的条件：(1)让点O落在平行四边形的某条边上且非端点；(2)让点O作为平行四边形对角线的中点，落在对角线上。
【解析】
(1) 图1中，先确定AB的方向：从B到A，横向移动1格、纵向移动2格。根据平行四边形对边平行且相等的性质，取格点C、D，使CD与AB平行且长度相等，且线段CD经过格点O，且O不与C、D重合，顺次连接A、B、C、D，得到符合要求的平行四边形ABCD（画法不唯一）。
(2) 图2中，根据平行四边形对角线互相平分的性质，点O是对角线的中点，因此找到与A关于O对称的格点C，与B关于O对称的格点D，顺次连接A、B、C、D，此时对角线AC、BD均经过点O，得到符合要求的平行四边形ABCD（画法不唯一）。
【答案】
(1) 画法不唯一，例如：在图1中，取格点C、D使CD平行且等于AB，且O在CD上（非端点），连接成平行四边形即可；
(2) 画法不唯一，例如：在图2中，取格点C、D使O为AC、BD的中点，连接成平行四边形即可。
【知识点】
平行四边形性质、格点作图
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用，结合格点作图的开放性，需熟练掌握平行四边形的核心性质，难度适中，答案不唯一，能考查学生对性质的理解与应用能力。
【难度系数】
0.5

21.(6分)(2024·玉环)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ BAC=45°,△ AEF$是由$△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转得到的,连结BE,CF相交于点D。
(1)求证:$BE=CF$。
(2)求$∠ BDC$的度数。

(1)证明:因为$△ AEF$是由$△ ABC$绕点A按顺时针方向旋转得到的,所以AE=AB,AF=AC,$∠ EAF=∠ BAC$,所以$∠ BAC+∠ CAE=∠ EAF+∠ CAE$,即$∠ EAB=∠ FAC$。又因为AB=AE,AC=AF,所以$△ ABE≌△ ACF$(SAS),所以BE=CF。
(2)解:因为$△ ABE≌△ ACF$,所以$∠ ABE=∠ ACF$。设AC与BE相交于点O(图略),因为$∠ AOB=∠ COD$,所以$∠ BDC=∠ BAC=45°$。

【分析】
要解决本题，第(1)问需利用旋转的性质得到边和角的关系，通过SAS证明三角形全等，从而证得BE=CF；第(2)问利用全等三角形的性质得到对应角相等，结合对顶角相等和三角形内角和定理，推导得出∠BDC的度数。
【解析】
(1) 证明：
∵ △AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴ 由旋转的性质可得：AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴ ∠BAC + ∠CAE = ∠EAF + ∠CAE，即∠BAE=∠CAF。
在△ABE和△ACF中，
$\{\begin{array}{l}AB=AC, \\∠BAE=∠CAF, \\AE=AF,\end{array} $
∴ △ABE≌△ACF（SAS），
∴ BE=CF。
(2) 解：
∵ △ABE≌△ACF，
∴ ∠ABE=∠ACF。
设AC与BE相交于点O，
在△AOB和△COD中，∠AOB=∠COD（对顶角相等），
根据三角形内角和为180°，可得：
∠OAB + ∠ABE + ∠AOB = ∠ODC + ∠ACF + ∠COD，
∴ ∠ODC=∠OAB，即∠BDC=∠BAC=45°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) ∠BDC=45°
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题考查旋转性质、全等三角形的判定与性质的综合应用，属于几何基础题型，需掌握旋转前后图形的对应关系，利用全等推导边和角的等量关系，难度适中。
【难度系数】
0.6