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16.(2024·诸暨)已知$□ ABCD$，$AD=5$，$∠ A$，$∠ C$的平分线$AE$，$CF$交平行四边形的边于点$E$，$F$。若$AF=1$，则$□ ABCD$的周长是________。
答案
16.18或22
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行四边形的性质和角平分线的性质，结合等腰三角形的判定分情况讨论：平行四边形对边平行且相等、对角相等，角平分线与平行线结合会形成等腰三角形；需分两种情况讨论角平分线与边的交点位置，对应不同的边长，进而计算周长。
【解析】
设平行四边形ABCD中，AB=CD=x，AD=BC=5，角A的平分线AE交BC于E，角C的平分线CF交边于F，AF=1，分两种情况：
情况1：F在AD边上
因为AD//BC，所以∠DAE=∠AEB，又AE平分∠A，故∠DAE=∠BAE，因此∠BAE=∠AEB，得AB=BE=x；
同理，CF平分∠C，AD//BC，故∠BCF=∠CFA，又∠BCF=∠DCF，所以∠DCF=∠CFA，得DF=CD=x；
已知AF=1，AD=5，故DF=AD - AF=5 - 1=4，即x=4；
此时平行四边形周长=2(AB + AD)=2(4 + 5)=18。
情况2：F在AB边上
此时AF=1，故FB=AB - AF=x - 1；
CF平分∠C，AB//CD，故∠DCF=∠CFB，又∠DCF=∠BCF，所以∠BCF=∠CFB，得BC=FB；
已知BC=5，故FB=5，即x - 1=5，解得x=6；
此时平行四边形周长=2(AB + AD)=2(6 + 5)=22。
综上，平行四边形ABCD的周长为18或22。
【答案】
18或22
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题需分情况讨论角平分线与边的交点位置，关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，进而求出边长，避免漏解。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平行四边形的性质和角平分线的性质，结合等腰三角形的判定分情况讨论：平行四边形对边平行且相等、对角相等，角平分线与平行线结合会形成等腰三角形；需分两种情况讨论角平分线与边的交点位置，对应不同的边长，进而计算周长。
【解析】
设平行四边形ABCD中，AB=CD=x，AD=BC=5，角A的平分线AE交BC于E，角C的平分线CF交边于F，AF=1，分两种情况：
情况1：F在AD边上
因为AD//BC，所以∠DAE=∠AEB，又AE平分∠A，故∠DAE=∠BAE，因此∠BAE=∠AEB，得AB=BE=x；
同理，CF平分∠C，AD//BC，故∠BCF=∠CFA，又∠BCF=∠DCF，所以∠DCF=∠CFA，得DF=CD=x；
已知AF=1，AD=5，故DF=AD - AF=5 - 1=4，即x=4；
此时平行四边形周长=2(AB + AD)=2(4 + 5)=18。
情况2：F在AB边上
此时AF=1，故FB=AB - AF=x - 1；
CF平分∠C，AB//CD，故∠DCF=∠CFB，又∠DCF=∠BCF，所以∠BCF=∠CFB，得BC=FB；
已知BC=5，故FB=5，即x - 1=5，解得x=6；
此时平行四边形周长=2(AB + AD)=2(6 + 5)=22。
综上，平行四边形ABCD的周长为18或22。
【答案】
18或22
【知识点】
平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形判定
【点评】
本题需分情况讨论角平分线与边的交点位置，关键是利用平行四边形对边平行的性质，结合角平分线得到等腰三角形，进而求出边长，避免漏解。
【难度系数】
0.5
17.(4分)(2025·玉环)如图,已知四边形BEDF为平行四边形,将线段EF两端分别延长至点A,C,使得$AE=CF$,求证:四边形ABCD是平行四边形。
答案
证明:如图,连结BD,交AC于点O,因为四边形BEDF为平行四边形,所以OE=OF,OB=OD,因为AE=CF,OA=OE+AE,OC=OF+CF,所以OA=OC,因为OB=OD,OA=OC,所以四边形ABCD是平行四边形。
解析
【分析】要证明四边形ABCD是平行四边形，可利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理。首先连接BD交AC于点O，根据已知四边形BEDF是平行四边形，能得到其对角线互相平分，即OE=OF，OB=OD；再结合AE=CF的条件，可推导出OA=OC，最终根据对角线互相平分得出结论。
【解析】证明：如图，连结BD，交AC于点O。
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴OE=OF，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵AE=CF，
∴OA=OE+AE，OC=OF+CF，
∴OA=OC。
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】证明:如图,连结BD,交AC于点O,因为四边形BEDF为平行四边形,所以OE=OF,OB=OD,因为AE=CF,OA=OE+AE,OC=OF+CF,所以OA=OC,因为OB=OD,OA=OC,所以四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，核心是利用对角线的关系证明四边形是平行四边形，解题关键是合理添加辅助线，结合已知条件推导对角线互相平分，属于几何证明中的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】证明：如图，连结BD，交AC于点O。
∵四边形BEDF为平行四边形，
∴OE=OF，OB=OD（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵AE=CF，
∴OA=OE+AE，OC=OF+CF，
∴OA=OC。
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
【答案】证明:如图,连结BD,交AC于点O,因为四边形BEDF为平行四边形,所以OE=OF,OB=OD,因为AE=CF,OA=OE+AE,OC=OF+CF,所以OA=OC,因为OB=OD,OA=OC,所以四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】平行四边形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题考查平行四边形的性质与判定，核心是利用对角线的关系证明四边形是平行四边形，解题关键是合理添加辅助线，结合已知条件推导对角线互相平分，属于几何证明中的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
18.(6分)(2025·杭州滨江)如图，E是$□ ABCD$的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F。
(1)求证:$AD=CF$。
(2)若$∠BAF=90°,BC=5,AB=8$,求EF的长。
(1)求证:$AD=CF$。
(2)若$∠BAF=90°,BC=5,AB=8$,求EF的长。
答案
(1)证明:因为在$□ ABCD$中,$AD// BC$,所以$∠ DAE=∠ F$,$∠ D=∠ ECF$,因为E是边CD的中点,所以DE=CE,所以$△ ADE≌△ FCE$(AAS),所以AD=CF。
(2)解:因为在$□ ABCD$中,AD=BC=5,所以CF=AD=5,所以BF=BC+CF=5+5=10,因为$∠ BAF=90°$,所以$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,因为$△ ADE≌△ FCE$,所以$EF=AE=\frac{1}{2}AF=3$。
(2)解:因为在$□ ABCD$中,AD=BC=5,所以CF=AD=5,所以BF=BC+CF=5+5=10,因为$∠ BAF=90°$,所以$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,因为$△ ADE≌△ FCE$,所以$EF=AE=\frac{1}{2}AF=3$。
解析
【分析】
要解决本题，分两步分析：(1) 证明AD=CF时，利用平行四边形对边平行的性质得到两组相等的角，结合E是CD中点得到一组相等的边，通过AAS判定三角形全等，进而得到对应边相等；(2) 求EF的长时，先利用平行四边形对边相等得到AD的长度，结合(1)的结论得到CF，再由直角三角形BAF用勾股定理算出AF，最后根据全等三角形对应边相等，得到EF是AF的一半，从而求出EF。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAE=∠F，∠D=∠ECF。
∵ E是CD的中点，
∴ DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠F \\∠D=∠ECF \\DE=CE\end{array} $
∴ △ADE≌△FCE（AAS），
∴ AD=CF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC=5，
由(1)知AD=CF，
∴ CF=5，
∴ BF=BC+CF=5+5=10。
∵ ∠BAF=90°，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。
∵ △ADE≌△FCE，
∴ AE=EF，
∴ $EF=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) EF的长为3。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理。
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及勾股定理的应用，解题关键是利用平行四边形性质得到角的关系，结合全等三角形判定推导边的关系，再用勾股定理计算，属于基础综合题，需掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
要解决本题，分两步分析：(1) 证明AD=CF时，利用平行四边形对边平行的性质得到两组相等的角，结合E是CD中点得到一组相等的边，通过AAS判定三角形全等，进而得到对应边相等；(2) 求EF的长时，先利用平行四边形对边相等得到AD的长度，结合(1)的结论得到CF，再由直角三角形BAF用勾股定理算出AF，最后根据全等三角形对应边相等，得到EF是AF的一半，从而求出EF。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAE=∠F，∠D=∠ECF。
∵ E是CD的中点，
∴ DE=CE。
在△ADE和△FCE中，
$\{\begin{array}{l}∠DAE=∠F \\∠D=∠ECF \\DE=CE\end{array} $
∴ △ADE≌△FCE（AAS），
∴ AD=CF。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC=5，
由(1)知AD=CF，
∴ CF=5，
∴ BF=BC+CF=5+5=10。
∵ ∠BAF=90°，
在Rt△BAF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{BF^2 - AB^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{36}=6$。
∵ △ADE≌△FCE，
∴ AE=EF，
∴ $EF=\frac{1}{2}AF=\frac{1}{2}×6=3$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) EF的长为3。
【知识点】
平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理。
【点评】
本题综合考查平行四边形、全等三角形及勾股定理的应用，解题关键是利用平行四边形性质得到角的关系，结合全等三角形判定推导边的关系，再用勾股定理计算，属于基础综合题，需掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.5
