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1.有一个角是________的平行四边形叫作矩形。矩形的四个角都是________，对角线________。
答案
1.直角 直角 相等
解析
【分析】
本题考查矩形的定义与基本性质，解题时需回忆矩形的核心概念：矩形是特殊的平行四边形，其定义为有一个角是直角的平行四边形；同时矩形具有四个角都是直角、对角线相等的性质，据此可完成填空。
【解析】
根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；结合矩形的性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等，依次填入对应内容即可。
【答案】
直角 直角 相等
【知识点】
矩形的定义 矩形的性质
【点评】
本题为基础概念识记题，侧重考查学生对矩形核心定义与性质的掌握，是初中几何的必记知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查矩形的定义与基本性质，解题时需回忆矩形的核心概念：矩形是特殊的平行四边形，其定义为有一个角是直角的平行四边形；同时矩形具有四个角都是直角、对角线相等的性质，据此可完成填空。
【解析】
根据矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形；结合矩形的性质：矩形的四个角都是直角，对角线相等，依次填入对应内容即可。
【答案】
直角 直角 相等
【知识点】
矩形的定义 矩形的性质
【点评】
本题为基础概念识记题，侧重考查学生对矩形核心定义与性质的掌握，是初中几何的必记知识点，难度较低。
【难度系数】
0.9
2.
三
个角是直角的四边形是矩形。对角线相等的平行四边形
是矩形。答案
2.三 平行四边形
解析
【分析】
要解决这道题，需结合矩形的判定定理分析：首先，四边形内角和为360°，若有三个角是直角，可推出第四个角也是直角，因此该四边形是矩形；其次，矩形的判定定理中，对角线相等的平行四边形是矩形（需注意限定为平行四边形，普通对角线相等的四边形不一定是矩形），据此可确定两个空的答案。
【解析】
1. 第一个空：四边形内角和为360°，若有三个角是直角，则第四个角为360° - 90°×3 = 90°，四个角均为直角的四边形是矩形，故填“三”；
2. 第二个空：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故填“平行四边形”。
【答案】
三；平行四边形
【知识点】
矩形的判定
【点评】
本题考查矩形的基础判定定理，属于概念识记类题目，需准确掌握不同判定条件的前提，避免混淆。
【难度系数】
0.2
要解决这道题，需结合矩形的判定定理分析：首先，四边形内角和为360°，若有三个角是直角，可推出第四个角也是直角，因此该四边形是矩形；其次，矩形的判定定理中，对角线相等的平行四边形是矩形（需注意限定为平行四边形，普通对角线相等的四边形不一定是矩形），据此可确定两个空的答案。
【解析】
1. 第一个空：四边形内角和为360°，若有三个角是直角，则第四个角为360° - 90°×3 = 90°，四个角均为直角的四边形是矩形，故填“三”；
2. 第二个空：根据矩形的判定定理，对角线相等的平行四边形是矩形，故填“平行四边形”。
【答案】
三；平行四边形
【知识点】
矩形的判定
【点评】
本题考查矩形的基础判定定理，属于概念识记类题目，需准确掌握不同判定条件的前提，避免混淆。
【难度系数】
0.2
3.一组
邻边
相等的平行四边形叫作菱形。菱形的四
条边都相等，对角线互相垂直
。答案
3.邻边 四 互相垂直
解析
【分析】
本题考查菱形的定义与性质，解题时需回忆菱形的相关基础知识，依次对应题目空缺：菱形的定义是“一组邻边相等的平行四边形”，边的特征为四条边都相等，对角线互相垂直，据此填写空缺内容。
【解析】
根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；菱形的边的性质是四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，因此依次填入的内容为邻边、四、互相垂直。
【答案】
邻边 四 互相垂直
【知识点】
菱形的定义、菱形的性质
【点评】
本题为基础概念题，直接考察菱形的核心定义与性质，属于初中数学的基础知识点，主要检验学生对基础概念的记忆掌握情况，难度较低。
【难度系数】
0.9
本题考查菱形的定义与性质，解题时需回忆菱形的相关基础知识，依次对应题目空缺：菱形的定义是“一组邻边相等的平行四边形”，边的特征为四条边都相等，对角线互相垂直，据此填写空缺内容。
【解析】
根据菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；菱形的边的性质是四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，因此依次填入的内容为邻边、四、互相垂直。
【答案】
邻边 四 互相垂直
【知识点】
菱形的定义、菱形的性质
【点评】
本题为基础概念题，直接考察菱形的核心定义与性质，属于初中数学的基础知识点，主要检验学生对基础概念的记忆掌握情况，难度较低。
【难度系数】
0.9
4.四边相等的四边形是
菱形
。对角线互相垂直
的平行四边形是菱形。答案
4.菱形 互相垂直
解析
【分析】要解答本题，需牢记菱形的判定定理：一是四边相等的四边形是菱形；二是对角线互相垂直的平行四边形是菱形。结合题目描述，对应知识点即可得出答案。
【解析】第一空：根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，因此填入菱形；第二空：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此填入互相垂直。
【答案】菱形 互相垂直
【知识点】菱形的判定定理
【点评】本题考查菱形的基础判定定理，属于概念类基础题，侧重考查学生对核心知识点的记忆与运用，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】第一空：根据菱形的判定定理，四边相等的四边形是菱形，因此填入菱形；第二空：根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，因此填入互相垂直。
【答案】菱形 互相垂直
【知识点】菱形的判定定理
【点评】本题考查菱形的基础判定定理，属于概念类基础题，侧重考查学生对核心知识点的记忆与运用，难度较低。
【难度系数】0.8
5.有一组
邻边
相等，并且有一个角是直角
的平行四边形叫做正方形。正方形的四
个角都是直角，四条边都相等
。答案
5.邻边 直角 四 相等
解析
【分析】
本题考查正方形的定义与性质，解题时需回忆正方形的核心概念：正方形是特殊的平行四边形，其定义为“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形”；同时正方形具有四个角都是直角、四条边都相等的性质，据此可依次填写空格。
【解析】
根据正方形的定义，第一个空需填“邻边”（对应“有一组邻边相等”）；第二个空需填“直角”（对应“有一个角是直角”）；根据正方形的性质，第三个空填“四”（角的数量），第四个空填“相等”（边的性质）。
【答案】
5.邻边 直角 四 相等
【知识点】
正方形的定义、正方形的性质
【点评】
本题为基础概念识记题，直接考查正方形的定义和基本性质，难度较低，牢记相关概念即可正确作答。
【难度系数】
0.8
本题考查正方形的定义与性质，解题时需回忆正方形的核心概念：正方形是特殊的平行四边形，其定义为“有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形”；同时正方形具有四个角都是直角、四条边都相等的性质，据此可依次填写空格。
【解析】
根据正方形的定义，第一个空需填“邻边”（对应“有一组邻边相等”）；第二个空需填“直角”（对应“有一个角是直角”）；根据正方形的性质，第三个空填“四”（角的数量），第四个空填“相等”（边的性质）。
【答案】
5.邻边 直角 四 相等
【知识点】
正方形的定义、正方形的性质
【点评】
本题为基础概念识记题，直接考查正方形的定义和基本性质，难度较低，牢记相关概念即可正确作答。
【难度系数】
0.8
6.正方形的对角线
相等
，并且互相垂直平分
。答案
6.相等 互相垂直平分
解析
【分析】
要解答本题，需掌握正方形对角线的性质：正方形是特殊的平行四边形，同时属于特殊的矩形和菱形，因此它的对角线兼具这三类图形对角线的特征——平行四边形对角线互相平分，矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直，结合这些性质即可得出答案。
【解析】
正方形的对角线既满足矩形对角线相等的性质，又满足菱形对角线互相垂直且平分的性质，因此正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
【答案】
相等 互相垂直平分
【知识点】
正方形的性质、对角线的性质
【点评】
本题考查正方形对角线的基础性质，属于几何学科的识记类基础题，难度较低，是需要熟练掌握的知识点。
【难度系数】
0.8
要解答本题，需掌握正方形对角线的性质：正方形是特殊的平行四边形，同时属于特殊的矩形和菱形，因此它的对角线兼具这三类图形对角线的特征——平行四边形对角线互相平分，矩形对角线相等，菱形对角线互相垂直，结合这些性质即可得出答案。
【解析】
正方形的对角线既满足矩形对角线相等的性质，又满足菱形对角线互相垂直且平分的性质，因此正方形的对角线相等，并且互相垂直平分。
【答案】
相等 互相垂直平分
【知识点】
正方形的性质、对角线的性质
【点评】
本题考查正方形对角线的基础性质，属于几何学科的识记类基础题，难度较低，是需要熟练掌握的知识点。
【难度系数】
0.8
7.有一组邻边相等的________是正方形，对角线互相垂直的矩形是正方形。有一个角是直角的________是正方形。对角线相等的菱形是正方形。
答案
7.矩形 菱形
解析
【分析】要解答本题，需牢记正方形的判定定理。正方形的判定规则中，“有一组邻边相等的矩形”满足正方形的定义（矩形四个角为直角，邻边相等则四边相等且四个角为直角，符合正方形特征）；“有一个角是直角的菱形”同样满足（菱形四边相等，有一个直角则四个角为直角，符合正方形特征），据此可确定填空内容。
【解析】根据正方形的判定定理：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形。因此题干中两个空依次应填矩形、菱形。
【答案】矩形 菱形
【知识点】正方形的判定
【点评】本题考查正方形的基础判定定理，属于概念识记类题目，难度较低，准确记忆相关判定规则即可作答。
【难度系数】0.7
【解析】根据正方形的判定定理：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形。因此题干中两个空依次应填矩形、菱形。
【答案】矩形 菱形
【知识点】正方形的判定
【点评】本题考查正方形的基础判定定理，属于概念识记类题目，难度较低，准确记忆相关判定规则即可作答。
【难度系数】0.7
例1(2025·兰溪)如图,在$□ ABCD$中,过点$A,C$分别作$AF⊥ CD$,$CE⊥ AB$,交$CD,AB$的延长线于点$F,E$。
(1)求证:四边形$AECF$为矩形。
(2)连结$AC,BD$交于点$O$,若$AC⊥ BD$,$AC=\sqrt{30}$,$BE=2$,求矩形$AECF$的周长。
(1)求证:四边形$AECF$为矩形。
(2)连结$AC,BD$交于点$O$,若$AC⊥ BD$,$AC=\sqrt{30}$,$BE=2$,求矩形$AECF$的周长。
答案
(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形,所以CD//AB,AD//BC。因为AF⊥CD,所以AF⊥AB,又因为CE⊥AB,所以AF//CE,所以四边形AECF是平行四边形。因为CE⊥AB,所以四边形AECF是矩形。
(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,所以四边形ABCD是菱形,所以AB=BC。设AB=BC=x,因为CE²=AC²-AE²=CB²-BE²,所以(√30)²-(x+2)²=x²-2²,解得x₁=3,x₂=-5(舍去)。所以CE=√5。所以矩形AECF的周长是2√5+10。
(2)解:因为四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD,所以四边形ABCD是菱形,所以AB=BC。设AB=BC=x,因为CE²=AC²-AE²=CB²-BE²,所以(√30)²-(x+2)²=x²-2²,解得x₁=3,x₂=-5(舍去)。所以CE=√5。所以矩形AECF的周长是2√5+10。
解析
【分析】
(1) 要证明四边形AECF为矩形，需先证它是平行四边形，再证有一个内角为直角。已知ABCD是平行四边形，故CD//AB，结合AF⊥CD、CE⊥AB，可推出AF//CE，从而得到四边形AECF是平行四边形，再利用垂直关系得到直角，即可证明是矩形。
(2) 由平行四边形ABCD中AC⊥BD，可判定ABCD是菱形，得AB=BC。设AB=x，用勾股定理分别表示Rt△ACE和Rt△BCE中CE的长度，根据CE相等列方程求解x，再求出CE，最后计算矩形AECF的周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD//AB，即CF//AE。
∵ AF⊥CD，CE⊥AB，
∴ AF⊥CF，CE⊥AE，且AF//CE（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴ 四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又
∵ CE⊥AB，即∠AEC=90°，
∴ 四边形AECF为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴ AB=BC。
设AB=BC=x，则AE=AB+BE=x+2，BE=2。
在Rt△ACE中，CE²=AC² - AE²=(√30)² - (x+2)²；
在Rt△BCE中，CE²=BC² - BE²=x² - 2²；
∴ (√30)² - (x+2)² = x² - 2²，
整理得：30 - (x² +4x +4) = x² -4，
即2x² +4x -30=0，化简为x² +2x -15=0，
因式分解得(x+5)(x-3)=0，解得x₁=3，x₂=-5（边长为正，舍去），
∴ AB=3，AE=3+2=5，
在Rt△BCE中，CE=√(BC² - BE²)=√(3² -2²)=√5，
∴ 矩形AECF的周长=2×(AE + CE)=2×(5 + √5)=10 + 2√5。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 矩形AECF的周长为10 + 2√5。
【知识点】
矩形判定，菱形判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与判定，以及勾股定理的应用，需熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的关系，运用方程思想求解边长，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
(1) 要证明四边形AECF为矩形，需先证它是平行四边形，再证有一个内角为直角。已知ABCD是平行四边形，故CD//AB，结合AF⊥CD、CE⊥AB，可推出AF//CE，从而得到四边形AECF是平行四边形，再利用垂直关系得到直角，即可证明是矩形。
(2) 由平行四边形ABCD中AC⊥BD，可判定ABCD是菱形，得AB=BC。设AB=x，用勾股定理分别表示Rt△ACE和Rt△BCE中CE的长度，根据CE相等列方程求解x，再求出CE，最后计算矩形AECF的周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ CD//AB，即CF//AE。
∵ AF⊥CD，CE⊥AB，
∴ AF⊥CF，CE⊥AE，且AF//CE（垂直于同一直线的两条直线平行），
∴ 四边形AECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）。
又
∵ CE⊥AB，即∠AEC=90°，
∴ 四边形AECF为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴ AB=BC。
设AB=BC=x，则AE=AB+BE=x+2，BE=2。
在Rt△ACE中，CE²=AC² - AE²=(√30)² - (x+2)²；
在Rt△BCE中，CE²=BC² - BE²=x² - 2²；
∴ (√30)² - (x+2)² = x² - 2²，
整理得：30 - (x² +4x +4) = x² -4，
即2x² +4x -30=0，化简为x² +2x -15=0，
因式分解得(x+5)(x-3)=0，解得x₁=3，x₂=-5（边长为正，舍去），
∴ AB=3，AE=3+2=5，
在Rt△BCE中，CE=√(BC² - BE²)=√(3² -2²)=√5，
∴ 矩形AECF的周长=2×(AE + CE)=2×(5 + √5)=10 + 2√5。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 矩形AECF的周长为10 + 2√5。
【知识点】
矩形判定，菱形判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查特殊四边形的性质与判定，以及勾股定理的应用，需熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的关系，运用方程思想求解边长，是中等难度的几何综合题。
【难度系数】
0.5
1.(2024·杭州西湖)在四边形ABCD中，AD//BC，AB=CD。若要使四边形ABCD为矩形，则添加的条件是（
A.AB//CD
B.AD=BC
C.∠A=∠B
D.∠A=∠D
C
）A.AB//CD
B.AD=BC
C.∠A=∠B
D.∠A=∠D
答案
1.C
解析
【分析】首先，已知四边形ABCD中AD//BC且AB=CD，可判断该四边形可能为等腰梯形（一组对边平行且另一组对边相等的四边形为等腰梯形，特殊情况为平行四边形）。要使其成为矩形，需结合矩形的判定定理，逐一分析选项能否将原四边形转化为矩形。
【解析】已知AD//BC，AB=CD，故四边形ABCD为等腰梯形（或平行四边形）。逐一分析选项：
选项A：AB//CD，此时AD//BC且AB//CD，四边形为平行四边形，虽满足AB=CD，但平行四边形不一定是矩形，排除；
选项B：AD=BC，此时AD//BC且AD=BC，四边形为平行四边形，同理平行四边形不一定是矩形，排除；
选项C：∠A=∠B，因AD//BC，同旁内角互补，故∠A+∠B=180°，结合∠A=∠B得∠A=∠B=90°，等腰梯形中同一底上的角相等，故∠A=∠D=90°，∠B=∠C=90°，四个角均为直角，四边形为矩形，符合要求；
选项D：∠A=∠D，等腰梯形中∠A=∠D，∠B=∠C，此时仍为等腰梯形，不一定是矩形，排除。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】矩形的判定、等腰梯形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题考查特殊四边形的判定，需熟练掌握等腰梯形、平行四边形、矩形的性质与判定，关键是根据已知条件明确原四边形类型，再结合选项推导是否满足矩形条件，易混淆特殊四边形的判定定理导致出错。
【难度系数】0.4
【解析】已知AD//BC，AB=CD，故四边形ABCD为等腰梯形（或平行四边形）。逐一分析选项：
选项A：AB//CD，此时AD//BC且AB//CD，四边形为平行四边形，虽满足AB=CD，但平行四边形不一定是矩形，排除；
选项B：AD=BC，此时AD//BC且AD=BC，四边形为平行四边形，同理平行四边形不一定是矩形，排除；
选项C：∠A=∠B，因AD//BC，同旁内角互补，故∠A+∠B=180°，结合∠A=∠B得∠A=∠B=90°，等腰梯形中同一底上的角相等，故∠A=∠D=90°，∠B=∠C=90°，四个角均为直角，四边形为矩形，符合要求；
选项D：∠A=∠D，等腰梯形中∠A=∠D，∠B=∠C，此时仍为等腰梯形，不一定是矩形，排除。
综上，答案为C。
【答案】C
【知识点】矩形的判定、等腰梯形的性质、平行四边形的判定
【点评】本题考查特殊四边形的判定，需熟练掌握等腰梯形、平行四边形、矩形的性质与判定，关键是根据已知条件明确原四边形类型，再结合选项推导是否满足矩形条件，易混淆特殊四边形的判定定理导致出错。
【难度系数】0.4
