2.(2025·湖州吴兴、长兴)如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,F,G分别是AE,AD的中点。
(1)求证:△ABE是等腰直角三角形。
(2)若AD=4,AB=3,求FG的长。

(1)证明:因为AE平分∠BAD,所以∠BAE=∠DAE。因为在矩形ABCD中,∠B=90°,AD//BC,所以∠DAE=∠AEB。所以∠BAE=∠AEB,所以AB=BE。所以△ABE是等腰直角三角形。
(2)解:如图,连结DE。由(1)可得BE=AB=3,因为在矩形ABCD中,∠C=90°,BC=AD=4,DC=AB=3,所以EC=BC-BE=1,所以在Rt△DCE中,DE=√(DC²+EC²)=√10。因为F,G分别是AE,AD的中点,所以FG=1/2 DE=√10/2。

【分析】
要解决本题，分两小问逐步推导：第(1)问需证明△ABE是等腰直角三角形，先利用角平分线得∠BAE=∠DAE，结合矩形对边平行的性质，推出∠DAE=∠AEB，进而得到∠BAE=∠AEB，得出AB=BE，结合矩形∠B为直角即可完成证明；第(2)问求FG的长，F、G是AE、AD中点，根据三角形中位线定理，FG是△ADE的中位线，故FG=1/2 DE，因此需先求DE的长度，利用矩形性质算出EC，再用勾股定理计算DE，最终得到FG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE。
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD//BC，
∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
又
∵∠B=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形。
(2) 解：连接DE，
由(1)得BE=AB=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=4，DC=AB=3，∠C=90°，
∴EC=BC - BE = 4 - 3 = 1，
在Rt△DCE中，DE=√(DC² + EC²)=√(3² + 1²)=√10，
∵F、G分别是AE、AD的中点，
∴FG是△ADE的中位线，
∴FG=1/2 DE= (1/2)×√10=√10/2。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) FG的长为$\frac{\sqrt{10}}{2}$
【知识点】
矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、等腰三角形判定、三角形中位线定理及勾股定理，解题关键是利用角平分线与平行线推导等角，结合中位线定理转化线段，属于中等难度的几何综合题，适合多数学生掌握解答方法。
【难度系数】
0.5

例2(2024·浦江)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,AD=BC,对角线AC,BD交于点O,BD平分∠ABC,过点C作CE⊥AC,交AD延长线于点E。
(1)求证:四边形ABCD是菱形。
(2)若EC=6,AC=8,求四边形ABCD的面积。

(1)证明:因为AD//BC,AD=BC,所以四边形ABCD是平行四边形,所以∠ADB=∠CBD。因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠CBD,所以∠ADB=∠ABD,所以AD=AB,所以四边形ABCD是菱形。
(2)解:由(1)可知,四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD。因为CE⊥AC,所以CE//BD。因为AE//BC,所以四边形BCED是平行四边形,所以BD=EC=6,所以S菱形ABCD=1/2 AC·BD=1/2 ×8×6=24。

【分析】
要解决本题，分两小问分析：(1)证明四边形ABCD是菱形，先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判定其为平行四边形，再结合角平分线性质推出邻边相等，进而得到菱形；(2)求菱形面积，需利用菱形对角线垂直的性质，结合CE⊥AC推出CE//BD，再由AD//BC得到四边形BCED是平行四边形，从而得到BD的长度，最后用菱形面积公式计算。
【解析】
(1) 证明：
∵ AD//BC，AD=BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴ ∠ADB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∵ BD平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠CBD，
∴ ∠ADB=∠ABD，
∴ AB=AD（等角对等边），
∴ 平行四边形ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
由(1)知四边形ABCD是菱形，
∴ AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）。
∵ CE⊥AC，
∴ CE//BD（垂直于同一直线的两条直线平行）。
又
∵ AE//BC（AD//BC，E在AD延长线上，故AE//BC），
∴ 四边形BCED是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ BD=EC=6（平行四边形对边相等）。
∵ AC=8，
∴ S菱形ABCD = $\frac{1}{2}$×AC×BD = $\frac{1}{2}$×8×6 = 24。
【答案】
(1) 证明：因为AD//BC，AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，所以∠ADB=∠CBD。因为BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠CBD，所以∠ADB=∠ABD，所以AD=AB，所以四边形ABCD是菱形。
(2) 解：由(1)可知，四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD。因为CE⊥AC，所以CE//BD。因为AE//BC，所以四边形BCED是平行四边形，所以BD=EC=6，所以S菱形ABCD=$\frac{1}{2}$AC·BD=$\frac{1}{2}$×8×6=24。
【知识点】
菱形的判定，平行四边形的判定，菱形的面积计算
【点评】
本题综合考查平行四边形、菱形的判定与性质，以及菱形面积公式的应用，解题关键是熟练运用相关几何定理逐步推导，属于中等难度的几何证明与计算题。
【难度系数】
0.5

3.(2025·奉化、象山、宁海)如图,在矩形ABCD中,O是对角线BD的中点,E是边AD上的点,连结EO并延长交BC于点F,且EF$⊥$BD。
(1)求证:四边形BFDE是菱形。
(2)若$AB=2,AD=5$,求四边形BFDE的周长。

(1)证明:因为O是BD中点,所以OB=OD。因为在△ODE和△OBF中,∠EOD=∠FOB,OD=OB,∠EDO=∠FBO,所以△ODE≌△OBF(ASA),所以OE=OF,所以四边形BFDE是平行四边形,因为EF⊥BD,所以四边形BFDE是菱形。
(2)解:设DE=x,则BE=x,AE=5-x,所以由勾股定理,得2²+(5-x)²=x²,解得x=29/10,所以四边形BFDE的周长为29/10 ×4=58/5。

【分析】
要解决本题，分两步思考：
1. 证明四边形BFDE是菱形：先利用矩形对边平行的性质，结合O是BD中点，通过ASA证明△ODE≌△OBF，得到OE=OF，结合OB=OD，可证四边形BFDE是平行四边形；再根据EF⊥BD，利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，即可得证。
2. 计算菱形BFDE的周长：利用菱形四边相等，设DE=x，则BE=x，AE=5-x，在Rt△ABE中，由勾股定理列方程求解x，再乘以4得到周长。
【解析】
(1) 证明：
∵ O是BD的中点，
∴ OB=OD。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，
∴ ∠EDO=∠FBO。
在△ODE和△OBF中：
$\{\begin{array}{l}∠EDO=∠FBO \\OD=OB \\∠EOD=∠FOB\end{array} $
∴ △ODE≌△OBF（ASA），
∴ OE=OF。
又
∵ OB=OD，
∴ 四边形BFDE是平行四边形。
∵ EF⊥BD，
∴ 平行四边形BFDE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
(2) 解：
设DE=x，
∵ 四边形BFDE是菱形，
∴ BE=DE=x。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=90°，AD=5，AB=2，
∴ AE=AD - DE=5 - x。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：$AB^2 + AE^2 = BE^2$，
即 $2^2 + (5 - x)^2 = x^2$，
展开得：$4 + 25 - 10x + x^2 = x^2$，
化简得：$29 - 10x = 0$，解得 $x=\frac{29}{10}$。
∴ 四边形BFDE的周长为 $4x = 4×\frac{29}{10} = \frac{58}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{58}{5}$
【知识点】
矩形的性质，菱形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形、菱形的性质与判定，以及勾股定理的应用，解题时需先利用全等三角形证明平行四边形，再结合对角线垂直判定菱形；第二问通过设未知数，利用勾股定理建立方程求解，是几何计算中常用的方法，难度适中。
【难度系数】
0.6