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例3(2024·新昌)如图,在矩形ABCD中,E是边CD上一点,F是CB的延长线上一点,连结AE,AF,已知$BF=DE,AF⊥AE$。
(1)求证:四边形ABCD是正方形。
(2)若$∠DAE=30°,DE=1$,求四边形AECB的面积。
(1)求证:四边形ABCD是正方形。
(2)若$∠DAE=30°,DE=1$,求四边形AECB的面积。
答案
(1)证明:因为四边形ABCD是矩形,所以∠D=∠ABC=∠BAD=90°。所以∠BAE+∠DAE=90°,∠ABF=∠D=90°。因为AF⊥AE,所以∠BAE+∠BAF=90°,所以∠BAF=∠DAE。因为BF=DE,所以△BAF≌△DAE(AAS),所以AB=AD,所以四边形ABCD是正方形。
(2)解:因为∠DAE=30°,DE=1,所以AE=2DE=2,所以AD=√(AE²-DE²)=√3。所以S四边形AECB=S正方形ABCD - S△ADE=(√3)² - 1/2 ×1×√3=3 - √3/2。
(2)解:因为∠DAE=30°,DE=1,所以AE=2DE=2,所以AD=√(AE²-DE²)=√3。所以S四边形AECB=S正方形ABCD - S△ADE=(√3)² - 1/2 ×1×√3=3 - √3/2。
解析
【分析】
第(1)问：要证明矩形ABCD是正方形，需依据“邻边相等的矩形是正方形”的判定，结合已知条件，通过证明△BAF≌△DAE得到AB=AD，从而完成证明；第(2)问：在Rt△ADE中，利用30°角的直角三角形性质求出AE，再用勾股定理得到AD，四边形AECB的面积等于正方形ABCD的面积减去△ADE的面积，代入计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABF=180°−∠ABC=90°，即∠ABF=∠D=90°。
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE + ∠BAF=90°，
又
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE + ∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE。
在△BAF和△DAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠D \\∠BAF=∠DAE \\BF=DE\end{array} $
∴△BAF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD，
又
∵四边形ABCD是矩形，邻边相等，
∴矩形ABCD是正方形。
(2) 解：在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=1，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AE=2DE=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{AE^2 - DE^2}$=$\sqrt{2^2 -1^2}$=$\sqrt{3}$，
正方形ABCD的面积为：$AD^2$=($\sqrt{3}$)$^2$=3，
△ADE的面积为：$\frac{1}{2}×DE×AD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形AECB的面积=正方形ABCD的面积−△ADE的面积=3−$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是正方形；(2) $3 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
正方形的判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形的判定与面积计算，通过全等三角形推导矩形邻边相等是解题关键，利用直角三角形特殊性质求边长，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
第(1)问：要证明矩形ABCD是正方形，需依据“邻边相等的矩形是正方形”的判定，结合已知条件，通过证明△BAF≌△DAE得到AB=AD，从而完成证明；第(2)问：在Rt△ADE中，利用30°角的直角三角形性质求出AE，再用勾股定理得到AD，四边形AECB的面积等于正方形ABCD的面积减去△ADE的面积，代入计算即可。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠ABF=180°−∠ABC=90°，即∠ABF=∠D=90°。
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠BAE + ∠BAF=90°，
又
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE + ∠DAE=90°，
∴∠BAF=∠DAE。
在△BAF和△DAE中：
$\{\begin{array}{l}∠ABF=∠D \\∠BAF=∠DAE \\BF=DE\end{array} $
∴△BAF≌△DAE(AAS)，
∴AB=AD，
又
∵四边形ABCD是矩形，邻边相等，
∴矩形ABCD是正方形。
(2) 解：在Rt△ADE中，∠DAE=30°，DE=1，
∵直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴AE=2DE=2，
由勾股定理得：AD=$\sqrt{AE^2 - DE^2}$=$\sqrt{2^2 -1^2}$=$\sqrt{3}$，
正方形ABCD的面积为：$AD^2$=($\sqrt{3}$)$^2$=3，
△ADE的面积为：$\frac{1}{2}×DE×AD$=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴四边形AECB的面积=正方形ABCD的面积−△ADE的面积=3−$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
【答案】
(1) 四边形ABCD是正方形；(2) $3 - \frac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
正方形的判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查正方形的判定与面积计算，通过全等三角形推导矩形邻边相等是解题关键，利用直角三角形特殊性质求边长，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.5
4.(2024·余姚)如图,已知$□ ABCD$,从下列四个条件中选两个作为补充条件,使$□ ABCD$成为正方形。①$AB=BC$;②$AC⊥BD$;③$∠ABC=90°$;④$AC=BD$。则下列四种选法中错误的是(
A.①②
B.①③
C.②③
D.①④
A
)A.①②
B.①③
C.②③
D.①④
答案
4.A
解析
【分析】
要解决本题，需明确平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理：平行四边形中，一组邻边相等（①）或对角线垂直（②）可判定为菱形；有一个角是直角（③）或对角线相等（④）可判定为矩形；正方形需同时满足菱形和矩形的判定条件。逐个分析选项中两个条件组合后能否使平行四边形ABCD成为正方形，找出错误选法。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合各条件的作用分析：
条件①AB=BC：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
条件②AC⊥BD：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
条件③∠ABC=90°：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
条件④AC=BD：对角线相等的平行四边形是矩形。
对各选项逐一分析：
选项A：选①和②，两个条件都只能判定平行四边形为菱形，菱形不一定是正方形，无法得到正方形，该选法错误；
选项B：选①和③，菱形（①）+矩形（③），可判定平行四边形为正方形，该选法正确；
选项C：选②和③，菱形（②）+矩形（③），可判定平行四边形为正方形，该选法正确；
选项D：选①和④，菱形（①）+矩形（④），可判定平行四边形为正方形，该选法正确。
因此错误的选法是A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定，平行四边形、菱形、矩形的判定
【点评】
本题考查正方形的判定，核心是掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理，明确正方形需同时具备菱形和矩形的特征，属于基础几何题，需理清各图形判定的逻辑关系。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需明确平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理：平行四边形中，一组邻边相等（①）或对角线垂直（②）可判定为菱形；有一个角是直角（③）或对角线相等（④）可判定为矩形；正方形需同时满足菱形和矩形的判定条件。逐个分析选项中两个条件组合后能否使平行四边形ABCD成为正方形，找出错误选法。
【解析】
已知四边形ABCD是平行四边形，结合各条件的作用分析：
条件①AB=BC：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
条件②AC⊥BD：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
条件③∠ABC=90°：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
条件④AC=BD：对角线相等的平行四边形是矩形。
对各选项逐一分析：
选项A：选①和②，两个条件都只能判定平行四边形为菱形，菱形不一定是正方形，无法得到正方形，该选法错误；
选项B：选①和③，菱形（①）+矩形（③），可判定平行四边形为正方形，该选法正确；
选项C：选②和③，菱形（②）+矩形（③），可判定平行四边形为正方形，该选法正确；
选项D：选①和④，菱形（①）+矩形（④），可判定平行四边形为正方形，该选法正确。
因此错误的选法是A。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定，平行四边形、菱形、矩形的判定
【点评】
本题考查正方形的判定，核心是掌握平行四边形、菱形、矩形的判定定理，明确正方形需同时具备菱形和矩形的特征，属于基础几何题，需理清各图形判定的逻辑关系。
【难度系数】
0.5
5.(2025·温岭)如图,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上且DM=1,N是对角线AC上一动点,则DN+MN的最小值为
5
。答案
5.5
解析
【解析】
1. 利用正方形的对称性：正方形ABCD中，对角线AC是线段BD的垂直平分线，因此点D关于AC的对称点为点B，可得DN=BN，因此DN+MN=BN+MN。
2. 求最短路径：根据两点之间线段最短，当B、N、M三点共线时，BN+MN取得最小值，该最小值即为线段BM的长度。
3. 计算BM的长度：已知正方形边长为4，DM=1，因此CM=DC-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BC=4，CM=3，由勾股定理得$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，即DN+MN的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
正方形对称性；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题属于轴对称求最短距离的经典题型，核心是利用正方形对角线的对称性质将两条线段的和转化为两点间的线段，再结合勾股定理计算长度，解题的关键是准确找到定点的对称点完成线段转化。
【难度系数】
0.6
1. 利用正方形的对称性：正方形ABCD中，对角线AC是线段BD的垂直平分线，因此点D关于AC的对称点为点B，可得DN=BN，因此DN+MN=BN+MN。
2. 求最短路径：根据两点之间线段最短，当B、N、M三点共线时，BN+MN取得最小值，该最小值即为线段BM的长度。
3. 计算BM的长度：已知正方形边长为4，DM=1，因此CM=DC-DM=4-1=3，在Rt△BCM中，BC=4，CM=3，由勾股定理得$BM=\sqrt{BC^2+CM^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$，即DN+MN的最小值为5。
【答案】
5
【知识点】
正方形对称性；最短路径问题；勾股定理
【点评】
本题属于轴对称求最短距离的经典题型，核心是利用正方形对角线的对称性质将两条线段的和转化为两点间的线段，再结合勾股定理计算长度，解题的关键是准确找到定点的对称点完成线段转化。
【难度系数】
0.6
例4(2025·杭州滨江)已知 BD 是$□ ABCD$的对角线,小滨和小江分别用尺规作特殊的平行四边形:
(1)小滨:如图1,作 BD 的中垂线,分别交 BC,AD,BD 于点 E,F,O,连结 BF,DE,则得到的四边形 BEDF 是菱形。请问小滨的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由。
(2)小江:如图2,过 BD 中点 O 作直线 MQ,分别交 AB,CD 于点 M,Q。以点 O 为圆心,OM 长为半径画弧,与边 AD 交于点 N,连结 NO 并延长 NO 交 BC 于点 P,连结 MN,NQ,QP,PM,则得到的四边形 MPQN 是矩形。请问小江的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由。
(1)小滨:如图1,作 BD 的中垂线,分别交 BC,AD,BD 于点 E,F,O,连结 BF,DE,则得到的四边形 BEDF 是菱形。请问小滨的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由。
(2)小江:如图2,过 BD 中点 O 作直线 MQ,分别交 AB,CD 于点 M,Q。以点 O 为圆心,OM 长为半径画弧,与边 AD 交于点 N,连结 NO 并延长 NO 交 BC 于点 P,连结 MN,NQ,QP,PM,则得到的四边形 MPQN 是矩形。请问小江的作法是否正确?若正确,请证明;若不正确,请说明理由。
答案
(1)小滨的作法正确。因为EF垂直平分BD,所以BF=DF,所以∠DFO=∠BFO,因为在□ABCD中,AD//BC,所以∠DFO=∠BEO,所以∠BFO=∠BEO,所以BE=BF,所以BE=DF(或证OE=OF),又因为BE//DF(或证OB=OD),所以四边形BEDF是平行四边形,又因为BE=BF,所以四边形BEDF是菱形。
(2)小江的作法正确,因为在□ABCD中,AB//CD,所以∠ABO=∠ODC,因为O为BD中点,所以BO=DO,又因为∠MOB=∠QOD,所以△BOM≌△DOQ(ASA),所以MO=QO。同理可证,△DNO≌△BPO,所以NO=PO,所以四边形MNQP是平行四边形,又因为MO=NO,所以MQ=PN,所以四边形MPQN是矩形。
(2)小江的作法正确,因为在□ABCD中,AB//CD,所以∠ABO=∠ODC,因为O为BD中点,所以BO=DO,又因为∠MOB=∠QOD,所以△BOM≌△DOQ(ASA),所以MO=QO。同理可证,△DNO≌△BPO,所以NO=PO,所以四边形MNQP是平行四边形,又因为MO=NO,所以MQ=PN,所以四边形MPQN是矩形。
解析
【分析】
(1) 要判断小滨的作法是否正确，需证明四边形BEDF是菱形。首先，EF是BD的中垂线，可得OB=OD，EF⊥BD，且BF=DF；再利用平行四边形ABCD中AD//BC，结合角的关系证明△DOF≌△BOE，得到DF=BE，结合DF//BE，可证四边形BEDF是平行四边形；最后由BF=DF，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得证。
(2) 要判断小江的作法是否正确，需证明四边形MPQN是矩形。先利用平行四边形ABCD中AB//CD，O是BD中点，证明△BOM≌△DOQ，得OM=OQ；同理证明△DNO≌△BPO，得ON=OP，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，证得MPQN是平行四边形；再由尺规作图得OM=ON，推出MQ=PN，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可得证。
【解析】
(1) 小滨的作法正确，证明如下：
∵EF是BD的中垂线，
∴OB=OD，EF⊥BD，BF=DF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO。
在△DOF和△BOE中，
$\{\begin{array}{l}∠DFO=∠BEO \\∠FDO=∠EBO \\OD=OB\end{array} $
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF=BE。
又
∵DF//BE（AD//BC），
∴四边形BEDF是平行四边形。
又
∵BF=DF，
∴平行四边形BEDF是菱形，即小滨的作法正确。
(2) 小江的作法正确，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠ABO=∠ODC。
∵O是BD中点，
∴OB=OD。
在△BOM和△DOQ中，
$\{\begin{array}{l}∠ABO=∠ODC \\OB=OD \\∠MOB=∠QOD\end{array} $
∴△BOM≌△DOQ（ASA），
∴OM=OQ。
同理，在△DNO和△BPO中，
$\{\begin{array}{l}∠NDO=∠PBO \\OD=OB \\∠DON=∠BOP\end{array} $
∴△DNO≌△BPO（ASA），
∴ON=OP。
∴四边形MPQN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵以O为圆心，OM长为半径画弧得点N，
∴OM=ON，
∴MQ=OM+OQ=2OM，PN=ON+OP=2ON，
∴MQ=PN。
∴平行四边形MPQN是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），即小江的作法正确。
【答案】
(1) 小滨的作法正确；(2) 小江的作法正确，证明见解析。
【知识点】
菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，需熟练运用平行四边形、菱形、矩形的判定定理，通过全等三角形推导边和角的关系，逻辑推理要求较高，是中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.5
(1) 要判断小滨的作法是否正确，需证明四边形BEDF是菱形。首先，EF是BD的中垂线，可得OB=OD，EF⊥BD，且BF=DF；再利用平行四边形ABCD中AD//BC，结合角的关系证明△DOF≌△BOE，得到DF=BE，结合DF//BE，可证四边形BEDF是平行四边形；最后由BF=DF，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，即可得证。
(2) 要判断小江的作法是否正确，需证明四边形MPQN是矩形。先利用平行四边形ABCD中AB//CD，O是BD中点，证明△BOM≌△DOQ，得OM=OQ；同理证明△DNO≌△BPO，得ON=OP，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，证得MPQN是平行四边形；再由尺规作图得OM=ON，推出MQ=PN，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，即可得证。
【解析】
(1) 小滨的作法正确，证明如下：
∵EF是BD的中垂线，
∴OB=OD，EF⊥BD，BF=DF。
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DFO=∠BEO，∠FDO=∠EBO。
在△DOF和△BOE中，
$\{\begin{array}{l}∠DFO=∠BEO \\∠FDO=∠EBO \\OD=OB\end{array} $
∴△DOF≌△BOE（AAS），
∴DF=BE。
又
∵DF//BE（AD//BC），
∴四边形BEDF是平行四边形。
又
∵BF=DF，
∴平行四边形BEDF是菱形，即小滨的作法正确。
(2) 小江的作法正确，证明如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠ABO=∠ODC。
∵O是BD中点，
∴OB=OD。
在△BOM和△DOQ中，
$\{\begin{array}{l}∠ABO=∠ODC \\OB=OD \\∠MOB=∠QOD\end{array} $
∴△BOM≌△DOQ（ASA），
∴OM=OQ。
同理，在△DNO和△BPO中，
$\{\begin{array}{l}∠NDO=∠PBO \\OD=OB \\∠DON=∠BOP\end{array} $
∴△DNO≌△BPO（ASA），
∴ON=OP。
∴四边形MPQN是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又
∵以O为圆心，OM长为半径画弧得点N，
∴OM=ON，
∴MQ=OM+OQ=2OM，PN=ON+OP=2ON，
∴MQ=PN。
∴平行四边形MPQN是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），即小江的作法正确。
【答案】
(1) 小滨的作法正确；(2) 小江的作法正确，证明见解析。
【知识点】
菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题结合尺规作图考查特殊四边形的判定，需熟练运用平行四边形、菱形、矩形的判定定理，通过全等三角形推导边和角的关系，逻辑推理要求较高，是中等难度的几何证明题。
【难度系数】
0.5
