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19.(8分)(德清县)某班同学到距学校12 km的博物馆参观。一部分同学骑自行车先行,半小时后,其余同学乘汽车出发,结果他们同时到达。已知汽车的平均速度是自行车平均速度的3倍,求自行车和汽车的平均速度。
答案
设自行车的平均速度为$x$(km/h)。由题意得$\dfrac{12}{x}=\dfrac{12}{3x}+\dfrac{1}{2}$,解得$x=16$。经检验,$x=16$是原方程的解,且符合题意。所以汽车的平均速度为$3×16=48$(km/h)。
解析
【分析】
本题是行程问题的分式方程应用，解题思路如下：1. 确定等量关系：自行车行驶12km的时间 = 汽车行驶12km的时间 + 先行的半小时（即$\frac{1}{2}$小时）；2. 设未知数：设自行车平均速度为$x$ km/h，则汽车速度为$3x$ km/h；3. 根据“时间=路程÷速度”，结合等量关系列出分式方程；4. 解方程后需检验，确保解是原方程的解且符合实际意义；5. 计算汽车的平均速度。
【解析】
设自行车的平均速度为$x$ km/h，则汽车的平均速度为$3x$ km/h。
根据题意，可列方程：
$\frac{12}{x} = \frac{12}{3x} + \frac{1}{2}$
去分母，两边同乘$6x$得：
$72 = 24 + 3x$
移项计算得：
$3x = 48 \implies x = 16$
经检验，当$x=16$时，$6x=96≠0$，所以$x=16$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则汽车的平均速度为：$3×16 = 48$（km/h）。
【答案】
自行车的平均速度为16 km/h，汽车的平均速度为48 km/h。
【知识点】
分式方程的应用，行程问题
【点评】
本题为行程类分式方程应用题，核心是利用时间差建立等量关系，需注意解分式方程必须检验，确保解符合实际情境，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题是行程问题的分式方程应用，解题思路如下：1. 确定等量关系：自行车行驶12km的时间 = 汽车行驶12km的时间 + 先行的半小时（即$\frac{1}{2}$小时）；2. 设未知数：设自行车平均速度为$x$ km/h，则汽车速度为$3x$ km/h；3. 根据“时间=路程÷速度”，结合等量关系列出分式方程；4. 解方程后需检验，确保解是原方程的解且符合实际意义；5. 计算汽车的平均速度。
【解析】
设自行车的平均速度为$x$ km/h，则汽车的平均速度为$3x$ km/h。
根据题意，可列方程：
$\frac{12}{x} = \frac{12}{3x} + \frac{1}{2}$
去分母，两边同乘$6x$得：
$72 = 24 + 3x$
移项计算得：
$3x = 48 \implies x = 16$
经检验，当$x=16$时，$6x=96≠0$，所以$x=16$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则汽车的平均速度为：$3×16 = 48$（km/h）。
【答案】
自行车的平均速度为16 km/h，汽车的平均速度为48 km/h。
【知识点】
分式方程的应用，行程问题
【点评】
本题为行程类分式方程应用题，核心是利用时间差建立等量关系，需注意解分式方程必须检验，确保解符合实际情境，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
20.(10分)(慈溪市)小明在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：
$a,b$表示两个正数,分别把它们作为分子、分母得到两个分式$\dfrac{b}{a},\dfrac{a}{b}$。如果这两个正数的和等于它们的积,即$a+b=ab$,那么这两个分式的和比这两个正数的积小2,即$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$比$ab$小2。
(1)任意写出两组符合条件$a+b=ab$的正数$a,b$。
(2)选(1)中两组$a,b$值中的一组值,验证小明的结论:$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$比$ab$小2。
(3)在$a,b$为任意正数的情形下,验证小明的结论。
$a,b$表示两个正数,分别把它们作为分子、分母得到两个分式$\dfrac{b}{a},\dfrac{a}{b}$。如果这两个正数的和等于它们的积,即$a+b=ab$,那么这两个分式的和比这两个正数的积小2,即$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$比$ab$小2。
(1)任意写出两组符合条件$a+b=ab$的正数$a,b$。
(2)选(1)中两组$a,b$值中的一组值,验证小明的结论:$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}$比$ab$小2。
(3)在$a,b$为任意正数的情形下,验证小明的结论。
答案
(1)答案不唯一,如$a=2$,$b=2$或$a=3$,$b=1.5$。
(2)如取$a=2$,$b=2$,因为$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{2}=2$,$ab-2=2×2-2=2$,所以$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=ab-2$。
(3)因为$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2+a^2}{ab}=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{ab}$,又因为$a+b=ab$,所以$\dfrac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\dfrac{a^2b^2-2ab}{ab}=ab-2$。所以$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=ab-2$。
(2)如取$a=2$,$b=2$,因为$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{2}{2}+\dfrac{2}{2}=2$,$ab-2=2×2-2=2$,所以$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=ab-2$。
(3)因为$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=\dfrac{b^2+a^2}{ab}=\dfrac{(a+b)^2-2ab}{ab}$,又因为$a+b=ab$,所以$\dfrac{(a+b)^2-2ab}{ab}=\dfrac{a^2b^2-2ab}{ab}=ab-2$。所以$\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{b}=ab-2$。
解析
【分析】
本题分为三小问，解题思路如下：第(1)问可将等式$a+b=ab$变形为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，据此易找到满足条件的正数$a,b$；第(2)问只需从第(1)问的结果中任选一组，分别计算$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$和$ab-2$的值，比较是否相等即可；第(3)问需对分式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分，结合完全平方公式变形分子，再利用已知条件$a+b=ab$代入化简，证明结论对任意满足条件的正数都成立。
【解析】
(1) 对$a+b=ab$（$a,b$为正数）两边同除以$ab$，得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$。
取$a=2$，代入得$\frac{1}{b}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解得$b=2$；
取$a=3$，代入得$\frac{1}{b}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，解得$b=\frac{3}{2}$。
故两组符合条件的数为$a=2,b=2$或$a=3,b=1.5$（答案不唯一）。
(2) 选取$a=2,b=2$验证：
计算$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=1+1=2$；
计算$ab-2=2×2-2=2$；
因此$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$，验证结论成立。
(3) 对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分得：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}$
由完全平方公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入上式得：
$\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
已知$a+b=ab$，将其代入得：
$\frac{(ab)^2-2ab}{ab}=\frac{ab(ab-2)}{ab}=ab-2$
故对任意满足$a,b$为正数且$a+b=ab$的情况，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$，结论成立。
【答案】
(1) 如$a=2,b=2$或$a=3,b=1.5$（答案不唯一）；
(2) 取$a=2,b=2$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2$，$ab-2=2$，故$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$，验证成立；
(3) 证明成立，即$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$。
【知识点】
分式的运算，完全平方公式，代数式化简
【点评】
本题通过“特殊到一般”的思路，先利用具体数值验证结论，再推导一般情况，考查分式通分、完全平方公式的应用，是代数基础题型，有助于提升学生的代数变形能力。
【难度系数】
0.7
本题分为三小问，解题思路如下：第(1)问可将等式$a+b=ab$变形为$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，据此易找到满足条件的正数$a,b$；第(2)问只需从第(1)问的结果中任选一组，分别计算$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$和$ab-2$的值，比较是否相等即可；第(3)问需对分式$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分，结合完全平方公式变形分子，再利用已知条件$a+b=ab$代入化简，证明结论对任意满足条件的正数都成立。
【解析】
(1) 对$a+b=ab$（$a,b$为正数）两边同除以$ab$，得$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$。
取$a=2$，代入得$\frac{1}{b}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，解得$b=2$；
取$a=3$，代入得$\frac{1}{b}=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，解得$b=\frac{3}{2}$。
故两组符合条件的数为$a=2,b=2$或$a=3,b=1.5$（答案不唯一）。
(2) 选取$a=2,b=2$验证：
计算$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{2}{2}+\frac{2}{2}=1+1=2$；
计算$ab-2=2×2-2=2$；
因此$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$，验证结论成立。
(3) 对$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$通分得：
$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=\frac{b^2+a^2}{ab}$
由完全平方公式$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$，代入上式得：
$\frac{(a+b)^2-2ab}{ab}$
已知$a+b=ab$，将其代入得：
$\frac{(ab)^2-2ab}{ab}=\frac{ab(ab-2)}{ab}=ab-2$
故对任意满足$a,b$为正数且$a+b=ab$的情况，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$，结论成立。
【答案】
(1) 如$a=2,b=2$或$a=3,b=1.5$（答案不唯一）；
(2) 取$a=2,b=2$时，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=2$，$ab-2=2$，故$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$，验证成立；
(3) 证明成立，即$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}=ab-2$。
【知识点】
分式的运算，完全平方公式，代数式化简
【点评】
本题通过“特殊到一般”的思路，先利用具体数值验证结论，再推导一般情况，考查分式通分、完全平方公式的应用，是代数基础题型，有助于提升学生的代数变形能力。
【难度系数】
0.7
21.(10分)(宁波市鄞州区)某超市花3000元购进某种干果销售,由于销售状况良好,超市又调拨9000元资金用来购进这种干果,但这次的进价比第一次的进价提高了20%,购进的干果数量比第一次的2倍还多300 kg。如果超市按每千克9元的价格出售,当大部分干果售出后,余下的600 kg按售价的八折售完。
(1)这种干果第一次的进价是每千克多少元?
(2)超市销售这种干果共盈利多少元?
(1)这种干果第一次的进价是每千克多少元?
(2)超市销售这种干果共盈利多少元?
答案
(1)设该种干果的第一次进价是每千克$x$元,则第二次进价是每千克$(1+20\%)x$元。由题意得$\dfrac{9000}{(1+20\%)x}=2×\dfrac{3000}{x}+300$,解得$x=5$。经检验$x=5$是原分式方程的解。所以该种干果的第一次进价是每千克5元。
(2)$[\dfrac{3000}{5}+\dfrac{9000}{5×(1+20\%)}-600]×9+600×9×80\%-(3000+9000)=5820$(元)。所以超市销售这种干果共盈利5820元。
(2)$[\dfrac{3000}{5}+\dfrac{9000}{5×(1+20\%)}-600]×9+600×9×80\%-(3000+9000)=5820$(元)。所以超市销售这种干果共盈利5820元。
解析
【分析】
要解决这道题，分两步梳理思路：
1. 第(1)问求第一次干果的进价，属于分式方程的应用问题，核心是找两次购进数量的等量关系：第二次购进数量 = 第一次购进数量的2倍 + 300kg。设第一次进价为x元/kg，可表示出第二次进价，再结合“数量=总价÷进价”列出分式方程，求解后需检验解的合理性。
2. 第(2)问求总盈利，利用“盈利=总售价-总进价”计算：总进价是两次投入资金之和；总售价分为两部分，大部分按9元/kg出售，余下600kg按9元的八折出售，先算出两次购进的总数量，再计算总售价，最后减去总进价得到盈利。
【解析】
(1) 设该种干果的第一次进价是每千克$x$元，则第二次进价是每千克$(1+20\%)x$元。
根据题意，第二次购进数量为$\dfrac{9000}{(1+20\%)x}$千克，第一次购进数量为$\dfrac{3000}{x}$千克，由等量关系列方程：
$\dfrac{9000}{(1+20\%)x}=2×\dfrac{3000}{x}+300$
化简方程：$\dfrac{7500}{x}=\dfrac{6000}{x}+300$
两边同乘$x$得：$7500=6000+300x$
解得：$x=5$
经检验，$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该种干果的第一次进价是每千克5元。
(2) 计算总购进数量：
第一次购进数量：$\dfrac{3000}{5}=600$kg，第二次进价为$5×1.2=6$元/kg，第二次购进数量：$\dfrac{9000}{6}=1500$kg，总购进数量：$600+1500=2100$kg。
总售价：$(2100-600)×9 + 600×9×80\% =1500×9 + 600×7.2=13500+4320=17820$元。
总进价：$3000+9000=12000$元。
盈利：$17820-12000=5820$元。
答：超市销售这种干果共盈利5820元。
【答案】
(1) 该种干果的第一次进价是每千克5元；(2) 超市销售这种干果共盈利5820元。
【知识点】
分式方程的应用；销售问题；盈利计算
【点评】
本题是分式方程在销售场景的典型应用题，重点考查学生对等量关系的分析能力、分式方程的求解与检验步骤，以及盈利的计算逻辑。解题时需注意分式方程解的检验，避免增根，整体难度适中，是学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，分两步梳理思路：
1. 第(1)问求第一次干果的进价，属于分式方程的应用问题，核心是找两次购进数量的等量关系：第二次购进数量 = 第一次购进数量的2倍 + 300kg。设第一次进价为x元/kg，可表示出第二次进价，再结合“数量=总价÷进价”列出分式方程，求解后需检验解的合理性。
2. 第(2)问求总盈利，利用“盈利=总售价-总进价”计算：总进价是两次投入资金之和；总售价分为两部分，大部分按9元/kg出售，余下600kg按9元的八折出售，先算出两次购进的总数量，再计算总售价，最后减去总进价得到盈利。
【解析】
(1) 设该种干果的第一次进价是每千克$x$元，则第二次进价是每千克$(1+20\%)x$元。
根据题意，第二次购进数量为$\dfrac{9000}{(1+20\%)x}$千克，第一次购进数量为$\dfrac{3000}{x}$千克，由等量关系列方程：
$\dfrac{9000}{(1+20\%)x}=2×\dfrac{3000}{x}+300$
化简方程：$\dfrac{7500}{x}=\dfrac{6000}{x}+300$
两边同乘$x$得：$7500=6000+300x$
解得：$x=5$
经检验，$x=5$是原分式方程的解，且符合实际意义。
答：该种干果的第一次进价是每千克5元。
(2) 计算总购进数量：
第一次购进数量：$\dfrac{3000}{5}=600$kg，第二次进价为$5×1.2=6$元/kg，第二次购进数量：$\dfrac{9000}{6}=1500$kg，总购进数量：$600+1500=2100$kg。
总售价：$(2100-600)×9 + 600×9×80\% =1500×9 + 600×7.2=13500+4320=17820$元。
总进价：$3000+9000=12000$元。
盈利：$17820-12000=5820$元。
答：超市销售这种干果共盈利5820元。
【答案】
(1) 该种干果的第一次进价是每千克5元；(2) 超市销售这种干果共盈利5820元。
【知识点】
分式方程的应用；销售问题；盈利计算
【点评】
本题是分式方程在销售场景的典型应用题，重点考查学生对等量关系的分析能力、分式方程的求解与检验步骤，以及盈利的计算逻辑。解题时需注意分式方程解的检验，避免增根，整体难度适中，是学生需掌握的基础题型。
【难度系数】
0.6
