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22.(12分)(金华市婺城区)商家常将两种糖混合成“什锦糖”出售。对“什锦糖”的定价用以下方法确定:若A种糖的单价为a元/kg,B种糖的单价为b元/kg(a≠b),则m(kg)A种糖与n(kg)B种糖混合而成的“什锦糖”的单价为$\frac{ma+nb}{m+n}$元。
(1)当$a=20,b=30$时,
①将10 kg A种糖与15 kg B种糖混合而成的“什锦糖”的单价为多少元?
②在①的基础上,若要将“什锦糖”的单价提高2元,则需增加B种糖多少千克?
(2)若现有两种“什锦糖”:一种是由10 kg A种糖和10 kg B种糖混合而成,另一种是由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成,则这两种“什锦糖”哪一种更贵?
(1)当$a=20,b=30$时,
①将10 kg A种糖与15 kg B种糖混合而成的“什锦糖”的单价为多少元?
②在①的基础上,若要将“什锦糖”的单价提高2元,则需增加B种糖多少千克?
(2)若现有两种“什锦糖”:一种是由10 kg A种糖和10 kg B种糖混合而成,另一种是由价值100元的A种糖和价值100元的B种糖混合而成,则这两种“什锦糖”哪一种更贵?
答案
(1)①$\dfrac{10×20+15×30}{10+15}=26$(元)。所以“什锦糖”的单价为26元。
②设需增加$B$种糖$x$(kg)。根据题意得$(26+2)(25+x)=25×26+30x$,解得$x=25$。所以需增加$B$种糖25 kg。
(2)第一种“什锦糖”的单价为$\dfrac{10a+10b}{10+10}=\dfrac{a+b}{2}$;第二种“什锦糖”的单价为$\dfrac{200}{\dfrac{100}{a}+\dfrac{100}{b}}=\dfrac{2ab}{a+b}$。$\dfrac{2ab}{a+b}-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=-\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$。因为$a+b＞0$,且$a≠ b$,所以$(a-b)^2＞0$。所以$-\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}＜0$。所以$\dfrac{2ab}{a+b}＜\dfrac{a+b}{2}$。所以第一种“什锦糖”更贵。
②设需增加$B$种糖$x$(kg)。根据题意得$(26+2)(25+x)=25×26+30x$,解得$x=25$。所以需增加$B$种糖25 kg。
(2)第一种“什锦糖”的单价为$\dfrac{10a+10b}{10+10}=\dfrac{a+b}{2}$;第二种“什锦糖”的单价为$\dfrac{200}{\dfrac{100}{a}+\dfrac{100}{b}}=\dfrac{2ab}{a+b}$。$\dfrac{2ab}{a+b}-\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=-\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}$。因为$a+b＞0$,且$a≠ b$,所以$(a-b)^2＞0$。所以$-\dfrac{(a-b)^2}{2(a+b)}＜0$。所以$\dfrac{2ab}{a+b}＜\dfrac{a+b}{2}$。所以第一种“什锦糖”更贵。
解析
【分析】
本题是关于什锦糖定价的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问①：直接将A、B两种糖的质量和单价代入给定的什锦糖单价公式，计算即可；
2. 第(1)问②：设需增加B种糖的质量为$x$kg，根据“单价提高后总售价不变”的等量关系，列一元一次方程求解；
3. 第(2)问：分别计算两种什锦糖的单价，再通过作差法比较两个分式的大小，利用平方的非负性判断差的正负，确定哪种什锦糖更贵。
【解析】
(1)① 将$a=20$，$b=30$，$m=10$，$n=15$代入什锦糖单价公式：
$\frac{ma+nb}{m+n}=\frac{10×20+15×30}{10+15}=\frac{200+450}{25}=26$（元）
答：“什锦糖”的单价为26元。
② 设需增加$B$种糖$x$kg，根据题意列方程：
$(26+2)(25+x)=25×26+30x$
化简得：$28(25+x)=650+30x$
展开：$700+28x=650+30x$
移项得：$2x=50$，解得$x=25$
答：需增加$B$种糖25 kg。
(2) 第一种“什锦糖”的单价：$\frac{10a+10b}{10+10}=\frac{a+b}{2}$；
第二种“什锦糖”中，A种糖质量为$\frac{100}{a}$kg，B种糖质量为$\frac{100}{b}$kg，单价为：
$\frac{200}{\frac{100}{a}+\frac{100}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$；
比较两者大小，作差得：
$\frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{-(a-b)^2}{2(a+b)}$
因为$a＞0$，$b＞0$，$a≠b$，所以$a+b＞0$，$(a-b)^2＞0$，则差为负数，即$\frac{2ab}{a+b}＜\frac{a+b}{2}$，故第一种“什锦糖”更贵。
【答案】
(1)①26元；②25 kg；(2)第一种“什锦糖”更贵。
【知识点】分式的应用、一元一次方程的应用、代数式的大小比较
【点评】本题结合实际生活场景，考查学生对分式运算、一元一次方程的掌握，核心是理解什锦糖单价的计算逻辑，作差法比较代数式大小是常用技巧，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
本题是关于什锦糖定价的实际应用问题，解题思路如下：
1. 第(1)问①：直接将A、B两种糖的质量和单价代入给定的什锦糖单价公式，计算即可；
2. 第(1)问②：设需增加B种糖的质量为$x$kg，根据“单价提高后总售价不变”的等量关系，列一元一次方程求解；
3. 第(2)问：分别计算两种什锦糖的单价，再通过作差法比较两个分式的大小，利用平方的非负性判断差的正负，确定哪种什锦糖更贵。
【解析】
(1)① 将$a=20$，$b=30$，$m=10$，$n=15$代入什锦糖单价公式：
$\frac{ma+nb}{m+n}=\frac{10×20+15×30}{10+15}=\frac{200+450}{25}=26$（元）
答：“什锦糖”的单价为26元。
② 设需增加$B$种糖$x$kg，根据题意列方程：
$(26+2)(25+x)=25×26+30x$
化简得：$28(25+x)=650+30x$
展开：$700+28x=650+30x$
移项得：$2x=50$，解得$x=25$
答：需增加$B$种糖25 kg。
(2) 第一种“什锦糖”的单价：$\frac{10a+10b}{10+10}=\frac{a+b}{2}$；
第二种“什锦糖”中，A种糖质量为$\frac{100}{a}$kg，B种糖质量为$\frac{100}{b}$kg，单价为：
$\frac{200}{\frac{100}{a}+\frac{100}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$；
比较两者大小，作差得：
$\frac{2ab}{a+b}-\frac{a+b}{2}=\frac{4ab-(a+b)^2}{2(a+b)}=\frac{-(a-b)^2}{2(a+b)}$
因为$a＞0$，$b＞0$，$a≠b$，所以$a+b＞0$，$(a-b)^2＞0$，则差为负数，即$\frac{2ab}{a+b}＜\frac{a+b}{2}$，故第一种“什锦糖”更贵。
【答案】
(1)①26元；②25 kg；(2)第一种“什锦糖”更贵。
【知识点】分式的应用、一元一次方程的应用、代数式的大小比较
【点评】本题结合实际生活场景，考查学生对分式运算、一元一次方程的掌握，核心是理解什锦糖单价的计算逻辑，作差法比较代数式大小是常用技巧，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6
23.(12分)(缙云县)一张如图1所示的长方形铁皮,将它的四个角各剪去一个边长为10 cm的正方形,再将四周折起,做成一个有底无盖的铁盒(如图2所示)。铁盒底面长方形的长是$5a$(cm),宽是$2a$(cm),这个无盖铁盒各个外表面的面积之和称为铁盒的全面积。
(1)请用含$a$的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积。
(2)若要在铁盒的各个外表面刷上某种油漆,1元可刷漆的面积为$\frac{a}{30}(cm^2)$,则给这个铁盒刷油漆需要多少钱(用含$a$的代数式表示)?
(3)铁盒的底面积是全面积的几分之几(用含$a$的代数式表示)?若铁盒的底面积是全面积的$\frac{2}{3}$,求$a$的值。
(4)是否存在一个正整数$a$,使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍?若存在,请求出这个$a$;若不存在,请说明理由。
(1)请用含$a$的代数式表示图1中原长方形铁皮的面积。
(2)若要在铁盒的各个外表面刷上某种油漆,1元可刷漆的面积为$\frac{a}{30}(cm^2)$,则给这个铁盒刷油漆需要多少钱(用含$a$的代数式表示)?
(3)铁盒的底面积是全面积的几分之几(用含$a$的代数式表示)?若铁盒的底面积是全面积的$\frac{2}{3}$,求$a$的值。
(4)是否存在一个正整数$a$,使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍?若存在,请求出这个$a$;若不存在,请说明理由。
答案
(1)$S=(5a+20)(2a+20)=10a^2+140a+400$。
(2)铁盒的表面积是$5a·2a+2×5a×10+2×2a×10=10a^2+140a$,需要的钱是$(10a^2+140a)÷\dfrac{a}{30}=(300a+4200)$元。
(3)铁盒的底面积是全面积的$\dfrac{10a^2}{10a^2+140a}=\dfrac{a}{a+14}$。当$\dfrac{a}{a+14}=\dfrac{2}{3}$时,$a=28$。
(4)假设存在正整数$n$,使得$10a^2+140a=n×10a^2$,则$(n-1)a=14$,所以$a=14$,$n=2$;$a=7$,$n=3$;$a=2$,$n=8$;$a=1$,$n=15$。所以存在正整数$a$,使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍,这时$a=14$或7或2或1。
(2)铁盒的表面积是$5a·2a+2×5a×10+2×2a×10=10a^2+140a$,需要的钱是$(10a^2+140a)÷\dfrac{a}{30}=(300a+4200)$元。
(3)铁盒的底面积是全面积的$\dfrac{10a^2}{10a^2+140a}=\dfrac{a}{a+14}$。当$\dfrac{a}{a+14}=\dfrac{2}{3}$时,$a=28$。
(4)假设存在正整数$n$,使得$10a^2+140a=n×10a^2$,则$(n-1)a=14$,所以$a=14$,$n=2$;$a=7$,$n=3$;$a=2$,$n=8$;$a=1$,$n=15$。所以存在正整数$a$,使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍,这时$a=14$或7或2或1。
解析
【分析】
本题是结合几何图形的代数应用题，需先明确原长方形铁皮的长、宽与铁盒尺寸的关系，再逐步解决各小问：
(1) 原长方形的长为铁盒长加两个剪去的正方形边长（左右各10cm），宽为铁盒宽加两个剪去的正方形边长（上下各10cm），利用长方形面积公式计算；
(2) 铁盒全面积为底面积加四个侧面面积，再根据“总费用=全面积÷单位面积刷漆量”计算；
(3) 底面积与全面积的比值为分式，化简后通过解方程求a的值；
(4) 设倍数为正整数n，列方程整理得关于a和n的关系式，结合正整数a的条件求a的取值。
【解析】
(1) 原长方形铁皮的长为：$5a + 10×2 = (5a + 20)\ \mathrm{cm}$，宽为：$2a + 10×2 = (2a + 20)\ \mathrm{cm}$，
因此原长方形面积为：
$(5a + 20)(2a + 20) = 10a^2 + 100a + 40a + 400 = 10a^2 + 140a + 400\ (\mathrm{cm}^2)$。
(2) 铁盒的全面积为底面积加四个侧面面积：
$5a·2a + 2×5a×10 + 2×2a×10 = 10a^2 + 100a + 40a = 10a^2 + 140a\ (\mathrm{cm}^2)$，
刷漆需要的费用为：
$(10a^2 + 140a) ÷ \frac{a}{30} = (10a^2 + 140a)×\frac{30}{a} = 300a + 4200$（元）。
(3) 铁盒底面积为$10a^2\ \mathrm{cm}^2$，则底面积是全面积的：
$\frac{10a^2}{10a^2 + 140a} = \frac{10a^2}{10a(a + 14)} = \frac{a}{a + 14}$；
当$\frac{a}{a + 14} = \frac{2}{3}$时，交叉相乘得：
$3a = 2(a + 14)$，解得$a = 28$。
(4) 设铁盒全面积是底面积的正整数倍为$n$（$n$为正整数），则：
$10a^2 + 140a = n·10a^2$，
因为$a ＞ 0$，两边同时除以$10a$得：$a + 14 = na$，
整理得：$(n - 1)a = 14$，即$a = \frac{14}{n - 1}$，
由于$a$是正整数，故$n - 1$是14的正约数，即$n - 1 = 1,2,7,14$，对应$n = 2,3,8,15$，
此时$a = 14,7,2,1$，均为正整数，因此存在正整数$a$，$a$的值为1、2、7、14。
【答案】
(1) $10a^2 + 140a + 400$；
(2) $(300a + 4200)$元；
(3) 底面积是全面积的$\frac{a}{a + 14}$，$a = 28$；
(4) 存在，$a$的值为1、2、7、14。
【知识点】
整式乘法、列代数式、分式方程应用
【点评】
本题结合几何图形考查代数运算与应用，需理解图形边长关系，逐步推导代数式，涉及分式化简、方程求解及整数解讨论，综合考察几何直观与代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题是结合几何图形的代数应用题，需先明确原长方形铁皮的长、宽与铁盒尺寸的关系，再逐步解决各小问：
(1) 原长方形的长为铁盒长加两个剪去的正方形边长（左右各10cm），宽为铁盒宽加两个剪去的正方形边长（上下各10cm），利用长方形面积公式计算；
(2) 铁盒全面积为底面积加四个侧面面积，再根据“总费用=全面积÷单位面积刷漆量”计算；
(3) 底面积与全面积的比值为分式，化简后通过解方程求a的值；
(4) 设倍数为正整数n，列方程整理得关于a和n的关系式，结合正整数a的条件求a的取值。
【解析】
(1) 原长方形铁皮的长为：$5a + 10×2 = (5a + 20)\ \mathrm{cm}$，宽为：$2a + 10×2 = (2a + 20)\ \mathrm{cm}$，
因此原长方形面积为：
$(5a + 20)(2a + 20) = 10a^2 + 100a + 40a + 400 = 10a^2 + 140a + 400\ (\mathrm{cm}^2)$。
(2) 铁盒的全面积为底面积加四个侧面面积：
$5a·2a + 2×5a×10 + 2×2a×10 = 10a^2 + 100a + 40a = 10a^2 + 140a\ (\mathrm{cm}^2)$，
刷漆需要的费用为：
$(10a^2 + 140a) ÷ \frac{a}{30} = (10a^2 + 140a)×\frac{30}{a} = 300a + 4200$（元）。
(3) 铁盒底面积为$10a^2\ \mathrm{cm}^2$，则底面积是全面积的：
$\frac{10a^2}{10a^2 + 140a} = \frac{10a^2}{10a(a + 14)} = \frac{a}{a + 14}$；
当$\frac{a}{a + 14} = \frac{2}{3}$时，交叉相乘得：
$3a = 2(a + 14)$，解得$a = 28$。
(4) 设铁盒全面积是底面积的正整数倍为$n$（$n$为正整数），则：
$10a^2 + 140a = n·10a^2$，
因为$a ＞ 0$，两边同时除以$10a$得：$a + 14 = na$，
整理得：$(n - 1)a = 14$，即$a = \frac{14}{n - 1}$，
由于$a$是正整数，故$n - 1$是14的正约数，即$n - 1 = 1,2,7,14$，对应$n = 2,3,8,15$，
此时$a = 14,7,2,1$，均为正整数，因此存在正整数$a$，$a$的值为1、2、7、14。
【答案】
(1) $10a^2 + 140a + 400$；
(2) $(300a + 4200)$元；
(3) 底面积是全面积的$\frac{a}{a + 14}$，$a = 28$；
(4) 存在，$a$的值为1、2、7、14。
【知识点】
整式乘法、列代数式、分式方程应用
【点评】
本题结合几何图形考查代数运算与应用，需理解图形边长关系，逐步推导代数式，涉及分式化简、方程求解及整数解讨论，综合考察几何直观与代数运算能力，难度适中。
【难度系数】
0.6
