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11.(慈溪市)当$x=\underline{\hspace{3em}}$时,分式$\dfrac{x-1}{x-2}$无意义。
答案
2
解析
【分析】要确定使分式无意义的x值，需牢记分式无意义的核心条件：分式的分母为0时，分式无意义，与分子的取值无关。因此只需令该分式的分母等于0，求解对应的x即可。
【解析】对于分式$\dfrac{x-1}{x-2}$，根据分式无意义的条件，令分母为0，即$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
【答案】2
【知识点】分式无意义的条件
【点评】本题考查分式概念中无意义的基础知识点，属于分式相关的基础题，只要掌握“分式无意义时分母为0”的规则就能快速解答，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】对于分式$\dfrac{x-1}{x-2}$，根据分式无意义的条件，令分母为0，即$x - 2 = 0$，解得$x = 2$。
【答案】2
【知识点】分式无意义的条件
【点评】本题考查分式概念中无意义的基础知识点，属于分式相关的基础题，只要掌握“分式无意义时分母为0”的规则就能快速解答，难度较低。
【难度系数】0.9
12.(临海市)计算$\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a}$的结果是
1
。答案
1
解析
【分析】
本题是分式的加法运算，解题思路：先观察两个分式的分母，发现$1-a$与$a-1$互为相反数，据此将第二个分式的分母转化为与第一个分式相同的形式，再按照同分母分式的加法法则计算，最后化简得到结果。
【解析】
解：$\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a}$
$=\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{1}{a-1}$（将$\dfrac{1}{1-a}$变形为$-\dfrac{1}{a-1}$，统一分母）
$=\dfrac{a - 1}{a - 1}$（同分母分式相加，分子相加减，分母不变）
$=1$（分子分母相同，约分得到结果）
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算
【点评】
本题考查分式的基础加减运算，核心是处理互为相反数的分母，将异分母转化为同分母后计算，属于基础题型，侧重对分式运算规则的掌握。
【难度系数】
0.7
本题是分式的加法运算，解题思路：先观察两个分式的分母，发现$1-a$与$a-1$互为相反数，据此将第二个分式的分母转化为与第一个分式相同的形式，再按照同分母分式的加法法则计算，最后化简得到结果。
【解析】
解：$\dfrac{a}{a-1}+\dfrac{1}{1-a}$
$=\dfrac{a}{a-1}-\dfrac{1}{a-1}$（将$\dfrac{1}{1-a}$变形为$-\dfrac{1}{a-1}$，统一分母）
$=\dfrac{a - 1}{a - 1}$（同分母分式相加，分子相加减，分母不变）
$=1$（分子分母相同，约分得到结果）
【答案】
1
【知识点】
分式的加减运算
【点评】
本题考查分式的基础加减运算，核心是处理互为相反数的分母，将异分母转化为同分母后计算，属于基础题型，侧重对分式运算规则的掌握。
【难度系数】
0.7
13.(杭州市上城区)已知A,B在数轴上表示两个不同的点(如图所示),它们所对应的数分别是$-2,\dfrac{x-7}{3x-1}$,且点A,B到原点的距离相等,则$x$的值为
-1
。答案
-1
解析
【分析】首先明确：数轴上点到原点的距离等于该点所表示数的绝对值。由图可知，点A在原点左侧，对应数为-2，点B在原点右侧，对应数为$\frac{x-7}{3x-1}$，两点到原点距离相等，说明这两个数互为相反数，据此可列出关于x的分式方程，解分式方程并检验即可得到x的值。
【解析】因为点A、B到原点的距离相等，所以它们所表示的数的绝对值相等。结合数轴，A表示的数为-2，B在原点右侧，故B表示的数为2，因此可得方程：
$\frac{x-7}{3x-1}=2$
去分母（注意$3x-1≠0$，即$x≠\frac{1}{3}$），得：
$x -7 = 2(3x -1)$
展开右边：$x -7 =6x -2$
移项、合并同类项：$x -6x = -2 +7$ → $-5x=5$
解得：$x=-1$
检验：当$x=-1$时，分母$3x-1=3×(-1)-1=-4≠0$，所以$x=-1$是原方程的解。
【答案】-1
【知识点】数轴、绝对值、分式方程
【点评】本题结合数轴考查点到原点的距离与绝对值的关系，核心是利用“互为相反数的两个数绝对值相等”建立分式方程，解分式方程时需注意检验分母不为0，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】因为点A、B到原点的距离相等，所以它们所表示的数的绝对值相等。结合数轴，A表示的数为-2，B在原点右侧，故B表示的数为2，因此可得方程：
$\frac{x-7}{3x-1}=2$
去分母（注意$3x-1≠0$，即$x≠\frac{1}{3}$），得：
$x -7 = 2(3x -1)$
展开右边：$x -7 =6x -2$
移项、合并同类项：$x -6x = -2 +7$ → $-5x=5$
解得：$x=-1$
检验：当$x=-1$时，分母$3x-1=3×(-1)-1=-4≠0$，所以$x=-1$是原方程的解。
【答案】-1
【知识点】数轴、绝对值、分式方程
【点评】本题结合数轴考查点到原点的距离与绝对值的关系，核心是利用“互为相反数的两个数绝对值相等”建立分式方程，解分式方程时需注意检验分母不为0，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
14.(德清县)若关于$x$的分式方程$\dfrac{x+1}{x-4}=2-\dfrac{a}{4-x}$有增根,则常数$a$的值是
5
。答案
5
解析
【分析】
要解决这个问题，需明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题步骤为：①先确定原分式方程的增根（令分母为0，解得x的值）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出常数a的值。
【解析】
解：原分式方程的分母为$x-4$和$4-x$，令分母为0，得$x-4=0$，所以该方程的增根为$x=4$。
方程两边同乘最简公分母$x-4$去分母，注意$4-x=-(x-4)$，则原方程可化为：
$x+1 = 2(x-4) + a$
将增根$x=4$代入上述整式方程：
左边：$4+1=5$，右边：$2×(4-4)+a = a$
因此$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质（使原分式分母为0的根，是去分母后整式方程的解），解题思路清晰，属于分式方程的基础题型，只要掌握增根的处理方法即可快速解答。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需明确分式方程增根的定义：增根是分式方程去分母后转化为整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题步骤为：①先确定原分式方程的增根（令分母为0，解得x的值）；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，即可求出常数a的值。
【解析】
解：原分式方程的分母为$x-4$和$4-x$，令分母为0，得$x-4=0$，所以该方程的增根为$x=4$。
方程两边同乘最简公分母$x-4$去分母，注意$4-x=-(x-4)$，则原方程可化为：
$x+1 = 2(x-4) + a$
将增根$x=4$代入上述整式方程：
左边：$4+1=5$，右边：$2×(4-4)+a = a$
因此$a=5$。
【答案】
5
【知识点】
分式方程的增根
【点评】
本题考查分式方程增根的应用，核心是理解增根的本质（使原分式分母为0的根，是去分母后整式方程的解），解题思路清晰，属于分式方程的基础题型，只要掌握增根的处理方法即可快速解答。
【难度系数】
0.6
15.(杭州市上城区)某商店经销一种旅游纪念品,4月份的营业额为2000元。为了扩大销售量,5月份该商店对这种纪念品打九折销售,结果销售量增加20件,营业额增加700元。若4月份销售这种纪念品获利1000元,则5月份销售这种纪念品获利
1200
元。答案
1200
解析
【分析】
要解决该问题，需通过4、5月份的销量差建立分式方程求出售价，再结合4月获利算出成本，最终计算5月获利。步骤如下：1.设4月售价为未知数，分别表示4、5月的销售量；2.根据销量差列方程求解售价；3.由4月总获利算出每件纪念品的成本；4.计算5月的总利润。
【解析】
设4月份该纪念品的售价为$ x $元/件，则5月份售价为$ 0.9x $元/件。
1. 计算4、5月份的销售量：
4月份营业额为2000元，销售量为$ \frac{2000}{x} $件；
5月份营业额为$ 2000+700=2700 $元，销售量为$ \frac{2700}{0.9x} $件。
2. 根据“5月份销售量比4月份增加20件”列方程：
$\frac{2700}{0.9x} - \frac{2000}{x} = 20$
化简得：$ \frac{3000}{x} - \frac{2000}{x} = 20 $，即$ \frac{1000}{x}=20 $，解得$ x=50 $（经检验是原方程的解，符合题意）。
3. 计算成本与5月获利：
4月份销售量：$ \frac{2000}{50}=40 $件，每件成本为$ 50 - \frac{1000}{40}=25 $元；
5月份销售量：$ 40+20=60 $件，5月份获利为$ 60×(0.9×50 -25)=1200 $元。
【答案】
1200
【知识点】
分式方程应用、销售利润问题
【点评】
本题是分式方程在实际销售场景的典型应用，需理清售价、销量、营业额、成本、利润的数量关系，核心是利用销量差建立方程求出售价，再逐步推导成本和5月利润，考查学生的方程建模与计算能力。
【难度系数】
0.6
要解决该问题，需通过4、5月份的销量差建立分式方程求出售价，再结合4月获利算出成本，最终计算5月获利。步骤如下：1.设4月售价为未知数，分别表示4、5月的销售量；2.根据销量差列方程求解售价；3.由4月总获利算出每件纪念品的成本；4.计算5月的总利润。
【解析】
设4月份该纪念品的售价为$ x $元/件，则5月份售价为$ 0.9x $元/件。
1. 计算4、5月份的销售量：
4月份营业额为2000元，销售量为$ \frac{2000}{x} $件；
5月份营业额为$ 2000+700=2700 $元，销售量为$ \frac{2700}{0.9x} $件。
2. 根据“5月份销售量比4月份增加20件”列方程：
$\frac{2700}{0.9x} - \frac{2000}{x} = 20$
化简得：$ \frac{3000}{x} - \frac{2000}{x} = 20 $，即$ \frac{1000}{x}=20 $，解得$ x=50 $（经检验是原方程的解，符合题意）。
3. 计算成本与5月获利：
4月份销售量：$ \frac{2000}{50}=40 $件，每件成本为$ 50 - \frac{1000}{40}=25 $元；
5月份销售量：$ 40+20=60 $件，5月份获利为$ 60×(0.9×50 -25)=1200 $元。
【答案】
1200
【知识点】
分式方程应用、销售利润问题
【点评】
本题是分式方程在实际销售场景的典型应用，需理清售价、销量、营业额、成本、利润的数量关系，核心是利用销量差建立方程求出售价，再逐步推导成本和5月利润，考查学生的方程建模与计算能力。
【难度系数】
0.6
16.(杭州市上城区)已知$m$为整数，且分式$\dfrac{-3m + 3}{m^2 - 1}$的值为整数，则$m$可取的值为$\underline{\hspace{5em}}$。
答案
0或2或-2或-4
解析
【分析】要解决该问题，需先对分式因式分解化简，明确分式有意义的条件（分母不为0），再结合“分式值为整数”“m为整数”的要求确定m的可能取值，最后验证取值是否满足分母不为0的条件即可。
【解析】先化简分式：$\dfrac{-3m + 3}{m^2 -1} = \dfrac{-3(m-1)}{(m-1)(m+1)}$，其中分母$m^2 -1≠0$，即$m≠±1$；约去公因式$(m-1)$（$m≠1$），得原式$=-\dfrac{3}{m+1}$。因为分式的值为整数，且m为整数，所以$m+1$是3的约数，即$m+1=±1$、$±3$。分别计算：当$m+1=1$时，$m=0$；当$m+1=-1$时，$m=-2$；当$m+1=3$时，$m=2$；当$m+1=-3$时，$m=-4$。以上m值均满足$m≠±1$，符合条件。
【答案】0或2或-2或-4
【知识点】分式的化简、分式有意义的条件
【点评】本题考查分式的化简与整数解的确定，核心是先化简分式，再根据整数性质确定分母的约数，需注意排除使分母为0的取值，属于中等难度的分式应用题型。
【难度系数】0.5
【解析】先化简分式：$\dfrac{-3m + 3}{m^2 -1} = \dfrac{-3(m-1)}{(m-1)(m+1)}$，其中分母$m^2 -1≠0$，即$m≠±1$；约去公因式$(m-1)$（$m≠1$），得原式$=-\dfrac{3}{m+1}$。因为分式的值为整数，且m为整数，所以$m+1$是3的约数，即$m+1=±1$、$±3$。分别计算：当$m+1=1$时，$m=0$；当$m+1=-1$时，$m=-2$；当$m+1=3$时，$m=2$；当$m+1=-3$时，$m=-4$。以上m值均满足$m≠±1$，符合条件。
【答案】0或2或-2或-4
【知识点】分式的化简、分式有意义的条件
【点评】本题考查分式的化简与整数解的确定，核心是先化简分式，再根据整数性质确定分母的约数，需注意排除使分母为0的取值，属于中等难度的分式应用题型。
【难度系数】0.5
17.(6分)(杭州市上城区)解方程:
(1)$\frac{x+3}{2x-3}=\frac{2}{7}$。
(2)$\frac{2}{x+3}+\frac{6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$。
(1)$\frac{x+3}{2x-3}=\frac{2}{7}$。
(2)$\frac{2}{x+3}+\frac{6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$。
答案
(1)$x=-9$。
(2)$\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{6}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{1}{x-3}$,$2(x-3)+6=x+3$,$2x-6+6=x+3$,$2x-x=3$,$x=3$。经检验,$x=3$是增根,舍去。所以原方程无解。
(2)$\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{6}{(x+3)(x-3)}=\dfrac{1}{x-3}$,$2(x-3)+6=x+3$,$2x-6+6=x+3$,$2x-x=3$,$x=3$。经检验,$x=3$是增根,舍去。所以原方程无解。
解析
【分析】
分式方程的解法核心是将其转化为整式方程求解，需先确定最简公分母，通过去分母操作转化为整式方程，解整式方程后，必须代入原方程的分母检验，若分母为0则为增根，需舍去，最终确定方程的解或无解。本题两小问均为分式方程，第(1)问直接交叉相乘去分母，第(2)问需先因式分解分母找最简公分母，再去分母并检验增根。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+3}{2x-3}=\frac{2}{7}$：
去分母，两边同乘$7(2x-3)$得：$7(x+3)=2(2x-3)$，
展开得：$7x + 21 = 4x - 6$，
移项合并同类项：$7x - 4x = -6 - 21$，即$3x = -27$，
解得：$x = -9$，
检验：当$x=-9$时，$2x -3 = 2×(-9)-3=-21≠0$，故$x=-9$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{2}{x+3}+\frac{6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$：
先因式分解分母：$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，
确定最简公分母为$(x+3)(x-3)$，去分母（注意$x≠±3$）得：
$2(x-3) +6 = x+3$，
展开得：$2x -6 +6 = x +3$，
化简得：$2x = x +3$，
解得：$x=3$，
检验：当$x=3$时，原方程分母$x-3=0$，故$x=3$是增根，舍去，因此原方程无解。
【答案】
(1)$x=-9$；(2)原方程无解。
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的求解，重点在于去分母转化整式方程的操作，以及解后必须检验增根的关键步骤，第(2)问需注意因式分解分母后找最简公分母，避免漏乘，同时准确判断增根，难度适中。
【难度系数】
0.6
分式方程的解法核心是将其转化为整式方程求解，需先确定最简公分母，通过去分母操作转化为整式方程，解整式方程后，必须代入原方程的分母检验，若分母为0则为增根，需舍去，最终确定方程的解或无解。本题两小问均为分式方程，第(1)问直接交叉相乘去分母，第(2)问需先因式分解分母找最简公分母，再去分母并检验增根。
【解析】
(1) 解方程$\frac{x+3}{2x-3}=\frac{2}{7}$：
去分母，两边同乘$7(2x-3)$得：$7(x+3)=2(2x-3)$，
展开得：$7x + 21 = 4x - 6$，
移项合并同类项：$7x - 4x = -6 - 21$，即$3x = -27$，
解得：$x = -9$，
检验：当$x=-9$时，$2x -3 = 2×(-9)-3=-21≠0$，故$x=-9$是原方程的解。
(2) 解方程$\frac{2}{x+3}+\frac{6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$：
先因式分解分母：$x^2 -9=(x+3)(x-3)$，
确定最简公分母为$(x+3)(x-3)$，去分母（注意$x≠±3$）得：
$2(x-3) +6 = x+3$，
展开得：$2x -6 +6 = x +3$，
化简得：$2x = x +3$，
解得：$x=3$，
检验：当$x=3$时，原方程分母$x-3=0$，故$x=3$是增根，舍去，因此原方程无解。
【答案】
(1)$x=-9$；(2)原方程无解。
【知识点】
分式方程的解法，增根的检验
【点评】
本题考查分式方程的求解，重点在于去分母转化整式方程的操作，以及解后必须检验增根的关键步骤，第(2)问需注意因式分解分母后找最简公分母，避免漏乘，同时准确判断增根，难度适中。
【难度系数】
0.6
18.(8分)
(1)(义乌市)先化简,再求值$\dfrac{a + b}{ab} ÷ (\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a})$,其中$a=2019,b=2018$。
(2)(杭州市拱墅区)先化简,再求值:$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} + \dfrac{3x - 3}{x + 1} ÷ \dfrac{x - 1}{3}$,其中$x=(-\dfrac{1}{3})^9 × (-3)^{10}$。
(1)(义乌市)先化简,再求值$\dfrac{a + b}{ab} ÷ (\dfrac{a}{b} - \dfrac{b}{a})$,其中$a=2019,b=2018$。
(2)(杭州市拱墅区)先化简,再求值:$\dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 2x + 1} + \dfrac{3x - 3}{x + 1} ÷ \dfrac{x - 1}{3}$,其中$x=(-\dfrac{1}{3})^9 × (-3)^{10}$。
答案
(1) 原式$=\dfrac{a + b}{ab} ÷ \dfrac{a^2 - b^2}{ab}=\dfrac{a + b}{ab}\boldsymbol{·}\dfrac{ab}{(a + b)(a - b)}=\dfrac{1}{a - b}$,当$a=2019$,$b=2018$时,原式$=\dfrac{1}{2019 - 2018}=1$。
(2) 原式$=\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2}+\dfrac{3(x - 1)}{x + 1}\boldsymbol{·}\dfrac{3}{x - 1}=\dfrac{x - 1}{x + 1}+\dfrac{9}{x + 1}=\dfrac{x + 8}{x + 1}=1+\dfrac{7}{x + 1}$。当$x=(-\dfrac{1}{3})^9×(-3)^{10}=-3$时,原式$=1+\dfrac{7}{-3 + 1}=-\dfrac{5}{2}$。
(2) 原式$=\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2}+\dfrac{3(x - 1)}{x + 1}\boldsymbol{·}\dfrac{3}{x - 1}=\dfrac{x - 1}{x + 1}+\dfrac{9}{x + 1}=\dfrac{x + 8}{x + 1}=1+\dfrac{7}{x + 1}$。当$x=(-\dfrac{1}{3})^9×(-3)^{10}=-3$时,原式$=1+\dfrac{7}{-3 + 1}=-\dfrac{5}{2}$。
解析
【分析】
(1) 先计算括号内的异分母分式减法，通分后得到同分母分式，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简式，最后代入a、b的值计算结果；
(2) 先对各分式的分子分母因式分解，将除法转化为乘法约分，再合并加法项；先根据幂的运算性质求出x的值，再代入化简后的式子计算结果。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{a + b}{ab} ÷ \dfrac{a^2 - b^2}{ab}=\dfrac{a + b}{ab}\boldsymbol{·}\dfrac{ab}{(a + b)(a - b)}=\dfrac{1}{a - b}$，当$a=2019$，$b=2018$时，原式$=\dfrac{1}{2019 - 2018}=1$；
(2) 原式$=\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2}+\dfrac{3(x - 1)}{x + 1}\boldsymbol{·}\dfrac{3}{x - 1}=\dfrac{x - 1}{x + 1}+\dfrac{9}{x + 1}=\dfrac{x + 8}{x + 1}$；
计算$x$：$x=(-\dfrac{1}{3})^9 × (-3)^{10}=[(-\dfrac{1}{3})×(-3)]^9×(-3)=1^9×(-3)=-3$，代入得原式$=\dfrac{-3 + 8}{-3 + 1}=-\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1) $1$；(2) $-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
分式的化简求值、因式分解、幂的运算
【点评】
本题为分式化简求值的常规题型，需掌握分式运算法则、因式分解方法及幂的运算性质，计算时需注意约分和符号处理，属于学生应熟练掌握的代数运算题。
【难度系数】
0.6
(1) 先计算括号内的异分母分式减法，通分后得到同分母分式，再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简式，最后代入a、b的值计算结果；
(2) 先对各分式的分子分母因式分解，将除法转化为乘法约分，再合并加法项；先根据幂的运算性质求出x的值，再代入化简后的式子计算结果。
【解析】
(1) 原式$=\dfrac{a + b}{ab} ÷ \dfrac{a^2 - b^2}{ab}=\dfrac{a + b}{ab}\boldsymbol{·}\dfrac{ab}{(a + b)(a - b)}=\dfrac{1}{a - b}$，当$a=2019$，$b=2018$时，原式$=\dfrac{1}{2019 - 2018}=1$；
(2) 原式$=\dfrac{(x + 1)(x - 1)}{(x + 1)^2}+\dfrac{3(x - 1)}{x + 1}\boldsymbol{·}\dfrac{3}{x - 1}=\dfrac{x - 1}{x + 1}+\dfrac{9}{x + 1}=\dfrac{x + 8}{x + 1}$；
计算$x$：$x=(-\dfrac{1}{3})^9 × (-3)^{10}=[(-\dfrac{1}{3})×(-3)]^9×(-3)=1^9×(-3)=-3$，代入得原式$=\dfrac{-3 + 8}{-3 + 1}=-\dfrac{5}{2}$。
【答案】
(1) $1$；(2) $-\dfrac{5}{2}$
【知识点】
分式的化简求值、因式分解、幂的运算
【点评】
本题为分式化简求值的常规题型，需掌握分式运算法则、因式分解方法及幂的运算性质，计算时需注意约分和符号处理，属于学生应熟练掌握的代数运算题。
【难度系数】
0.6
