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10.已知EF，GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，若已知长方形ABCD的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道 (
A.长方形GHCD的面积
B.长方形ABHG的面积
C.长方形EBHM的面积
D.长方形GMFD的面积
D
)A.长方形GHCD的面积
B.长方形ABHG的面积
C.长方形EBHM的面积
D.长方形GMFD的面积
答案
【解析】设$AG=a,GD=b,AE=c,BE=d$。$\because EF, GH$把长方形$ABCD$分割成四个小长方形,$\therefore ∠ A=∠ B=∠ C=90°,GM=DF=c,EM=BH=a,MF=CH=b,HM=CF=d$。$\therefore S_{\mathrm{三角形}ADE}=\dfrac{1}{2} AE· AD=\dfrac{1}{2} c\ ( a+b) =\dfrac{1}{2} ac+\dfrac{1}{2} bc$,$S_{\mathrm{三角形}BEH}=\dfrac{1}{2} BH· BE=\dfrac{1}{2} ad,\ S_{\mathrm{三角形}CDH}=\dfrac{1}{2} CH· CD=\dfrac{1}{2} b\ ( c+d) =\dfrac{1}{2} bc+\dfrac{1}{2} bd,\ S_{\mathrm{长方形}ABCD}=AB· BC=( d+c)\ ( a+b) =ad+bd+ac+bc$。$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{长方形}ABCD}-S_{\mathrm{三角形}ADE}-S_{\mathrm{三角形}CDH}-S_{\mathrm{三角形}BEH}=ad+bd+ac+bc-\dfrac{1}{2} ac-\dfrac{1}{2} bc-\dfrac{1}{2} bc-\dfrac{1}{2} bd-\dfrac{1}{2} ad=\dfrac{1}{2} ad+\dfrac{1}{2} ac+\dfrac{1}{2} bd+\dfrac{1}{2} bc-\dfrac{1}{2} bc=\dfrac{1}{2}\ ( ad+ac+bd+bc) -\dfrac{1}{2} bc=\dfrac{1}{2} S_{\mathrm{长方形}ABCD}-\dfrac{1}{2} S_{\mathrm{长方形}GMFD}=\dfrac{1}{2}\big( S_{\mathrm{长方形}ABCD}-S_{\mathrm{长方形}GMFD}\big)$。$\because$已知长方形$ABCD$的面积,$\therefore$要求阴影部分的面积,还需知道长方形$GMFD$的面积。故选D。
解析
【分析】要解决这个问题，我们可以通过设参数表示各边长度，利用“总面积减去空白部分面积”的方法推导阴影面积的表达式，进而判断需要补充的条件。先设各小长方形的边长参数，分别计算三个空白三角形的面积，再用长方形ABCD的总面积减去空白面积，化简后得到阴影面积与各小长方形面积的关系，从而确定还需知道的条件。
【解析】设$AG=a,GD=b,AE=c,BE=d$。
因为EF、GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，所以$AD=AG+GD=a+b$，$CD=AE+BE=c+d$，$BH=AG=a$，$CH=GD=b$，$DF=AE=c$，$CF=BE=d$。
计算空白三角形面积：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· AD=\frac{1}{2}c(a+b)=\frac{1}{2}ac+\frac{1}{2}bc$；
$S_{△ BEH}=\frac{1}{2}BH· BE=\frac{1}{2}ad$；
$S_{△ CDH}=\frac{1}{2}CH· CD=\frac{1}{2}b(c+d)=\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}bd$；
长方形ABCD的总面积$S_{ABCD}=AB· BC=(c+d)(a+b)=ac+ad+bc+bd$。
阴影面积$S_{阴影}=S_{ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BEH}-S_{△ CDH}$，代入化简：
$S_{阴影}=(ac+ad+bc+bd)-(\frac{1}{2}ac+\frac{1}{2}bc)-\frac{1}{2}ad-(\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}bd)=\frac{1}{2}(ac+ad+bc+bd)-\frac{1}{2}bc$。
又因为长方形GMFD的面积$S_{GMFD}=GD· DF=bc$，所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}(S_{ABCD}-S_{GMFD})$。
已知$S_{ABCD}$，要计算$S_{阴影}$，还需知道$S_{GMFD}$，即长方形GMFD的面积，故选D。
【答案】D
【知识点】长方形面积计算、三角形面积计算、阴影面积推导
【点评】本题通过设参数的方法，利用“总面积减空白面积”的思路推导阴影面积，关键在于化简表达式找到所需条件，考查了对长方形和三角形面积公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
【解析】设$AG=a,GD=b,AE=c,BE=d$。
因为EF、GH把长方形ABCD分割成四个小长方形，所以$AD=AG+GD=a+b$，$CD=AE+BE=c+d$，$BH=AG=a$，$CH=GD=b$，$DF=AE=c$，$CF=BE=d$。
计算空白三角形面积：
$S_{△ ADE}=\frac{1}{2}AE· AD=\frac{1}{2}c(a+b)=\frac{1}{2}ac+\frac{1}{2}bc$；
$S_{△ BEH}=\frac{1}{2}BH· BE=\frac{1}{2}ad$；
$S_{△ CDH}=\frac{1}{2}CH· CD=\frac{1}{2}b(c+d)=\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}bd$；
长方形ABCD的总面积$S_{ABCD}=AB· BC=(c+d)(a+b)=ac+ad+bc+bd$。
阴影面积$S_{阴影}=S_{ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BEH}-S_{△ CDH}$，代入化简：
$S_{阴影}=(ac+ad+bc+bd)-(\frac{1}{2}ac+\frac{1}{2}bc)-\frac{1}{2}ad-(\frac{1}{2}bc+\frac{1}{2}bd)=\frac{1}{2}(ac+ad+bc+bd)-\frac{1}{2}bc$。
又因为长方形GMFD的面积$S_{GMFD}=GD· DF=bc$，所以$S_{阴影}=\frac{1}{2}(S_{ABCD}-S_{GMFD})$。
已知$S_{ABCD}$，要计算$S_{阴影}$，还需知道$S_{GMFD}$，即长方形GMFD的面积，故选D。
【答案】D
【知识点】长方形面积计算、三角形面积计算、阴影面积推导
【点评】本题通过设参数的方法，利用“总面积减空白面积”的思路推导阴影面积，关键在于化简表达式找到所需条件，考查了对长方形和三角形面积公式的灵活运用。
【难度系数】0.5
11. 分解因式：$a^2 - b^2 =\_\_\_\_\_\_\underline{\hspace{8cm}}$。
答案
$(a+b)(a-b)$
解析
【分析】
这道题考查因式分解的基本方法，观察式子$a^2 - b^2$，它符合平方差公式的结构特征（两个数的平方差），解题时只需准确回忆并应用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将原式中的$x$替换为$a$，$y$替换为$b$，可得：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
【答案】
$(a+b)(a-b)$
【知识点】
因式分解、平方差公式
【点评】
本题是平方差公式在因式分解中的基础应用，题型简单直接，主要考查学生对基础公式的掌握程度，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
这道题考查因式分解的基本方法，观察式子$a^2 - b^2$，它符合平方差公式的结构特征（两个数的平方差），解题时只需准确回忆并应用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
根据平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，将原式中的$x$替换为$a$，$y$替换为$b$，可得：$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
【答案】
$(a+b)(a-b)$
【知识点】
因式分解、平方差公式
【点评】
本题是平方差公式在因式分解中的基础应用，题型简单直接，主要考查学生对基础公式的掌握程度，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.9
12. 使分式$\dfrac{1}{x - 1}$有意义的$x$的取值范围是
$x≠1$
。答案
$x≠1$
解析
【分析】要确定使分式$\dfrac{1}{x - 1}$有意义的$x$的取值范围，需依据分式有意义的核心规则：分式的分母不能为0。因此只需让该分式的分母$x - 1$不等于0，解对应的不等式就能得到$x$的取值范围。
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为0，可列出不等式：$x - 1 ≠ 0$，解这个不等式得：$x ≠ 1$。
【答案】$x≠1$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础条件，属于代数入门题型，难度较低，只要牢记分式分母不为0的知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
【解析】根据分式有意义的条件，分母不为0，可列出不等式：$x - 1 ≠ 0$，解这个不等式得：$x ≠ 1$。
【答案】$x≠1$
【知识点】分式有意义的条件
【点评】本题考查分式有意义的基础条件，属于代数入门题型，难度较低，只要牢记分式分母不为0的知识点即可快速解答。
【难度系数】0.9
13. 已知$\begin{cases}x=1, \\ y=2\end{cases}$是关于$x$，$y$的二元一次方程$ax+y=5$的一个解，那么$a$的值是 ______ 。
答案
3
解析
【分析】要确定a的值，需依据二元一次方程解的定义：方程的解能使方程左右两边相等，因此将已知的解$\begin{cases}x=1 \\ y=2\end{cases}$代入方程$ax+y=5$，得到关于a的一元一次方程，解该方程即可求出a的值。
【解析】把$x=1$，$y=2$代入方程$ax+y=5$，得：$a×1 + 2 = 5$，化简为$a + 2 = 5$，移项计算得$a = 5 - 2 = 3$。
【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的解法
【点评】本题是二元一次方程解的基础应用，直接代入求解即可，属于简单题型，主要考查对概念的基本掌握。
【难度系数】0.9
【解析】把$x=1$，$y=2$代入方程$ax+y=5$，得：$a×1 + 2 = 5$，化简为$a + 2 = 5$，移项计算得$a = 5 - 2 = 3$。
【答案】3
【知识点】二元一次方程的解；一元一次方程的解法
【点评】本题是二元一次方程解的基础应用，直接代入求解即可，属于简单题型，主要考查对概念的基本掌握。
【难度系数】0.9
14.一个有50个数据的样本,把它分成六组,第一组到第四组的频数分别为10,6,8,7,第五组的频率为0.2,则第六组的频数为
9
。答案
9
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用频数与频率的关系：首先明确样本的总频数等于样本容量（本题为50）；其次根据“频率=频数÷样本容量”，计算出第五组的频数；最后用总样本容量减去前五组的频数之和，即可得到第六组的频数。
【解析】
1. 计算第五组的频数：已知样本容量为50，第五组频率为0.2，根据公式“频数=样本容量×频率”，可得第五组频数为 $50 × 0.2 = 10$。
2. 计算前五组的频数之和：第一到第四组频数分别为10、6、8、7，加上第五组的10，总和为 $10 + 6 + 8 + 7 + 10 = 41$。
3. 计算第六组的频数：总样本容量为50，因此第六组频数为 $50 - 41 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
频数与频率、样本容量
【点评】
本题是统计中的基础题型，核心考察频数、频率与样本容量的关系，只要掌握频率公式和总频数等于样本容量的知识点，即可快速解答，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，需利用频数与频率的关系：首先明确样本的总频数等于样本容量（本题为50）；其次根据“频率=频数÷样本容量”，计算出第五组的频数；最后用总样本容量减去前五组的频数之和，即可得到第六组的频数。
【解析】
1. 计算第五组的频数：已知样本容量为50，第五组频率为0.2，根据公式“频数=样本容量×频率”，可得第五组频数为 $50 × 0.2 = 10$。
2. 计算前五组的频数之和：第一到第四组频数分别为10、6、8、7，加上第五组的10，总和为 $10 + 6 + 8 + 7 + 10 = 41$。
3. 计算第六组的频数：总样本容量为50，因此第六组频数为 $50 - 41 = 9$。
【答案】
9
【知识点】
频数与频率、样本容量
【点评】
本题是统计中的基础题型，核心考察频数、频率与样本容量的关系，只要掌握频率公式和总频数等于样本容量的知识点，即可快速解答，属于易得分的基础题。
【难度系数】
0.8
15. 已知关于$x$的分式方程$\dfrac{ax}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}+1$无解，则$a$的值是
1或2
。答案
【解析】$\dfrac{ax}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}+1,\ ax=2+1×( x-1) ,( a-1)\ x=1$。① 当$a-1=0$,即$a=1$时,方程无解,符合题意;② 当$a-1≠0$,即$a≠1$时,方程的解是$x=\dfrac{1}{a-1}$,又因为分式方程无解,得$x=1$是分式方程的增根,所以$x=\dfrac{1}{a-1}=1$,解得$a=2$。综上所述,$a$的值是1或2。
解析
【分析】
本题是分式方程无解求参数的问题，解题思路为：分式方程无解包含两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使分母为0的x值）。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分情况讨论：先整理整式方程，当整式方程系数为0时，整式方程无解；当系数不为0时，让整式方程的解等于增根，求出对应a值，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
对原分式方程$\dfrac{ax}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}+1$去分母，两边同乘最简公分母$(x-1)$，得：
$ax = 2 + (x - 1)$
整理得整式方程：$(a - 1)x = 1$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程本身无解时，需满足系数为0，即$a - 1 = 0$，解得$a = 1$，此时整式方程变为$0·x = 1$，无解，符合分式方程无解的条件；
2. 当整式方程有解时，即$a ≠ 1$，此时整式方程的解为$x = \dfrac{1}{a - 1}$。原分式方程的分母为$x - 1$，增根为$x = 1$，若分式方程无解，则整式方程的解为增根，即$\dfrac{1}{a - 1} = 1$，解得$a = 2$。
综上，$a$的值为1或2。
【答案】1或2
【知识点】分式方程无解、增根
【点评】本题考查分式方程无解的条件，需注意区分整式方程本身无解和整式方程的解为增根两种情况，避免漏解，是分式方程章节的常考题型，易错点在于忽略其中一种情况。
【难度系数】0.5
本题是分式方程无解求参数的问题，解题思路为：分式方程无解包含两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解是原分式方程的增根（即使分母为0的x值）。解题时先将分式方程去分母转化为整式方程，再分情况讨论：先整理整式方程，当整式方程系数为0时，整式方程无解；当系数不为0时，让整式方程的解等于增根，求出对应a值，最后综合两种情况得到结果。
【解析】
对原分式方程$\dfrac{ax}{x-1}=\dfrac{2}{x-1}+1$去分母，两边同乘最简公分母$(x-1)$，得：
$ax = 2 + (x - 1)$
整理得整式方程：$(a - 1)x = 1$
分两种情况讨论：
1. 当整式方程本身无解时，需满足系数为0，即$a - 1 = 0$，解得$a = 1$，此时整式方程变为$0·x = 1$，无解，符合分式方程无解的条件；
2. 当整式方程有解时，即$a ≠ 1$，此时整式方程的解为$x = \dfrac{1}{a - 1}$。原分式方程的分母为$x - 1$，增根为$x = 1$，若分式方程无解，则整式方程的解为增根，即$\dfrac{1}{a - 1} = 1$，解得$a = 2$。
综上，$a$的值为1或2。
【答案】1或2
【知识点】分式方程无解、增根
【点评】本题考查分式方程无解的条件，需注意区分整式方程本身无解和整式方程的解为增根两种情况，避免漏解，是分式方程章节的常考题型，易错点在于忽略其中一种情况。
【难度系数】0.5
16. 图1是一款落地的平板电脑支撑架，AB,BC是可转动的支撑杆。调整支撑杆使得其侧面示意图如图2所示，此时平板$DE// AF$，$∠ BAF=∠ BCE$，$∠ B=84°$，则$∠$$BCD=\_\_\_\_\_\_°$。现将支撑杆AB调整至图3位置，调整过程中$∠ B,∠ BCE$大小不变，$∠ BAF=146°$，再顺时针调整平板DE至$D'E'$，使得$D'E'// AF$，则$∠ DCD'=\_\_\_\_\_\_°$。
答案
42 76
【解析】如图1,过点B作$BG// AF$。$\because DE// AF,\therefore DE// AF// BG$。$\therefore ∠ BAF+∠ ABG=∠ BCE+∠ CBG$。 $\because ∠ BAF=∠ BCE,\therefore ∠ ABG=∠ CBG$。 $\because ∠ ABC=84°$,$\therefore ∠ ABG=∠ CBG=42°$。$\because DE// BG,\therefore ∠ BCD=∠ CBG=42°$。如图2,延长FA交BC于点H。$\because ∠ BAF=146°,∠ B=84°$,所以$∠ BAH=180°-146°=34°$,$∠ BHA=180°-∠ BAH-∠ B=62°$。$\because D'E'// AF,\therefore ∠ BCE'=∠ BHA=62°$。又$\because ∠ BCD=42°,\therefore ∠ DCD'=180°-∠ BCD-∠ BCE'=180°-42°-62°=76°$。
解析
【分析】
要解决本题，需利用平行线的性质，通过作辅助线转化角的关系，结合三角形内角和定理、平角的定义计算角度。第一问中，过点B构造平行线，利用已知角的关系推导∠BCD；第二问中，延长FA构造三角形，结合平行线的同位角相等，利用平角关系计算∠DCD'。
【解析】
1. 求∠BCD的度数：
如图1，过点B作BG//AF。
∵ DE//AF，
∴ DE//AF//BG（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
根据平行线的性质，可得∠BAF + ∠ABG = ∠BCE + ∠CBG。
又
∵ ∠BAF=∠BCE，
∴ ∠ABG=∠CBG。
已知∠ABC=84°，即∠ABG + ∠CBG=84°，
∴ ∠ABG=∠CBG=42°。
∵ DE//BG，
∴ ∠BCD=∠CBG=42°（两直线平行，内错角相等）。
2. 求∠DCD'的度数：
如图2，延长FA交BC于点H。
∵ ∠BAF=146°，
∴ ∠BAH=180° - 146°=34°（平角的定义）。
在△ABH中，∠B=84°，根据三角形内角和为180°，得∠BHA=180° - ∠BAH - ∠B=180° - 34° - 84°=62°。
∵ D'E'//AF，
∴ ∠BCE'=∠BHA=62°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠BCD + ∠BCE' + ∠DCD'=180°（平角的定义），
∴ ∠DCD'=180° - 42° - 62°=76°。
【答案】
42；76
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和，平角的定义
【点评】
本题通过构造辅助线转化角的关系，综合考查平行线性质与三角形内角和的应用，解题关键是利用平行线的传递性、同位角/内错角的关系，以及平角的定义完成角度计算。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平行线的性质，通过作辅助线转化角的关系，结合三角形内角和定理、平角的定义计算角度。第一问中，过点B构造平行线，利用已知角的关系推导∠BCD；第二问中，延长FA构造三角形，结合平行线的同位角相等，利用平角关系计算∠DCD'。
【解析】
1. 求∠BCD的度数：
如图1，过点B作BG//AF。
∵ DE//AF，
∴ DE//AF//BG（平行于同一直线的两条直线互相平行）。
根据平行线的性质，可得∠BAF + ∠ABG = ∠BCE + ∠CBG。
又
∵ ∠BAF=∠BCE，
∴ ∠ABG=∠CBG。
已知∠ABC=84°，即∠ABG + ∠CBG=84°，
∴ ∠ABG=∠CBG=42°。
∵ DE//BG，
∴ ∠BCD=∠CBG=42°（两直线平行，内错角相等）。
2. 求∠DCD'的度数：
如图2，延长FA交BC于点H。
∵ ∠BAF=146°，
∴ ∠BAH=180° - 146°=34°（平角的定义）。
在△ABH中，∠B=84°，根据三角形内角和为180°，得∠BHA=180° - ∠BAH - ∠B=180° - 34° - 84°=62°。
∵ D'E'//AF，
∴ ∠BCE'=∠BHA=62°（两直线平行，同位角相等）。
又
∵ ∠BCD + ∠BCE' + ∠DCD'=180°（平角的定义），
∴ ∠DCD'=180° - 42° - 62°=76°。
【答案】
42；76
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和，平角的定义
【点评】
本题通过构造辅助线转化角的关系，综合考查平行线性质与三角形内角和的应用，解题关键是利用平行线的传递性、同位角/内错角的关系，以及平角的定义完成角度计算。
【难度系数】
0.5
17.(6分)计算或化简:
(1)$(-1)^{2022}+(2023 - π)^{0}+(-\dfrac{1}{2})^{-2}$。
(2)$(3 - x)(3 + x)+x(x - 2)$。
(1)$(-1)^{2022}+(2023 - π)^{0}+(-\dfrac{1}{2})^{-2}$。
(2)$(3 - x)(3 + x)+x(x - 2)$。
答案
(1)原式$=6$。 (2)原式$=9-2x$。
解析
【分析】
本题分为两小问，均为基础运算题。第(1)小题需分别计算负数的偶次幂、零指数幂、负整数指数幂，再求和；第(2)小题需运用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项。计算时要牢记各类幂运算和整式运算的法则，注意符号处理。
【解析】
(1) 计算各项：
负数的偶次幂为正：$(-1)^{2022}=1$；
非零数的零次幂为1：$(2023 - π)^0=1$；
负整数指数幂：$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=(-2)^2=4$；
则原式$=1 + 1 + 4=6$。
(2) 展开并化简：
利用平方差公式：$(3 - x)(3 + x)=3^2 - x^2=9 - x^2$；
单项式乘多项式：$x(x - 2)=x^2 - 2x$；
合并同类项：原式$=9 - x^2 + x^2 - 2x=9 - 2x$。
【答案】
(1)$6$；(2)$9 - 2x$
【知识点】
幂的运算、平方差公式、整式的混合运算
【点评】
本题考查幂的运算性质和整式化简，属于基础题型，需熟练掌握相关运算法则，注意运算过程中的符号和同类项合并，难度适中。
【难度系数】
0.7
本题分为两小问，均为基础运算题。第(1)小题需分别计算负数的偶次幂、零指数幂、负整数指数幂，再求和；第(2)小题需运用平方差公式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类项。计算时要牢记各类幂运算和整式运算的法则，注意符号处理。
【解析】
(1) 计算各项：
负数的偶次幂为正：$(-1)^{2022}=1$；
非零数的零次幂为1：$(2023 - π)^0=1$；
负整数指数幂：$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=(-2)^2=4$；
则原式$=1 + 1 + 4=6$。
(2) 展开并化简：
利用平方差公式：$(3 - x)(3 + x)=3^2 - x^2=9 - x^2$；
单项式乘多项式：$x(x - 2)=x^2 - 2x$；
合并同类项：原式$=9 - x^2 + x^2 - 2x=9 - 2x$。
【答案】
(1)$6$；(2)$9 - 2x$
【知识点】
幂的运算、平方差公式、整式的混合运算
【点评】
本题考查幂的运算性质和整式化简，属于基础题型，需熟练掌握相关运算法则，注意运算过程中的符号和同类项合并，难度适中。
【难度系数】
0.7
