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24. (12分)某科技小组制作了甲、乙两个机器人,请阅读下列性能测试信息,完成相应任务。
答案
24.任务一:设基础模式的速度为$x\ \mathrm{m/min}$,则标准模式的速度为$(x+10)\ \mathrm{m/min}$。根据题意得$\dfrac{300}{x+10}=\dfrac{200}{x}$,解得$x=20$。经检验,$x=20$是所列方程的解,且符合题意,所以$x+10=20+10=30$。所以基础模式的速度为$20\mathrm{m/min}$,标准模式的速度为$30\mathrm{m/min}$。任务二:根据题意得$1+a+\dfrac{70}{20}=5$,解得$a=0.5$。所以实验2中机器人乙故障时长$a$的值为0.5。任务三:设甲的运动时间为$t(\mathrm{min})$。当$0＜ t≤1$时,$30×2t-30t=10$,解得$t=\dfrac{1}{3}$;当$1＜ t≤1.5$时,$30×2×1-30t=10$,解得$t=\dfrac{5}{3}$(不符合题意,舍去);当$1.5＜ t≤5$时,$|30×2×1+20(t-1.5)-30t|=10$,解得$t=2$或$t=4$。综上所述,实验2整个过程中第$\dfrac{1}{3}$或2或4min时,两个机器人之间的距离等于10m。
解析
【分析】
要解决本题，需分三个任务逐步推导：
1. 任务一：根据“标准模式速度比基础模式快10m/min”设未知数，结合实验1中“标准跑300m与基础跑200m时间相等”，利用“时间=路程÷速度”列分式方程求解两种模式的速度。
2. 任务二：明确乙的运动过程（全速跑1min、调试a min、基础模式跑70m），总时间为5min，将各段时间相加等于5，列一元一次方程求解a。
3. 任务三：根据乙的运动阶段（0＜t≤1、1＜t≤1.5、1.5＜t≤5），分别计算甲、乙的路程，再根据“距离等于10m”列方程，注意绝对值的应用，舍去不符合时间范围的解。
【解析】
任务一：求基础模式和标准模式的速度
设基础模式的速度为$ x\ \mathrm{m/min} $，则标准模式的速度为$ (x+10)\ \mathrm{m/min} $。
根据实验1中“标准模式跑300m的时间与基础模式跑200m的时间相等”，列方程：
$\frac{300}{x+10} = \frac{200}{x}$
交叉相乘得：$ 300x = 200(x+10) $，
化简：$ 300x = 200x + 2000 $，
解得：$ x = 20 $。
经检验，$ x=20 $是原方程的解，且符合题意。
则标准模式速度为$ x+10 = 20+10 = 30\ \mathrm{m/min} $。
任务二：求故障时长$ a $的值
已知基础模式速度为20m/min，乙在基础模式跑70m的时间为$ \frac{70}{20} = 3.5\ \mathrm{min} $。
乙的总运动时间（含故障）为5min，由“全速跑1min + 调试a min + 基础跑时间 = 5min”，列方程：
$1 + a + \frac{70}{20} = 5$
化简：$ 1 + a + 3.5 = 5 $，
解得：$ a = 0.5 $。
任务三：求第几分钟时两机器人距离为10m
设甲的运动时间为$ t\ \mathrm{min} $，分阶段讨论：
1. 当$ 0 ＜ t ≤1 $时：
乙的路程为全速跑的路程：$ 30×2×t = 60t $，
甲的路程为：$ 30t $，
距离为$ |60t - 30t| = 30t $，令$ 30t =10 $，解得$ t=\frac{1}{3} $，符合范围。
2. 当$ 1 ＜ t ≤1.5 $时：
乙在调试，路程为：$ 30×2×1 =60 $，
甲的路程为：$ 30t $，
距离为$ |60 - 30t| $，令$ |60 -30t|=10 $，解得$ t=\frac{5}{3} $或$ t=\frac{7}{3} $，均不在$ (1,1.5] $内，舍去。
3. 当$ 1.5 ＜ t ≤5 $时：
乙的路程为：$ 60 + 20(t -1.5) = 20t +30 $，
甲的路程为：$ 30t $，
距离为$ |(20t+30) -30t| = | -10t +30 | =10 $，
即$ -10t +30 =10 $或$ -10t +30 = -10 $，
解得$ t=2 $或$ t=4 $，均在$ (1.5,5] $内。
综上，符合条件的时间为$ \frac{1}{3}\ \mathrm{min} $、$ 2\ \mathrm{min} $、$ 4\ \mathrm{min} $。
【答案】
任务一：基础模式速度为20m/min，标准模式速度为30m/min；任务二：$ a=0.5 $；任务三：第$\frac{1}{3}$或2或4min。
【知识点】
分式方程应用、一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题以机器人性能测试为背景，结合行程问题的核心公式，考查分式方程、一元一次方程的应用，任务三需分阶段讨论乙的运动状态，体现分类讨论思想，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需分三个任务逐步推导：
1. 任务一：根据“标准模式速度比基础模式快10m/min”设未知数，结合实验1中“标准跑300m与基础跑200m时间相等”，利用“时间=路程÷速度”列分式方程求解两种模式的速度。
2. 任务二：明确乙的运动过程（全速跑1min、调试a min、基础模式跑70m），总时间为5min，将各段时间相加等于5，列一元一次方程求解a。
3. 任务三：根据乙的运动阶段（0＜t≤1、1＜t≤1.5、1.5＜t≤5），分别计算甲、乙的路程，再根据“距离等于10m”列方程，注意绝对值的应用，舍去不符合时间范围的解。
【解析】
任务一：求基础模式和标准模式的速度
设基础模式的速度为$ x\ \mathrm{m/min} $，则标准模式的速度为$ (x+10)\ \mathrm{m/min} $。
根据实验1中“标准模式跑300m的时间与基础模式跑200m的时间相等”，列方程：
$\frac{300}{x+10} = \frac{200}{x}$
交叉相乘得：$ 300x = 200(x+10) $，
化简：$ 300x = 200x + 2000 $，
解得：$ x = 20 $。
经检验，$ x=20 $是原方程的解，且符合题意。
则标准模式速度为$ x+10 = 20+10 = 30\ \mathrm{m/min} $。
任务二：求故障时长$ a $的值
已知基础模式速度为20m/min，乙在基础模式跑70m的时间为$ \frac{70}{20} = 3.5\ \mathrm{min} $。
乙的总运动时间（含故障）为5min，由“全速跑1min + 调试a min + 基础跑时间 = 5min”，列方程：
$1 + a + \frac{70}{20} = 5$
化简：$ 1 + a + 3.5 = 5 $，
解得：$ a = 0.5 $。
任务三：求第几分钟时两机器人距离为10m
设甲的运动时间为$ t\ \mathrm{min} $，分阶段讨论：
1. 当$ 0 ＜ t ≤1 $时：
乙的路程为全速跑的路程：$ 30×2×t = 60t $，
甲的路程为：$ 30t $，
距离为$ |60t - 30t| = 30t $，令$ 30t =10 $，解得$ t=\frac{1}{3} $，符合范围。
2. 当$ 1 ＜ t ≤1.5 $时：
乙在调试，路程为：$ 30×2×1 =60 $，
甲的路程为：$ 30t $，
距离为$ |60 - 30t| $，令$ |60 -30t|=10 $，解得$ t=\frac{5}{3} $或$ t=\frac{7}{3} $，均不在$ (1,1.5] $内，舍去。
3. 当$ 1.5 ＜ t ≤5 $时：
乙的路程为：$ 60 + 20(t -1.5) = 20t +30 $，
甲的路程为：$ 30t $，
距离为$ |(20t+30) -30t| = | -10t +30 | =10 $，
即$ -10t +30 =10 $或$ -10t +30 = -10 $，
解得$ t=2 $或$ t=4 $，均在$ (1.5,5] $内。
综上，符合条件的时间为$ \frac{1}{3}\ \mathrm{min} $、$ 2\ \mathrm{min} $、$ 4\ \mathrm{min} $。
【答案】
任务一：基础模式速度为20m/min，标准模式速度为30m/min；任务二：$ a=0.5 $；任务三：第$\frac{1}{3}$或2或4min。
【知识点】
分式方程应用、一元一次方程应用、行程问题
【点评】
本题以机器人性能测试为背景，结合行程问题的核心公式，考查分式方程、一元一次方程的应用，任务三需分阶段讨论乙的运动状态，体现分类讨论思想，对学生的逻辑分析能力有一定要求。
【难度系数】
0.5
