22. (10分)如图,在三角形ABC中,点D,F在边BC上,点E在边AB上,点G在边AC上,连结AD,EF,GD,延长EF与GD交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°。
(1)EH与AD平行吗?为什么?
(2)若∠DGC=58°,且∠H=∠4+10°,求∠H的度数。

22.(1)$EH// AD$。理由如下:因为$∠ 1=∠ B$,所以$AB// GD$。所以$∠ 2=∠ BAD$。又因为$∠ 2+∠ 3=180°$,所以$∠ BAD+∠ 3=180°$。所以$EH// AD$。
(2)因为$EH// AD$,所以$∠ 2=∠ H$。所以$∠ H=∠ BAD$。由(1)得$AB// GD$。所以$∠ BAC=∠ BAD+∠ 4=∠ H+∠ 4=58°$。又因为$∠ H=∠ 4+10°$,所以$∠ 4+10°+∠ 4=58°$,解得$∠ 4=24°$。所以$∠ H=34°$。

【分析】
要判断EH与AD是否平行，需利用平行线的判定定理，先通过已知的∠1=∠B推出AB//GD，得到∠2与∠BAD的关系，再结合∠2+∠3=180°推导同旁内角互补，从而证明EH//AD；第二问利用平行线的性质，结合已知∠DGC=58°和∠H与∠4的关系，通过角度等量代换求解∠H的度数。
【解析】
(1) EH与AD平行，理由如下：
∵ ∠1=∠B（已知），
∴ AB//GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
又
∵ ∠2+∠3=180°（已知），
∴ ∠BAD+∠3=180°（等量代换），
∴ EH//AD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：
∵ EH//AD（已证），
∴ ∠2=∠H（两直线平行，内错角相等），
由(1)知AB//GD，
∴ ∠BAC=∠DGC=58°（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠BAC=∠BAD+∠4，且∠BAD=∠2=∠H，
∴ ∠H + ∠4 = 58°，
已知∠H=∠4+10°，代入得：
∠4+10° + ∠4 =58°，
解得∠4=24°，
∴ ∠H=24°+10°=34°。
【答案】
(1) EH与AD平行；(2) ∠H的度数为34°。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，需熟练运用相关定理进行角度推导，步骤清晰即可解决，属于初中几何基础综合题，侧重考查逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

23. (10分)定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c(abc≠0,a≠c)$中的常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换,得到的新方程叫作原方程的“友好方程”。例如:方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$。
(1)求方程$x+2y=3$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,求方程$ax+by=c$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的“友好方程”,求$\frac{m}{n}$的值。

23.(1)方程$x+2y=3$的“友好方程”为$3x+2y=1$,所以$\begin{cases} x+2y=3 ①, \\ 3x+2y=1 ②。 \end{cases}$ ①$-$②,得$-2x=2$,解得$x=-1$,把$x=-1$代入①中,得$y=2$,所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=2。 \end{cases}$
(2)方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$,所以$\begin{cases} ax+by=c ①, \\ cx+by=a ②。 \end{cases}$ ①$-$②得$(a-c)x=c-a$,解得$x=-1$,把$x=-1$代入①中,得$-a+by=c$,所以$by=a+c$。因为$a+b+c=0$,即$a+c=-b$,所以$by=-b$。所以$y=-1$。所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1, \\ y=-1。 \end{cases}$
(3)因为关于$x,y$的二元一次方程$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的“友好方程”,所以$\begin{cases} 3m-t=m-1 ①, \\ 2+n=m+2t ②。 \end{cases}$
由①得$t=2m+1$,代入②中,得$2+n=m+2(2m+1)$,即$5m=n$,所以$\dfrac{m}{n}=\dfrac{1}{5}$。

【分析】首先明确“友好方程”的定义：对于二元一次方程$ax+by=c(abc≠0,a≠c)$，将常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换，得到的新方程$cx+by=a$即为其友好方程。解题时，先根据定义写出对应方程的友好方程，再通过加减消元法解二元一次方程组；第三问需利用友好方程对应系数相等的性质建立方程，进而求出$\frac{m}{n}$的值。
【解析】
(1) 根据友好方程定义，方程$x+2y=3$的友好方程为$3x+2y=1$，联立得方程组：
$\begin{cases} x + 2y = 3 ① \\ 3x + 2y = 1 ② \end{cases}$
①$-$②，得：$-2x = 2$，解得$x=-1$。
将$x=-1$代入①，得：$-1 + 2y = 3$，解得$y=2$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$。
(2) 方程$ax+by=c$的友好方程为$cx+by=a$，联立得方程组：
$\begin{cases} ax + by = c ① \\ cx + by = a ② \end{cases}$
①$-$②，得：$(a - c)x = c - a$，因$a≠c$，两边除以$(a - c)$得$x=-1$。
将$x=-1$代入①，得：$-a + by = c$，即$by = a + c$。
已知$a+b+c=0$，则$a+c=-b$，代入得$by=-b$，又$b≠0$，故$y=-1$。
所以方程组的解为$\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$。
(3) 由友好方程定义，对应系数互换得：
$\begin{cases} 3m - t = m - 1 ① \\ 2 + n = m + 2t ② \end{cases}$
由①整理得$t=2m+1$，代入②得：
$2 + n = m + 2(2m+1)$，化简得$n=5m$，故$\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=-1 \\ y=2 \end{cases}$；
(2) $\begin{cases} x=-1 \\ y=-1 \end{cases}$；
(3) $\frac{1}{5}$
【知识点】二元一次方程组的解法、新定义运算
【点评】本题是新定义类二元一次方程组综合题，核心是准确理解“友好方程”的定义，结合消元法解方程组，考查学生对新定义的应用能力与运算能力，难度适中。
【难度系数】0.5