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三、反复比较，合理选择。（将正确答案的序号填在括号里）（8分）
15. 要使1720是3的倍数，至少要加上(
A.1
B.2
C.3
D.4
15. 要使1720是3的倍数，至少要加上(
B
)。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
15. B
解析
【分析】要解决这个问题，需先明确3的倍数的核心特征：一个数各位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数。解题思路是：先计算1720各位数字的和，再找到比这个和大的最小的3的倍数，两者的差就是需要加上的最小数，最后对应选项得出答案。
【解析】1. 计算1720各位数字之和：$1+7+2+0=10$；2. 找比10大的最小的3的倍数：$3×4=12$；3. 计算差值：$12-10=2$，即至少要加2。
【答案】B
【知识点】3的倍数的特征
【点评】本题考查3的倍数的基础特征，属于基础题型，解题思路清晰，只需掌握核心特征即可快速解答。
【难度系数】0.8
【解析】1. 计算1720各位数字之和：$1+7+2+0=10$；2. 找比10大的最小的3的倍数：$3×4=12$；3. 计算差值：$12-10=2$，即至少要加2。
【答案】B
【知识点】3的倍数的特征
【点评】本题考查3的倍数的基础特征，属于基础题型，解题思路清晰，只需掌握核心特征即可快速解答。
【难度系数】0.8
16. $\frac{4}{7}$的分母加上14，要使分数的大小不变，分子应(
A.加上14
B.乘2
C.乘3
D.加上21
C
)。A.加上14
B.乘2
C.乘3
D.加上21
答案
16. C
解析
【分析】
要解决这个问题，需运用分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。解题时先计算分母变化后的数值，再确定分母的变化倍数，最后根据性质得出分子的调整方式。
步骤1：原分数$\frac{4}{7}$的分母是7，分母加上14后，新分母为$7+14=21$；
步骤2：计算分母的变化倍数：$21÷7=3$，即分母乘了3；
步骤3：根据分数基本性质，分子需同步乘3，才能保持分数大小不变。
【解析】
原分数$\frac{4}{7}$，分母加上14后变为$7+14=21$，分母从7到21，相当于$7×3=21$，即分母扩大到原来的3倍。根据分数的基本性质，要使分数大小不变，分子也应扩大到原来的3倍，也就是分子乘3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分数的基本性质
【点评】
本题考查分数基本性质的基础应用，核心是明确分数大小不变时分子与分母的变化需同步，解题关键是先算出分母的变化倍数，再对应调整分子，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需运用分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数，分数的大小不变。解题时先计算分母变化后的数值，再确定分母的变化倍数，最后根据性质得出分子的调整方式。
步骤1：原分数$\frac{4}{7}$的分母是7，分母加上14后，新分母为$7+14=21$；
步骤2：计算分母的变化倍数：$21÷7=3$，即分母乘了3；
步骤3：根据分数基本性质，分子需同步乘3，才能保持分数大小不变。
【解析】
原分数$\frac{4}{7}$，分母加上14后变为$7+14=21$，分母从7到21，相当于$7×3=21$，即分母扩大到原来的3倍。根据分数的基本性质，要使分数大小不变，分子也应扩大到原来的3倍，也就是分子乘3，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分数的基本性质
【点评】
本题考查分数基本性质的基础应用，核心是明确分数大小不变时分子与分母的变化需同步，解题关键是先算出分母的变化倍数，再对应调整分子，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
17. 下面四幅展开图中,(
A.
A
)不是正方体的展开图。A.
答案
17. A
解析
【分析】要判断一个图形是否为正方体的展开图，需牢记正方体展开图的11种基本类型，包括“一四一”型、“一三二”型、“三三”型、“二二二”型，同时要排除折叠后会出现面重叠的排列（如不符合上述类型的特殊结构）。逐一分析四个选项的图形结构，判断是否符合正方体展开图的特征。
【解析】正方体展开图的核心是折叠后能围成6个无重叠面的正方体。
选项A：图形排列为竖列3个正方形，左侧1个，下方3个，属于不符合正方体展开图的结构，折叠时会出现面重叠，无法围成正方体；
选项B：属于“一四一”型（中间4个正方形，上下各1个），是正方体展开图；
选项C：同样属于“一四一”型，是正方体展开图；
选项D：属于“二二二”型（每行2个，阶梯状错开），是正方体展开图。因此，A不是正方体的展开图。
【答案】A
【知识点】正方体展开图的识别
【点评】本题考查正方体展开图的判断，需熟练掌握正方体展开图的常见类型，避免错误判断不符合类型的图形，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】正方体展开图的核心是折叠后能围成6个无重叠面的正方体。
选项A：图形排列为竖列3个正方形，左侧1个，下方3个，属于不符合正方体展开图的结构，折叠时会出现面重叠，无法围成正方体；
选项B：属于“一四一”型（中间4个正方形，上下各1个），是正方体展开图；
选项C：同样属于“一四一”型，是正方体展开图；
选项D：属于“二二二”型（每行2个，阶梯状错开），是正方体展开图。因此，A不是正方体的展开图。
【答案】A
【知识点】正方体展开图的识别
【点评】本题考查正方体展开图的判断，需熟练掌握正方体展开图的常见类型，避免错误判断不符合类型的图形，属于基础题型。
【难度系数】0.7
18. 两根同样长的丝带，第一根用去它的$\frac{5}{9}$，第二根用去$\frac{5}{9}\ \mathrm{m}$，第二根比第一根用去的长，那么原来两根丝带的长度(
A.比1m短
B.长1m
C.比1m长
D.无法确定
A
)。A.比1m短
B.长1m
C.比1m长
D.无法确定
答案
18. A
解析
【分析】
首先设两根丝带原来的长度均为$ x $米，明确第一根用去的是全长的$\frac{5}{9}$（分率），即$\frac{5}{9}x$米；第二根用去的是具体长度$\frac{5}{9}$米。根据“第二根比第一根用去的长”这一条件列出不等式，通过解不等式推导$ x $的范围，进而确定原来丝带的长度情况。
【解析】
设原来两根丝带的长度均为$ x $米。
第一根用去的长度：$\frac{5}{9}x$米；
第二根用去的长度：$\frac{5}{9}$米。
由题意“第二根比第一根用去的长”，可得不等式：
$\frac{5}{9} ＞ \frac{5}{9}x$
两边同时除以正数$\frac{5}{9}$，不等号方向不变，解得：
$1 ＞ x$，即$ x ＜ 1 $米。
所以原来两根丝带的长度比1m短，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分数乘法的应用，不等式的简单应用
【点评】
本题核心是区分分数的“分率”与“具体长度”，需通过不等式推导原长度范围，避免混淆分率和具体量导致错解，是对分数意义的灵活考查。
【难度系数】
0.5
首先设两根丝带原来的长度均为$ x $米，明确第一根用去的是全长的$\frac{5}{9}$（分率），即$\frac{5}{9}x$米；第二根用去的是具体长度$\frac{5}{9}$米。根据“第二根比第一根用去的长”这一条件列出不等式，通过解不等式推导$ x $的范围，进而确定原来丝带的长度情况。
【解析】
设原来两根丝带的长度均为$ x $米。
第一根用去的长度：$\frac{5}{9}x$米；
第二根用去的长度：$\frac{5}{9}$米。
由题意“第二根比第一根用去的长”，可得不等式：
$\frac{5}{9} ＞ \frac{5}{9}x$
两边同时除以正数$\frac{5}{9}$，不等号方向不变，解得：
$1 ＞ x$，即$ x ＜ 1 $米。
所以原来两根丝带的长度比1m短，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分数乘法的应用，不等式的简单应用
【点评】
本题核心是区分分数的“分率”与“具体长度”，需通过不等式推导原长度范围，避免混淆分率和具体量导致错解，是对分数意义的灵活考查。
【难度系数】
0.5
19. 有23盒质量相同的饼干，其中有一盒吃了两块，如果用天平称，至少要称(
A.5
B.4
C.3
D.2
C
)次才能保证找出这盒饼干。A.5
B.4
C.3
D.2
答案
19. C
解析
【分析】
要保证找出较轻的那盒饼干，需利用天平平衡原理，采用找次品的最优策略：将物品分成3份，每份数量尽量平均，每次称量可排除最多正品，缩小次品范围。对于23盒，先分成8、8、7三组，逐步缩小范围，最终确定最少称量次数。
【解析】
找次品的最优方法是将物品分成3份，尽量平均分，以最快锁定次品所在组：
1. 第一次称量：把23盒分成（8，8，7），称量两个8盒组：
若平衡，次品在7盒组；若不平衡，次品在较轻的8盒组。
2. 第二次称量：
若次品在8盒组，分成（3，3，2），称量两个3盒组：平衡则次品在2盒组，不平衡则在较轻的3盒组；
若次品在7盒组，分成（2，2，3），称量两个2盒组：平衡则次品在3盒组，不平衡则在较轻的2盒组。
3. 第三次称量：
若次品在2盒组，直接称量两个即可找出；若在3盒组，分成（1，1，1），称量两个1盒即可找出。
综上，至少需要3次保证找出次品。
【答案】
C
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是利用天平平衡原理，将物品分成3份尽量平均分，减少称量次数，是逻辑推理类的典型应用题，需掌握规律快速解题。
【难度系数】
0.3
要保证找出较轻的那盒饼干，需利用天平平衡原理，采用找次品的最优策略：将物品分成3份，每份数量尽量平均，每次称量可排除最多正品，缩小次品范围。对于23盒，先分成8、8、7三组，逐步缩小范围，最终确定最少称量次数。
【解析】
找次品的最优方法是将物品分成3份，尽量平均分，以最快锁定次品所在组：
1. 第一次称量：把23盒分成（8，8，7），称量两个8盒组：
若平衡，次品在7盒组；若不平衡，次品在较轻的8盒组。
2. 第二次称量：
若次品在8盒组，分成（3，3，2），称量两个3盒组：平衡则次品在2盒组，不平衡则在较轻的3盒组；
若次品在7盒组，分成（2，2，3），称量两个2盒组：平衡则次品在3盒组，不平衡则在较轻的2盒组。
3. 第三次称量：
若次品在2盒组，直接称量两个即可找出；若在3盒组，分成（1，1，1），称量两个1盒即可找出。
综上，至少需要3次保证找出次品。
【答案】
C
【知识点】
找次品问题
【点评】
本题考查找次品的最优策略，核心是利用天平平衡原理，将物品分成3份尽量平均分，减少称量次数，是逻辑推理类的典型应用题，需掌握规律快速解题。
【难度系数】
0.3
20. 某市规定:每户每月用水量不超过6 t,每吨价格为2.5元;当用水量超过6 t时,超过部分每吨价格为4元。下面能表示每月水费与用水量的关系的是(
A.
C
)。A.
答案
20. C
解析
【分析】要判断每月水费与用水量的关系，需结合题目中的收费规则分两段分析：①当用水量不超过6t时，每吨水费2.5元，水费随用水量匀速增长，此时图像斜率较小；②当用水量超过6t时，超过部分每吨4元，水费增长速度变快，图像斜率比前一段更大（更陡）。据此逐一分析选项：A选项全程斜率不变，不符合；B选项前一段斜率大、后一段小，不符合；C选项前一段斜率小、后一段斜率大，符合规则；D选项存在水费不随用水量增加的阶段，不符合实际，因此选C。
【解析】根据收费规则，水费为分段函数：
1. 当用水量$ x ≤ 6t $时，水费$ y = 2.5x $，是正比例函数，图像为过原点的直线，斜率为2.5；
2. 当用水量$ x ＞ 6t $时，水费$ y = 2.5×6 + 4(x - 6) = 15 + 4(x - 6) $，此时函数斜率为4，大于前一段的斜率，因此图像在$ x=6t $处斜率变大，变得更陡。
观察选项：A图像斜率始终不变，错误；B图像前陡后缓，错误；C图像前缓后陡，符合；D图像有水平段，错误。
【答案】C
【知识点】分段函数、一次函数图像
【点评】本题结合实际收费规则考查分段函数的图像，核心是理解不同区间内函数的斜率变化，需将数学知识与实际问题结合分析，难度中等。
【难度系数】0.5
【解析】根据收费规则，水费为分段函数：
1. 当用水量$ x ≤ 6t $时，水费$ y = 2.5x $，是正比例函数，图像为过原点的直线，斜率为2.5；
2. 当用水量$ x ＞ 6t $时，水费$ y = 2.5×6 + 4(x - 6) = 15 + 4(x - 6) $，此时函数斜率为4，大于前一段的斜率，因此图像在$ x=6t $处斜率变大，变得更陡。
观察选项：A图像斜率始终不变，错误；B图像前陡后缓，错误；C图像前缓后陡，符合；D图像有水平段，错误。
【答案】C
【知识点】分段函数、一次函数图像
【点评】本题结合实际收费规则考查分段函数的图像，核心是理解不同区间内函数的斜率变化，需将数学知识与实际问题结合分析，难度中等。
【难度系数】0.5
21. 一个长方体,如果高增加2 cm,就成了一个正方体,且表面积增加了80 cm²,原来这个长方体的体积是(
A.1000
B.800
C.200
D.80
B
)cm³。A.1000
B.800
C.200
D.80
答案
21. B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先根据“高增加2cm变成正方体”得出原长方体的长和宽相等，且高比长短2cm；其次，表面积增加的80cm²是高增加后新增的4个相同侧面的面积（上下底面面积不变），据此先求出原长方体的长和宽，再计算原高，最后根据体积公式求体积。
【解析】
1. 分析图形特征：高增加2cm变成正方体，说明原长方体的长=宽，设为$a$，原高为$a - 2$。
2. 计算新增侧面的面积：表面积增加的80cm²是4个完全相同的长方形侧面的面积，每个侧面的宽为2cm，长为原长方体的长$a$，因此可得：
$4×(a×2) = 80$
解得：$8a = 80$，$a = 10$cm。
3. 求原长方体的高：原高 = $10 - 2 = 8$cm。
4. 计算原长方体体积：体积 = 长×宽×高 = $10×10×8 = 800$cm³。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算；正方体特征；长方体表面积变化
【点评】
本题结合长方体和正方体的特征，考查表面积与体积的计算，核心是理解“高增加后表面积增加的部分是4个侧面”，需避免误算新增表面积的面数，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先根据“高增加2cm变成正方体”得出原长方体的长和宽相等，且高比长短2cm；其次，表面积增加的80cm²是高增加后新增的4个相同侧面的面积（上下底面面积不变），据此先求出原长方体的长和宽，再计算原高，最后根据体积公式求体积。
【解析】
1. 分析图形特征：高增加2cm变成正方体，说明原长方体的长=宽，设为$a$，原高为$a - 2$。
2. 计算新增侧面的面积：表面积增加的80cm²是4个完全相同的长方形侧面的面积，每个侧面的宽为2cm，长为原长方体的长$a$，因此可得：
$4×(a×2) = 80$
解得：$8a = 80$，$a = 10$cm。
3. 求原长方体的高：原高 = $10 - 2 = 8$cm。
4. 计算原长方体体积：体积 = 长×宽×高 = $10×10×8 = 800$cm³。
【答案】
B
【知识点】
长方体体积计算；正方体特征；长方体表面积变化
【点评】
本题结合长方体和正方体的特征，考查表面积与体积的计算，核心是理解“高增加后表面积增加的部分是4个侧面”，需避免误算新增表面积的面数，属于中等难度的几何应用题。
【难度系数】
0.5
22. 一杯咖啡,李阿姨喝了$\frac{1}{3}$杯后,觉得有点苦,就加满了牛奶,她又喝了半杯,就去工作了,李阿姨一共喝了( )杯咖啡。
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$1$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$1$
答案
22. B 【解析】李阿姨第一次喝了$\frac{1}{3}$杯咖啡,加满牛奶后又喝了半杯,则第二次喝了剩下咖啡的一半,也就是$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$(杯)的一半,即$\frac{1}{3}$杯,所以一共喝了$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$(杯)咖啡。
解析
【分析】
要算出李阿姨一共喝的咖啡量，需分两次确定每次喝的咖啡量：第一次喝的是纯咖啡，直接取第一次的量；第二次喝的是加了牛奶后的混合液，需算出混合液中咖啡的占比，再计算第二次喝的咖啡量，最后将两次咖啡量相加。具体来说，第一次喝了$\frac{1}{3}$杯纯咖啡；加满牛奶后，剩余咖啡为原来的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$杯，此时喝半杯，这半杯里的咖啡是剩余咖啡的一半，即$\frac{1}{3}$杯，两次相加就是总咖啡量。
【解析】
解：1. 第一次喝的咖啡量：$\frac{1}{3}$杯；
2. 第一次喝完后剩余的咖啡量：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$杯；
3. 第二次喝的半杯混合液中，咖啡的量为剩余咖啡的一半：$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$杯；
4. 总共喝的咖啡量：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$杯。
【答案】
B
【知识点】
分数的应用、分数乘法、分数加减法
【点评】
本题结合生活场景考查分数的实际应用，核心是区分每次饮用的液体中咖啡的量，易错点在于误将第二次喝的半杯全部当作咖啡，需理清两次咖啡的来源，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
要算出李阿姨一共喝的咖啡量，需分两次确定每次喝的咖啡量：第一次喝的是纯咖啡，直接取第一次的量；第二次喝的是加了牛奶后的混合液，需算出混合液中咖啡的占比，再计算第二次喝的咖啡量，最后将两次咖啡量相加。具体来说，第一次喝了$\frac{1}{3}$杯纯咖啡；加满牛奶后，剩余咖啡为原来的$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$杯，此时喝半杯，这半杯里的咖啡是剩余咖啡的一半，即$\frac{1}{3}$杯，两次相加就是总咖啡量。
【解析】
解：1. 第一次喝的咖啡量：$\frac{1}{3}$杯；
2. 第一次喝完后剩余的咖啡量：$1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$杯；
3. 第二次喝的半杯混合液中，咖啡的量为剩余咖啡的一半：$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$杯；
4. 总共喝的咖啡量：$\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$杯。
【答案】
B
【知识点】
分数的应用、分数乘法、分数加减法
【点评】
本题结合生活场景考查分数的实际应用，核心是区分每次饮用的液体中咖啡的量，易错点在于误将第二次喝的半杯全部当作咖啡，需理清两次咖啡的来源，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.6
四、观察实践,大显身手。(14分)
23. 下面左图是小东用小正方体搭的几何体从上面看到的形状,小方格中的数字表示在这个位置上所用小正方体的个数。请你画出这个几何体从前面、左面看到的形状。(4分)
23. 下面左图是小东用小正方体搭的几何体从上面看到的形状,小方格中的数字表示在这个位置上所用小正方体的个数。请你画出这个几何体从前面、左面看到的形状。(4分)
答案
23.
从前面看 
从左面看解析
【分析】要画出几何体从前面、左面看到的形状，需结合俯视图（从上面看到的形状）中各位置小正方体的个数确定视图：①从前面看时，左右方向对应俯视图的左右列，每列的高度是该列所有位置小正方体个数的最大值；②从左面看时，左右方向对应俯视图的前后行，每列的高度是该行所有位置小正方体个数的最大值，据此即可画出对应视图。
【解析】1. 绘制从前面看到的形状：俯视图的左右共3列，左列仅1个小正方体，高度为1；中列有2个（后行）和1个（前行），最大高度为2；右列仅1个小正方体，高度为1。因此从前面看的图形为3列，高度依次为1、2、1。2. 绘制从左面看到的形状：俯视图的前后共2行，后行有2个小正方体，高度为2；前行有1个（中列）和1个（右列），最大高度为1。因此从左面看的图形为2列，高度依次为2、1。
【答案】23. 从前面看 从左面看
【知识点】三视图 组合体视图
【点评】本题考查根据俯视图及各位置小正方体数量绘制主视图、左视图，核心是掌握视图与几何体的对应关系，考查空间想象能力，难度适中。
【难度系数】0.4
【解析】1. 绘制从前面看到的形状：俯视图的左右共3列，左列仅1个小正方体，高度为1；中列有2个（后行）和1个（前行），最大高度为2；右列仅1个小正方体，高度为1。因此从前面看的图形为3列，高度依次为1、2、1。2. 绘制从左面看到的形状：俯视图的前后共2行，后行有2个小正方体，高度为2；前行有1个（中列）和1个（右列），最大高度为1。因此从左面看的图形为2列，高度依次为2、1。
【答案】23.
从前面看 从左面看【知识点】三视图 组合体视图
【点评】本题考查根据俯视图及各位置小正方体数量绘制主视图、左视图，核心是掌握视图与几何体的对应关系，考查空间想象能力，难度适中。
【难度系数】0.4
