7 如图,某下水管道的横截面为圆形,直径为 100 cm,下雨前水面宽 60 cm. 若一场大雨过后,水面宽80 cm,求水面上升的高度.

（第7题）

7. 如图,设横截面的圆心为点 O,作半径 $OD⊥ AB$ 于点 C,交 $\odot O$ 于点 D,连接 OB. 由垂径定理,得 $BC=\frac{1}{2}AB=30\ \mathrm{cm}$. 在 $\mathrm{Rt}△ OBC$中, $OB=\frac{100}{2}=50\ (\mathrm{cm})$,$\therefore OC=\sqrt{OB^2-BC^2}=\sqrt{50^2-30^2}=$$40(\mathrm{cm})$. ① 当水面上升到圆心以下 ($A'B'$ 处),水面宽 80 cm 时, $A'B'$交 OD 于点 $C'$,连接 $OB'.\because A'B'// AB,OC⊥ AB,\therefore OC⊥ A'B'$,$\therefore B'C'=\frac{80}{2}=40(\mathrm{cm})$,$\therefore OC'=\sqrt{OB'^2-B'C'^2}=\sqrt{50^2-40^2}=$$30(\mathrm{cm})$. 此时水面上升的高度为 $40-30=10(\mathrm{cm})$. ② 当水面上升到圆心以上 ($A''B''$ 处),同理,可得水面上升的高度为 $40+30=$$70(\mathrm{cm})$. 综上所述,水面上升的高度为 10 cm 或 70 cm

8 如图,将半径为 2 的圆形纸片沿半径 OA,OB 裁成弧长之比为 $1:3$ 的两部分,用所得的扇形围成圆锥的侧面,则圆锥底面圆的半径为（）

A.$\dfrac{1}{2}$
B.1
C.1 或 3
D.$\dfrac{1}{2}$或$\dfrac{3}{2}$

8. D

9 已知一条弦将圆分为 $1:4$ 的两部分,则这条弦所对的圆周角的度数为.

9. $36°$或 $144°$

10 已知$\odot O$的直径$AB=2$，弦$AC=\sqrt{2}$，则弦$AC$所对的圆周角的度数为.

10. $45°$或 $135°$

11 如图,$\odot O$的直径为20,弦AB的长为10,求弦AB所对的圆周角的度数.

11. 如图,连接 OA,OB. $\because \odot O$ 的直径为 20, $\therefore OA=OB=10$.$\because AB=10$,$\therefore OA=OB=AB$,$\therefore △ OAB$ 为等边三角形,$\therefore ∠ AOB=60°$. ① 当弦 AB 所对的圆周角的顶点 C 在 $\overset{\frown}{ACB}$ 上时,连接 AC,BC,则 $∠ ACB=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$. ② 当弦 AB 所对的圆周角的顶点 $C'$ 在 $\overset{\frown}{AB}$ 上时,连接 $AC'$,$BC'$,$\because$ 四边形 $AC'BC$ 内接于$\odot O$,$\therefore ∠ AC'B+∠ ACB=180°$,$\therefore ∠ AC'B=180°-30°=150°$. 综上所述,弦 AB 所对的圆周角的度数为 $30°$ 或 $150°$

12 已知$\odot O$是$△ ABC$的外接圆，$OD⊥ BC$于点$D$，且$∠ BOD=48°$，则$∠ BAC$的度数为（）

A.$48°$
B.$132°$
C.$48°$或$132°$
D.$24°$或$156°$

12. C

13 已知点O为$△ ABC$的外心. 若$∠ BOC=130^{ \circ }$,则$∠ BAC$的度数为.

13. $65°$或 $115°$

14 如图,在$△ ABC$中,$AC=2,BC=4$,点$O$在$BC$上,以点$O$为圆心,$OB$长为半径的圆与$AC$相切于点$A$. 设$D$是边$BC$上的动点,当$△ ACD$为直角三角形时,$AD$的长为.

（第14题）

14. $\frac{3}{2}$或$\frac{6}{5}$ 【解析】如图,连接 OA. $\because \odot O$ 与 AC 相切于点 A,$\therefore OA⊥ AC$. 设 $\odot O$ 的半径为 r,则 $OA=r$,$OC=4-r$. $\because AC=2$,$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ AOC$ 中,根据勾股定理,得 $r^2+4=(4-r)^2$,解得 $r=\frac{3}{2}$.由题意,可知点 D 的位置分为两种情况. ① 当 $∠ CAD=90°$ 时,点 D与点 O 重合, $\therefore AD=AO=\frac{3}{2}$. ② 当 $∠ ADC=90°$ 时,过点 A 作$AD⊥ BC$ 于点 D. 根据 $△ OAC$ 的面积的不同计算,得 $\frac{1}{2}AD· OC=$$\frac{1}{2}OA· AC.\because OA=r=\frac{3}{2}$,$AC=2$,$OC=4-r=\frac{5}{2}$,$\therefore AD=$$\frac{OA· AC}{OC}=\frac{6}{5}$. 综上所述,AD 的长为 $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{6}{5}$.