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【典例1】在$△ ABC$中，$∠ A - ∠ B = 30°$，$∠ C = 4∠ B$，求$∠ C$的度数.
答案
解:$∠ A=30°+∠ B$,
设$∠ B=x$,则 $30°+x+4x+x=180°$,
$x=25°,∠ C=100°.$
设$∠ B=x$,则 $30°+x+4x+x=180°$,
$x=25°,∠ C=100°.$
变式1.在$△ ABC$中，$∠ B=∠ A-10°$，$∠ C=∠ B+20°$，求$∠ A$的度数。
答案
解:设$∠ B=x$,
$\because ∠ B=∠ A-10°,∠ C=∠ B+20°,$
$\therefore ∠ A=∠ B+10°=x+10°,∠ C=x+20°.$
$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,$
$\therefore x+10°+x+x+20°=180°,$
解得 $x=50°,\therefore ∠ A=60°.$
$\because ∠ B=∠ A-10°,∠ C=∠ B+20°,$
$\therefore ∠ A=∠ B+10°=x+10°,∠ C=x+20°.$
$\because ∠ A+∠ B+∠ C=180°,$
$\therefore x+10°+x+x+20°=180°,$
解得 $x=50°,\therefore ∠ A=60°.$
变式2.如图，在$△ ABC$中，$D$为$BC$上一点，$BE ⊥ AC$于点$E$，交$AD$于点$F$，$∠ ABD = ∠ ADB$，$∠ DAC = ∠ C = 2∠ BAD$.求$∠ AFE$的度数. 
答案
解:设$∠ BAD=x$,
则$∠ DAC=∠ C=2∠ BAD=2x$,
$∠ ABD=∠ ADB=4x,$
$\because ∠ ABD+∠ ADB+∠ BAD=180°,$
$\therefore 4x+4x+x=180°,$
解得 $x=20°,$
$\therefore ∠ DAC=2x=40°,$
$\because BE⊥ AC,\therefore ∠ AEF=90°,$
$\therefore ∠ AFE=90°-∠ DAC=90°-40°=50°.$
则$∠ DAC=∠ C=2∠ BAD=2x$,
$∠ ABD=∠ ADB=4x,$
$\because ∠ ABD+∠ ADB+∠ BAD=180°,$
$\therefore 4x+4x+x=180°,$
解得 $x=20°,$
$\therefore ∠ DAC=2x=40°,$
$\because BE⊥ AC,\therefore ∠ AEF=90°,$
$\therefore ∠ AFE=90°-∠ DAC=90°-40°=50°.$
【典例2】如图，$△ ABC$中，D是BC上一点，$∠ 1=∠ 2$，$∠ 3=∠ 4$，$∠ BAC=63°$，求$∠ DAC$的度数。
答案
解:设$∠ 2=x$,则$∠ 1=x$,
$\therefore ∠ 4=∠ 3=∠ 1+∠ 2=2x,$
在$△ ABC$ 中,$\because ∠ BAC=63°,$
$\therefore 2x+x+63°=180°,$
$\therefore x=39°.$
$\therefore ∠ DAC=63°-39°=24°.$
$\therefore ∠ 4=∠ 3=∠ 1+∠ 2=2x,$
在$△ ABC$ 中,$\because ∠ BAC=63°,$
$\therefore 2x+x+63°=180°,$
$\therefore x=39°.$
$\therefore ∠ DAC=63°-39°=24°.$
变式.(2026·四川)如图,在△ABC中$,∠ACB=∠ABC=\frac{1}{4}∠BAC,CD$是AB边上的高,求∠DCA的度数.
答案
解:设$∠ ABC=∠ ACB=x$,则$∠ BAC=4x$,
$\therefore x+x+4x=180°,\therefore x=30°,$
$\therefore ∠ DCB=90°-∠ B=60°,$
$\therefore ∠ DCA=∠ DCB-∠ ACB=60°-30°=30°.$
$\therefore x+x+4x=180°,\therefore x=30°,$
$\therefore ∠ DCB=90°-∠ B=60°,$
$\therefore ∠ DCA=∠ DCB-∠ ACB=60°-30°=30°.$
