登录
【典例】如图，E为长方形纸片ABCD的边BC上一点，将长方形纸片分别沿AE，EF折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，点E，G，H恰好在同一条直线上。若∠AEB＝3∠CEF，则∠DFH的度数为（）
A.22.5°
B.30°
C.45°
D.60°
[解析] 如图，由折叠的性质可知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EFC＝∠EFH。因为∠BEG＋∠CEH＝180°，所以2(∠1＋∠4)＝180°，所以∠1＋∠4＝90°。因为∠4＝3∠1，所以∠1＝22.5°。因为在△EFC中，∠C＝90°，所以∠EFC＝180°－∠C－∠1＝180°－90°－22.5°＝67.5°。因为∠EFC＝∠EFH，所以∠DFH＝180°－2∠EFC＝180°－2×67.5°＝45°。
[答案] C
A.22.5°
B.30°
C.45°
D.60°
[解析] 如图，由折叠的性质可知，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠EFC＝∠EFH。因为∠BEG＋∠CEH＝180°，所以2(∠1＋∠4)＝180°，所以∠1＋∠4＝90°。因为∠4＝3∠1，所以∠1＝22.5°。因为在△EFC中，∠C＝90°，所以∠EFC＝180°－∠C－∠1＝180°－90°－22.5°＝67.5°。因为∠EFC＝∠EFH，所以∠DFH＝180°－2∠EFC＝180°－2×67.5°＝45°。
[答案] C
答案
C
解析
【分析】
遇到折叠类的角度计算问题，首先要利用折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，先找出所有相等的对应角。本题中先根据点E、G、H共线，得到相关角的和为平角180°，结合已知的∠AEB和∠CEF的倍数关系，先求出∠CEF的度数；再利用长方形的直角属性和三角形内角和求出∠EFC的度数，最后结合折叠性质和邻补角的和为180°，即可算出∠DFH的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质可知：
∠AEB=∠AEG，∠CEF=∠HEF，∠EFC=∠EFH
∵点E、G、H在同一条直线上，
∴∠AEB+∠AEG+∠CEF+∠HEF=180°
即$2×(∠ AEB + ∠ CEF)=180°$，可得$∠ AEB + ∠ CEF=90°$
已知$∠ AEB=3∠ CEF$，代入得：$3∠ CEF + ∠ CEF=90°$
$4∠ CEF=90°$，解得$∠ CEF=22.5°$
∵长方形ABCD中$∠ C=90°$，三角形EFC的内角和为$180°$
∴$∠ EFC=180° - 90° - 22.5°=67.5°$
又
∵$∠ EFH=∠ EFC=67.5°$，$∠ CFH + ∠ DFH=180°$
∴$∠ DFH=180° - (∠ EFC + ∠ EFH)=180° - 2×67.5°=45°$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；角度和差计算；平角的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题的关键是准确找到折叠前后相等的对应角，再结合已知的角的倍数关系、平角和三角形内角和的性质推导计算，理清角之间的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类的角度计算问题，首先要利用折叠的核心性质：折叠前后对应角相等，先找出所有相等的对应角。本题中先根据点E、G、H共线，得到相关角的和为平角180°，结合已知的∠AEB和∠CEF的倍数关系，先求出∠CEF的度数；再利用长方形的直角属性和三角形内角和求出∠EFC的度数，最后结合折叠性质和邻补角的和为180°，即可算出∠DFH的度数。
【解析】
解：根据折叠的性质可知：
∠AEB=∠AEG，∠CEF=∠HEF，∠EFC=∠EFH
∵点E、G、H在同一条直线上，
∴∠AEB+∠AEG+∠CEF+∠HEF=180°
即$2×(∠ AEB + ∠ CEF)=180°$，可得$∠ AEB + ∠ CEF=90°$
已知$∠ AEB=3∠ CEF$，代入得：$3∠ CEF + ∠ CEF=90°$
$4∠ CEF=90°$，解得$∠ CEF=22.5°$
∵长方形ABCD中$∠ C=90°$，三角形EFC的内角和为$180°$
∴$∠ EFC=180° - 90° - 22.5°=67.5°$
又
∵$∠ EFH=∠ EFC=67.5°$，$∠ CFH + ∠ DFH=180°$
∴$∠ DFH=180° - (∠ EFC + ∠ EFH)=180° - 2×67.5°=45°$
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；角度和差计算；平角的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题的关键是准确找到折叠前后相等的对应角，再结合已知的角的倍数关系、平角和三角形内角和的性质推导计算，理清角之间的数量关系就能轻松求解。
【难度系数】
0.7
【变式】如图，将一张长方形纸片沿OC，OD折叠，使顶点A落在点A'处，顶点B落在点B'处。若∠AOC=32°，∠A'OB'=40°，则∠BOD的度数为
38°
。答案
由折叠的性质，得∠BOD=∠B'OD,∠AOC=∠A'OC=32°。
因为∠A'OB'=40°,所以∠BOB'=180°−2×32°−40°=76°,
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOB'=38°。
因为∠A'OB'=40°,所以∠BOB'=180°−2×32°−40°=76°,
所以∠BOD=$\frac{1}{2}$∠BOB'=38°。
解析
【分析】
遇到折叠类的角度计算问题，首先要明确折叠前后重合的角大小相等，本题中沿OC折叠后∠AOC和∠A'OC相等，沿OD折叠后∠BOD和∠B'OD相等。其次AB是一条直线，对应的∠AOB是平角，总度数为180°，我们已知∠AOC、∠A'OB'的度数，把平角中已知的角度部分减去，剩下的就是2个∠BOD的度数，除以2就能得到结果。
【解析】
根据折叠的性质可知：
$∠ AOC = ∠ A'OC = 32°$，$∠ BOD = ∠ B'OD$
因为点A、O、B在同一条直线上，所以$∠ AOB = 180°$
那么$∠ BOB' = ∠ AOB - ∠ AOC - ∠ A'OC - ∠ A'OB'$
代入数值计算：$∠ BOB' = 180° - 32° - 32° - 40° = 76°$
又因为$∠ BOD = ∠ B'OD$，所以$∠ BOD = ∠ BOB' ÷ 2 = 76° ÷ 2 = 38°$
【答案】
$38°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角度计算
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角为180°的特征梳理各角之间的数量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
遇到折叠类的角度计算问题，首先要明确折叠前后重合的角大小相等，本题中沿OC折叠后∠AOC和∠A'OC相等，沿OD折叠后∠BOD和∠B'OD相等。其次AB是一条直线，对应的∠AOB是平角，总度数为180°，我们已知∠AOC、∠A'OB'的度数，把平角中已知的角度部分减去，剩下的就是2个∠BOD的度数，除以2就能得到结果。
【解析】
根据折叠的性质可知：
$∠ AOC = ∠ A'OC = 32°$，$∠ BOD = ∠ B'OD$
因为点A、O、B在同一条直线上，所以$∠ AOB = 180°$
那么$∠ BOB' = ∠ AOB - ∠ AOC - ∠ A'OC - ∠ A'OB'$
代入数值计算：$∠ BOB' = 180° - 32° - 32° - 40° = 76°$
又因为$∠ BOD = ∠ B'OD$，所以$∠ BOD = ∠ BOB' ÷ 2 = 76° ÷ 2 = 38°$
【答案】
$38°$
【知识点】
折叠的性质；平角的定义；角度计算
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题的核心是抓住折叠前后对应角相等的性质，结合平角为180°的特征梳理各角之间的数量关系，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
1.已知$∠ A=55°$,则$∠ A$的补角等于 （
A.$115°$
B.$125°$
C.$55°$
D.$35°$
B
）A.$115°$
B.$125°$
C.$55°$
D.$35°$
答案
1.B
解析
【分析】
首先我们要先回忆补角的定义：如果两个角的度数相加等于180°，那这两个角就互为补角，其中一个角就是另一个角的补角。要求∠A的补角，我们只需要用180°减去∠A的度数就能算出结果。
【解析】
根据补角的定义可知，∠A的补角 = 180° - ∠A
已知∠A=55°，代入计算：
180° - 55° = 125°
所以对应选项为B
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；角度减法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握补角的定义就能快速解题，是几何入门阶段的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
首先我们要先回忆补角的定义：如果两个角的度数相加等于180°，那这两个角就互为补角，其中一个角就是另一个角的补角。要求∠A的补角，我们只需要用180°减去∠A的度数就能算出结果。
【解析】
根据补角的定义可知，∠A的补角 = 180° - ∠A
已知∠A=55°，代入计算：
180° - 55° = 125°
所以对应选项为B
【答案】
B
【知识点】
补角的定义；角度减法运算
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟练掌握补角的定义就能快速解题，是几何入门阶段的典型基础题型。
【难度系数】
0.9
2.若∠α与∠β互为余角，∠β是∠α的2倍，则
∠α为 （
A.20°
B.30°
C.40°
D.60°
∠α为 （
B
）A.20°
B.30°
C.40°
D.60°
答案
2.B [解析]根据题意,得$∠α+∠β=90°,∠β=2∠α$,所以$∠α+2∠α=90°$,解得$∠α=30°.$
解析
【分析】
解决这道题首先要回忆余角的定义：互为余角的两个角的和为90°。题目同时给出了∠β和∠α的倍数关系，我们可以把倍数关系代入两个角的和的等式中，就能得到只含有∠α的式子，计算求出∠α的度数即可。
【解析】
根据余角的定义，∠α与∠β互为余角，可得：
$∠α + ∠β = 90°$
又已知∠β是∠α的2倍，即：
$∠β = 2∠α$
将$∠β = 2∠α$代入$∠α + ∠β = 90°$，可得：
$∠α + 2∠α = 90°$
合并得$3∠α = 90°$，解得$∠α = 30°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 余角的定义
2. 等量代换
3. 角度计算
【点评】
本题是基础类角度计算题，核心考察余角的概念，结合两个角的倍数关系即可快速求解，是对几何基础概念的常规考察。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要回忆余角的定义：互为余角的两个角的和为90°。题目同时给出了∠β和∠α的倍数关系，我们可以把倍数关系代入两个角的和的等式中，就能得到只含有∠α的式子，计算求出∠α的度数即可。
【解析】
根据余角的定义，∠α与∠β互为余角，可得：
$∠α + ∠β = 90°$
又已知∠β是∠α的2倍，即：
$∠β = 2∠α$
将$∠β = 2∠α$代入$∠α + ∠β = 90°$，可得：
$∠α + 2∠α = 90°$
合并得$3∠α = 90°$，解得$∠α = 30°$。
【答案】
B
【知识点】
1. 余角的定义
2. 等量代换
3. 角度计算
【点评】
本题是基础类角度计算题，核心考察余角的概念，结合两个角的倍数关系即可快速求解，是对几何基础概念的常规考察。
【难度系数】
0.85
