【学以致用2】如果$∠α$的余角比它的补角的$\frac{1}{4}$大$30°$，那么$∠α=\_\_\_\_\_\_°$。

根据题意，得 $90°−∠α=\frac{1}{4}(180°−∠α)+30°$，解得$∠α=20°$。

【分析】
解题时首先回忆余角和补角的定义：两个角的和为90°则互为余角，所以∠α的余角为90°−∠α；两个角的和为180°则互为补角，所以∠α的补角为180°−∠α。再提取题目中的等量关系：∠α的余角 = ∠α补角的$\frac{1}{4}$ + 30°，将余角、补角的表达式代入等量关系列出方程，最后用等式的性质解方程即可求出∠α的度数。
【解析】
根据余角、补角的定义可知：
∠α的余角为$90°−∠α$，∠α的补角为$180°−∠α$。
结合题意列方程：
$90°−∠α=\frac{1}{4}(180°−∠α)+30°$
解方程：
先化简等式右边：$\frac{1}{4}(180°−∠α)+30°=45°-\frac{1}{4}∠α+30°=75°-\frac{1}{4}∠α$，
方程变为：$90°−∠α=75°-\frac{1}{4}∠α$，
等式两边同时加∠α，得：$90°=75°+\frac{3}{4}∠α$，
等式两边同时减75°，得：$15°=\frac{3}{4}∠α$，
等式两边同时乘$\frac{4}{3}$，得：$∠α=20°$。
【答案】
20
【知识点】
余角的定义，补角的定义，列方程解应用题
【点评】
本题是角度计算的基础题型，重点考查对余角、补角概念的掌握程度，以及从题干中提取等量关系、用方程求解未知量的能力，解题时注意不要混淆余角和补角的计算公式。
【难度系数】
0.7

【学以致用3】如图，已知O是直线AB上的一点，OD，OE分别是∠BOC，∠AOC的平分线.求：
(1)图中与∠COE互余的角；
(2)∠COE的补角.

(1)如图。
因为OD,OE分别平分∠BOC,∠AOC，
所以∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BOC,∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠AOC。
因为∠BOC+∠AOC=180°,所以∠1+∠3=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)=$\frac{1}{2}×180°=90°$,
所以∠3的余角有∠1和∠2,即图中与∠COE互余的角为∠COD和∠BOD。
(2)因为∠4+∠EOB=180°,∠3=∠4,所以∠3+∠EOB=180°,所以∠COE的补角是∠EOB。

【分析】
解题前先明确两个基础概念：①若两个角的和为90°，则这两个角互余；②若两个角的和为180°，则这两个角互补。结合已知条件逐步推导：首先O在直线AB上，可得∠AOB是平角，即∠AOC+∠BOC=180°；其次OD、OE分别是∠BOC、∠AOC的平分线，可知两条线分别将对应角分成两个相等的小角。先推导和∠COE相加等于90°的角，解决第一问；再推导和∠COE相加等于180°的角，解决第二问，推导时可利用相等的角进行替换，避免漏解。
【解析】
(1) 因为OD、OE分别平分∠BOC、∠AOC，根据角平分线的定义可得：
∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠AOC。
因为O是直线AB上的点，∠AOB为平角，所以∠BOC+∠AOC=180°，代入得：
∠1+∠3=$\frac{1}{2}$(∠BOC+∠AOC)=$\frac{1}{2}×180°=90°$。
又因为∠1=∠2，所以∠2+∠3=90°，∠3就是∠COE，因此和∠COE互余的角是∠COD（即∠1）和∠BOD（即∠2）。
(2) 由图可知∠4+∠EOB=180°，又因为∠3=∠4，等量代换可得∠3+∠EOB=180°，因此∠COE的补角是∠EOB。
【答案】
(1) 如图，与∠COE互余的角为∠COD和∠BOD；
(2) ∠COE的补角是∠EOB。
【知识点】
角平分线的定义，余角和补角的定义，平角的特征
【点评】
本题是余角、补角判定的基础题型，解题的关键是结合角平分线的性质和平角的度数特征，梳理清楚角之间的和差关系，利用等量代换找出所有符合要求的角，避免漏解。
【难度系数】
0.7

【学以致用4】如图，直线AB，CD相交于点O，已知∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，则∠1=∠2的依据是（）

A.同角的余角相等
B.等角的余角相等
C.同角的补角相等
D.等角的补角相等

C

【分析】
解题时先回忆余角、补角的定义和性质：首先看已知条件中两个角的和都是180°，可知本题考查补角相关知识，先排除涉及余角的A、B选项；再观察∠1和∠2均与同一个角∠3相加得180°，说明二者都是∠3的补角，同一个角的补角相等，对应“同角的补角相等”的性质，而“等角的补角相等”描述的是两个相等的角的补角相等，和本题情况不符，排除D后即可确定答案。
【解析】
1. 明确相关概念：若两个角的和为90°，则这两个角互为余角；若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。
2. 结合已知条件分析：已知∠1+∠3=180°，因此∠1是∠3的补角；又已知∠2+∠3=180°，因此∠2也是∠3的补角。
3. 应用补角性质：∠1和∠2都是同一个角∠3的补角，根据“同角的补角相等”，可得∠1=∠2。
4. 辨析选项：A、B选项描述的是余角的性质，不符合题意；D选项“等角的补角相等”针对的是两个相等的角的补角关系，与本题“同一个角的补角”的情况不符，因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
补角的定义，同角的补角相等
【点评】
本题是补角性质的基础考查题，解题的核心是准确区分余角与补角、同角与等角的概念，避免因概念混淆选错答案。
【难度系数】
0.8

【学以致用5】如图，将一副三角尺的直角顶点重合。
(1)写出以C为顶点的相等的角。
(2)若∠ACB=150°，求∠DCE的度数。
(3)写出∠ACB与∠DCE之间的数量关系。

(1)由题意，得∠ACD=∠ECB。根据同角的余角相等，可得∠ACE=∠BCD。
(2)因为∠ACB=150°,∠BCE=90°,
所以∠ACE=150°−90°=60°,
所以∠DCE=90°−∠ACE=90°−60°=30°。
(3)∠ACB+∠DCE=∠BCE+∠ACE+∠DCE=∠BCE+∠ACD=90°+90°=180°,即∠ACB与∠DCE互补。

【分析】
解答这道题可结合三角尺的直角特征逐步推导：
1. 第(1)问：两个三角尺的直角顶点重合于C，首先两个直角本身相等；两个直角同时减去公共角∠DCE，剩余的角也相等，依据是同角的余角相等。
2. 第(2)问：观察图形可知∠ACB由∠ACE和直角∠BCE组成，先用∠ACB减去∠BCE的度数求出∠ACE，再用直角∠ACD减去∠ACE就能得到∠DCE的度数。
3. 第(3)问：把∠ACB拆分为∠ACE+∠BCE，再与∠DCE相加，可转化为两个直角的和，由此就能推出两个角的数量关系。
【解析】
(1) 由题意得两个三角尺的直角都为90°，因此∠ACD=∠BCE=90°，二者相等；
因为∠ACE + ∠DCE = ∠ACD=90°，∠BCD + ∠DCE = ∠BCE=90°，根据同角的余角相等，可得∠ACE=∠BCD。
(2) 已知∠ACB=150°，∠BCE=90°，
所以∠ACE = ∠ACB - ∠BCE = 150° - 90° = 60°，
又因为∠ACD=90°，
所以∠DCE = ∠ACD - ∠ACE = 90° - 60° = 30°。
(3) ∠ACB + ∠DCE = ∠ACE + ∠BCE + ∠DCE = (∠ACE + ∠DCE) + ∠BCE = ∠ACD + ∠BCE = 90° + 90° = 180°，即∠ACB与∠DCE互补。
【答案】
(1) ∠ACD=∠BCE，∠ACE=∠BCD；
(2) 30°；
(3) ∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补）。
【知识点】
同角的余角相等，角的和差计算，补角的定义
【点评】
本题结合三角尺考查角的互余、互补相关知识，解题关键是结合图形理清各角的和差关系，是角的运算章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7