5. 如图，O为码头，A，B两个灯塔与码头的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船从码头开出，计划沿$∠ AOB$的平分线航行，航行途中，测得轮船与灯塔A，B的距离相等，此时轮船有没有偏离航线？画出图形并说明你的理由.

5. 解:此时轮船没有偏离航线.理由:设轮船在C处,如图所示,航行时C与A,B的距离相等,即$CA=CB,OC=OC.$已知$AO=BO$,由“SSS”可证明$△ AOC≌△ BOC$,所以$∠AOC=∠BOC$,即没偏离航线.

【分析】
要判断轮船是否偏离预定的角平分线航线，可先设轮船当前位置为点C，只需证明OC是∠AOB的平分线即可。已知两个灯塔到码头距离相等即OA=OB，又测得轮船到两个灯塔距离相等即CA=CB，再加上公共边OC，可通过SSS判定定理证明△AOC与△BOC全等，再利用全等三角形对应角相等得到∠AOC=∠BOC，即可得出OC为角平分线，进而判断轮船是否偏离航线。
【解析】
解：此时轮船没有偏离航线，理由如下：
设轮船航行途中所在位置为点C，连接OC、AC、BC。
由题意得：OA=OB，CA=CB，
又
∵OC为△AOC和△BOC的公共边，
∴在△AOC和△BOC中：
$\begin{cases} OA=OB \\ CA=CB \\ OC=OC \end{cases}$
∴$△ AOC ≌ △ BOC$（SSS），
∴∠AOC=∠BOC（全等三角形对应角相等），
即OC是∠AOB的平分线，因此轮船没有偏离航线。
【答案】
此时轮船没有偏离航线.理由:设轮船在C处,如图所示,航行时C与A,B的距离相等,即$CA=CB,OC=OC.$已知$AO=BO$,由“SSS”可证明$△ AOC≌△ BOC$,所以$∠AOC=∠BOC$,即没偏离航线.
【知识点】
SSS判定全等三角形、全等三角形的性质、角平分线的定义
【点评】
本题结合实际航行场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为全等三角形证明问题，通过边的相等关系推导角的相等关系，进而判断是否符合角平分线的要求，能有效提升学生的数学建模与知识应用能力。
【难度系数】
0.7

1.（黔西南州中考题）如图，已知$AB=AD$，那么添加下列一个条件后，仍无法判定$△ ABC ≌ △ ADC$的是（）


A.$CB=CD$
B.$∠ BAC=∠ DAC$
C.$∠ BCA=∠ DCA$
D.$∠ B=∠ D=90°$

1. C

【分析】
首先明确已知条件：△ABC和△ADC中，已有AB=AD，公共边AC=AC，即两组边对应相等。接下来结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS，直角三角形还有HL），逐一分析每个选项添加后是否满足判定条件，注意SSA不能判定一般三角形全等。
【解析】
已知在△ABC和△ADC中，AB=AD，AC为公共边，即AC=AC。
选项A：添加CB=CD，此时三组边对应相等，根据SSS可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项B：添加∠BAC=∠DAC，此时两边及其夹角对应相等，根据SAS可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；
选项C：添加∠BCA=∠DCA，此时为两边及其中一边的对角对应相等（SSA），不满足全等三角形判定条件，无法判定△ABC≌△ADC，符合题意；
选项D：添加∠B=∠D=90°，两个三角形均为直角三角形，根据HL可判定Rt△ABC≌Rt△ADC，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形的判定，HL判定定理
【点评】
本题核心是考查全等三角形判定定理的灵活运用，需要注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，解题时结合已有的边相等条件，逐一验证选项即可得出结论。
【难度系数】
0.7

2.（深圳中考题）如图，△ABC和△DEF中，AB=DE，∠B=∠DEF，添加下列哪一个条件无法证明△ABC≌△DEF（）


A.AC//DF
B.∠A=∠D
C.AC=DF
D.∠ACB=∠F

2. C

【分析】
首先明确已知条件：△ABC和△DEF中，已有AB=DE，∠B=∠DEF，即一组对应边相等、一组对应角相等。要判断添加哪个条件无法证明全等，需结合全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS）逐一验证选项，注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据。
【解析】
已知AB=DE，∠B=∠DEF，逐个分析选项：
1. 选A：若AC//DF，由“两直线平行，同位角相等”得∠ACB=∠F，此时△ABC和△DEF满足∠ACB=∠F，∠B=∠DEF，AB=DE，符合AAS判定，可证全等，不符合题意；
2. 选B：若∠A=∠D，此时△ABC和△DEF满足∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠DEF，符合ASA判定，可证全等，不符合题意；
3. 选C：若AC=DF，此时条件为AB=DE，∠B=∠DEF，AC=DF，属于SSA情形，SSA不能判定一般三角形全等，符合题意；
4. 选D：若∠ACB=∠F，此时△ABC和△DEF满足∠ACB=∠F，∠B=∠DEF，AB=DE，符合AAS判定，可证全等，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 全等三角形的判定
2. 平行线的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的常规考题，核心是对全等三角形判定定理的理解和运用，要格外注意SSA不能作为一般三角形全等的判定依据，避免混淆判定条件。
【难度系数】
0.7

3.（西宁中考题）课间，小明拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图所示.
(1)求证：$△ ADC ≌ △ CEB$；
(2)从三角板的刻度可知$AC=25\ \mathrm{cm}$，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度$a$的大小（每块砖的厚度相等）.

3. (1)证明:由题意,得$AC=CB,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,$
$\therefore ∠ADC=∠CEB=90°,$
$\therefore ∠ACD+∠ECB=90°,∠ACD+∠DAC=90°,$
$\therefore ∠ECB=∠DAC.$
在$△ ADC$和$△ CEB$中,
$\begin{cases}∠ADC=∠CEB,\\∠DAC=∠ECB,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS});$
(2)解:由题意,得$AD=4a,BE=3a,$
$\because △ ADC≌△ CEB,$
$\therefore CD=BE=3a,$
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中,根据勾股定理,得$AD^2+CD^2=AC^2,$
$\therefore (4a)^2+(3a)^2=25^2,$
解得$a=5.$
答:砌墙砖块的厚度$a$为5 cm.

【分析】
(1) 要证明$△ ADC≌△ CEB$，先梳理已知条件：等腰直角三角板可提供$AC=CB$、$∠ ACB=90°$，两墙垂直地面可得$∠ ADC=∠ CEB=90°$；再通过同角的余角相等推出一组对应角相等，满足AAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 求砖块厚度$a$时，先根据砖块堆叠情况得到$AD=4a$、$BE=3a$；借助第一问的全等结论得到$CD=BE=3a$，再在$\mathrm{Rt}△ ACD$中用勾股定理列关于$a$的方程，解方程即可得到$a$的值。
【解析】
(1) 证明：由题意得$AC=CB$，$∠ ACB=90°$，$AD⊥ DE$，$BE⊥ DE$，
$\therefore ∠ ADC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ ACD+∠ ECB=90°$，$∠ ACD+∠ DAC=90°$，
$\therefore ∠ ECB=∠ DAC$。
在$△ ADC$和$△ CEB$中，
$\begin{cases}∠ ADC=∠ CEB,\\∠ DAC=∠ ECB,\\AC=CB,\end{cases}$
$\therefore △ ADC≌△ CEB(\mathrm{AAS})$。
(2) 解：由题意得$AD=4a$，$BE=3a$，
$\because △ ADC≌△ CEB$，
$\therefore CD=BE=3a$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，根据勾股定理，得$AD^2+CD^2=AC^2$，
$\therefore (4a)^2+(3a)^2=25^2$，
整理得$25a^2=625$，解得$a=5$（$a$为正数，舍去负解）。
【答案】
(1) $△ ADC≌△ CEB$得证；
(2) 砌墙砖块的厚度$a$为$\boldsymbol{5\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
全等三角形的判定与性质，勾股定理，余角的性质
【点评】
本题结合生活场景考察几何知识的实际应用，解题的核心是从图形和题干中提取有效条件，先通过全等得到边的等量关系，再利用勾股定理建立方程求解，是几何应用类的典型题型。
【难度系数】
0.7

4.（龙岩中考题）如图，E，F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE，BF交于点P。
(1)求证：$CE=BF$；
(2)求$∠ BPC$的度数。

4. (1)证明:$\because △ ABC$是等边三角形,$\therefore AB=BC,∠A=∠EBC,\because BE=AF,\therefore △ BCE≌△ ABF,\therefore CE=BF;$
(2)解:由(1)得$△ BCE≌△ ABF,\therefore ∠PCB=∠ABF,\therefore ∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=∠EBC=60°,$
$\because ∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°,\therefore ∠BPC=180°-(∠PCB+∠PBC)=180°-60°=120°.$

【分析】
(1)要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。首先结合等边三角形的性质，可得AB=BC、∠A=∠EBC=60°，再结合题中给出的BE=AF，即可证明△BCE和△ABF全等，根据全等三角形对应边相等就能得到CE=BF。
(2)求∠BPC的度数时，可借助(1)的全等结论得到对应角相等，将△BPC中两个内角的和转化为等边三角形的内角60°，再利用三角形内角和为180°，即可求出∠BPC的度数。
【解析】
(1)证明：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠A=∠EBC=60°，
又
∵BE=AF，
∴△BCE≌△ABF（SAS），
∴CE=BF。
(2)解：由(1)得△BCE≌△ABF，
∴∠PCB=∠ABF，
∴∠PCB+∠PBC=∠ABF+∠PBC=∠EBC=60°，
∵在△BPC中，∠CPB+∠PCB+∠PBC=180°，
∴∠BPC=180°-(∠PCB+∠PBC)=180°-60°=120°。
【答案】
(1)CE=BF，证明成立；
(2)∠BPC的度数为120°
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形章节的常考基础题，核心考查等边三角形性质和全等三角形的应用，解题关键是通过全等实现边角关系的转化，掌握相关定理即可顺利求解。
【难度系数】
0.7