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三、解答题
13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=40°,∠ ACB=70°,AD$是$BC$边上的高,$AE$平分$∠ BAC$.
(1)求$∠ BAE$的度数;
(2)求$∠ DAE$的度数.
13. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=40°,∠ ACB=70°,AD$是$BC$边上的高,$AE$平分$∠ BAC$.
(1)求$∠ BAE$的度数;
(2)求$∠ DAE$的度数.
答案
13. 解:(1)$\because ∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∠ABC=40°,∠ACB=70°,$
$\therefore ∠BAC=180°-40°-70°=70°,$
$\because AE$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=35°;$
(2)$\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ADB=90°,$
$\therefore ∠B+∠BAD=90°,$
$\therefore ∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°,$
$\therefore ∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-35°=15°.$
$\therefore ∠BAC=180°-40°-70°=70°,$
$\because AE$平分$∠BAC,$
$\therefore ∠BAE=\frac{1}{2}∠BAC=35°;$
(2)$\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ADB=90°,$
$\therefore ∠B+∠BAD=90°,$
$\therefore ∠BAD=90°-∠B=90°-40°=50°,$
$\therefore ∠DAE=∠BAD-∠BAE=50°-35°=15°.$
解析
【分析】
（1）要求∠BAE的度数，已知AE是∠BAC的角平分线，因此首先需要求出∠BAC的度数。根据三角形内角和为180°，结合题目给出的∠ABC和∠ACB的度数，即可算出∠BAC的大小，再利用角平分线的性质，∠BAE等于∠BAC的一半，就能得到结果。
（2）要求∠DAE的度数，已知AD是BC边上的高，因此△ABD是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，据此可以先求出∠BAD的度数，再结合第一问算出的∠BAE的度数，用∠BAD减去∠BAE即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$，
已知$∠ ABC=40°$，$∠ ACB=70°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-40°-70°=70°$，
$\because AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$；
(2) $\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ B+∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ B=90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=50°-35°=15°$。
【答案】
(1) $∠ BAE=35°$；
(2) $∠ DAE=15°$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题核心是理清各角之间的数量关系，熟练运用三角形的基础性质推导角度，能有效巩固相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
（1）要求∠BAE的度数，已知AE是∠BAC的角平分线，因此首先需要求出∠BAC的度数。根据三角形内角和为180°，结合题目给出的∠ABC和∠ACB的度数，即可算出∠BAC的大小，再利用角平分线的性质，∠BAE等于∠BAC的一半，就能得到结果。
（2）要求∠DAE的度数，已知AD是BC边上的高，因此△ABD是直角三角形，直角三角形的两个锐角互余，据此可以先求出∠BAD的度数，再结合第一问算出的∠BAE的度数，用∠BAD减去∠BAE即可得到∠DAE的度数。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，$∠ BAC+∠ ABC+∠ ACB=180°$，
已知$∠ ABC=40°$，$∠ ACB=70°$，
$\therefore ∠ BAC=180°-40°-70°=70°$，
$\because AE$平分$∠ BAC$，
$\therefore ∠ BAE=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×70°=35°$；
(2) $\because AD$是$BC$边上的高，
$\therefore ∠ ADB=90°$，
在$Rt△ ABD$中，$∠ B+∠ BAD=90°$，
$\therefore ∠ BAD=90°-∠ B=90°-40°=50°$，
$\therefore ∠ DAE=∠ BAD-∠ BAE=50°-35°=15°$。
【答案】
(1) $∠ BAE=35°$；
(2) $∠ DAE=15°$。
【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形角度计算的常规题型，解题核心是理清各角之间的数量关系，熟练运用三角形的基础性质推导角度，能有效巩固相关性质的应用能力。
【难度系数】
0.8
1. 如图所示，延长$△ ABC$的中线$AD$到点$E$，使$DE=AD$，连接$BE$，$EC$，那么在四边形$ABEC$中共有
4
对全等的三角形。答案
1. 4
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：AD是△ABC的中线，可得BD=CD，再结合DE=AD，可判断四边形ABEC是对角线互相平分的平行四边形；接下来利用平行四边形对边相等、对角相等的性质，结合全等三角形的判定定理，逐一找出所有全等的三角形即可，注意列举时不要重复或遗漏。
【解析】
1. 先判定四边形ABEC的形状：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
又
∵DE=AD，即四边形ABEC的对角线AE、BC互相平分，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AB=CE，AC=BE。
2. 逐一列举全等三角形：
① △ABD≌△ECD：AD=ED，∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=CD，满足SAS判定；
② △ACD≌△EBD：AD=ED，∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD，满足SAS判定；
③ △ABC≌△ECB：AB=EC，AC=EB，BC=CB（公共边），满足SSS判定；
④ △ABE≌△ECA：AB=EC，BE=CA，AE=EA（公共边），满足SSS判定。
综上，共有4对全等三角形。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，三角形中线的定义
【点评】
本题综合了三角形中线、平行四边形和全等三角形的相关知识，解题突破口是先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再结合全等判定条件有序列举全等三角形，可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知条件入手：AD是△ABC的中线，可得BD=CD，再结合DE=AD，可判断四边形ABEC是对角线互相平分的平行四边形；接下来利用平行四边形对边相等、对角相等的性质，结合全等三角形的判定定理，逐一找出所有全等的三角形即可，注意列举时不要重复或遗漏。
【解析】
1. 先判定四边形ABEC的形状：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
又
∵DE=AD，即四边形ABEC的对角线AE、BC互相平分，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AB=CE，AC=BE。
2. 逐一列举全等三角形：
① △ABD≌△ECD：AD=ED，∠ADB=∠EDC（对顶角相等），BD=CD，满足SAS判定；
② △ACD≌△EBD：AD=ED，∠ADC=∠EDB（对顶角相等），CD=BD，满足SAS判定；
③ △ABC≌△ECB：AB=EC，AC=EB，BC=CB（公共边），满足SSS判定；
④ △ABE≌△ECA：AB=EC，BE=CA，AE=EA（公共边），满足SSS判定。
综上，共有4对全等三角形。
【答案】
4
【知识点】
平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定，三角形中线的定义
【点评】
本题综合了三角形中线、平行四边形和全等三角形的相关知识，解题突破口是先根据对角线互相平分判定四边形为平行四边形，再结合全等判定条件有序列举全等三角形，可有效避免漏数、多数的问题。
【难度系数】
0.7
2. 如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（
A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①②去
C
）A.带①去
B.带②去
C.带③去
D.带①②去
答案
2. C
解析
【分析】
要配一块和原三角形完全一样的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，解题时需先回忆三角形全等的判定定理，再逐一分析每块碎片保留的原三角形的边角元素，判断哪块碎片满足全等判定的条件，即可得出最省事的方法。
【解析】
配完全相同的玻璃的本质是得到与原三角形全等的三角形，结合三角形全等的判定条件分析三块碎片：
1. 碎片①仅保留原三角形的1个角和部分边，不满足任何全等判定条件，无法确定原三角形的形状和大小，不能配出符合要求的玻璃；
2. 碎片②仅保留原三角形的部分边，没有完整的边角对应关系，不满足全等判定条件，无法配出符合要求的玻璃；
3. 碎片③保留了原三角形的两个内角，以及这两个内角的夹边，根据“角边角（ASA）”的全等判定定理，可确定唯一和原三角形全等的三角形，能配出完全一样的玻璃。
因此最省事的方法是带③去。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等判定；角边角定理
【点评】
本题结合生活实际考查三角形全等判定的应用，解题关键是准确判断每块碎片保留的原三角形边角元素，结合全等判定条件分析即可，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
要配一块和原三角形完全一样的玻璃，本质是构造与原三角形全等的三角形，解题时需先回忆三角形全等的判定定理，再逐一分析每块碎片保留的原三角形的边角元素，判断哪块碎片满足全等判定的条件，即可得出最省事的方法。
【解析】
配完全相同的玻璃的本质是得到与原三角形全等的三角形，结合三角形全等的判定条件分析三块碎片：
1. 碎片①仅保留原三角形的1个角和部分边，不满足任何全等判定条件，无法确定原三角形的形状和大小，不能配出符合要求的玻璃；
2. 碎片②仅保留原三角形的部分边，没有完整的边角对应关系，不满足全等判定条件，无法配出符合要求的玻璃；
3. 碎片③保留了原三角形的两个内角，以及这两个内角的夹边，根据“角边角（ASA）”的全等判定定理，可确定唯一和原三角形全等的三角形，能配出完全一样的玻璃。
因此最省事的方法是带③去。
【答案】
C
【知识点】
三角形全等判定；角边角定理
【点评】
本题结合生活实际考查三角形全等判定的应用，解题关键是准确判断每块碎片保留的原三角形边角元素，结合全等判定条件分析即可，贴近生活实用性强。
【难度系数】
0.8
3. 为了测量河两岸相对点A,B的距离，小明先在AB的垂线BF上取两点C,D，使$CD=BC$，再定出BF的垂线DE，使A,C,E在同一条直线上(如图所示)，可以证明$△ EDC ≌ △ ABC$，得$ED=AB$，因此测得ED的长就是AB的长，判定$△ EDC ≌ △ ABC$的理由是（
A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.HL
B
）A.SAS
B.ASA
C.SSS
D.HL
答案
3. B
解析
【分析】
要判定△EDC和△ABC全等，需先梳理两个三角形中已知的相等边和角：首先根据垂直条件可得两个直角相等，题目直接给出了一组边相等，另外两三角形有一组对顶角相等，这三个条件符合“两角及其夹边对应相等”的全等判定规则，对应ASA定理，即可得到答案。
【解析】
1. 由垂直的定义可知：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°；
2. 题目已知BC=CD；
3.
∵A、C、E三点共线，∠ACB和∠ECD是对顶角，
∴∠ACB=∠ECD；
在△EDC和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABC=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ ECD\end{array} $
∴△EDC≌△ABC（ASA），因此判定理由为ASA。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的ASA判定，对顶角的性质，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的应用，解题核心是准确找到两个三角形对应相等的边和角，结合全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
要判定△EDC和△ABC全等，需先梳理两个三角形中已知的相等边和角：首先根据垂直条件可得两个直角相等，题目直接给出了一组边相等，另外两三角形有一组对顶角相等，这三个条件符合“两角及其夹边对应相等”的全等判定规则，对应ASA定理，即可得到答案。
【解析】
1. 由垂直的定义可知：
∵AB⊥BF，DE⊥BF，
∴∠ABC=∠EDC=90°；
2. 题目已知BC=CD；
3.
∵A、C、E三点共线，∠ACB和∠ECD是对顶角，
∴∠ACB=∠ECD；
在△EDC和△ABC中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABC=∠ EDC \\BC=DC \\∠ ACB=∠ ECD\end{array} $
∴△EDC≌△ABC（ASA），因此判定理由为ASA。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的ASA判定，对顶角的性质，垂直的定义
【点评】
本题是全等三角形在实际测量场景中的应用，解题核心是准确找到两个三角形对应相等的边和角，结合全等判定定理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
4. 如图,工人师傅要检查人字梁的∠B和∠C是否相等,但他手边没有量角器,只有一个刻度尺.他是这样操作的：
①分别在BA和CA上取BE=CG；
②在BC上取BD=CF；
③量出DE的长a m,FG的长b m.
如果a=b,则说明∠B和∠C是相等的.他的这种做法合理吗?为什么?
①分别在BA和CA上取BE=CG；
②在BC上取BD=CF；
③量出DE的长a m,FG的长b m.
如果a=b,则说明∠B和∠C是相等的.他的这种做法合理吗?为什么?
答案
4. 解:合理. 因为他这样做相当于是利用“SSS”证明$△ BED≌△ CGF$,所以可得$∠B=∠C.$
解析
【分析】
要判断该做法是否合理，核心思路是借助三角形全等的判定与性质推导角的关系：操作步骤已经给出两组边相等（BE=CG、BD=CF），若测量得到DE=FG，就满足三边对应相等的全等判定条件，可证明两个三角形全等，再结合全等三角形对应角相等的性质就能推出∠B=∠C，因此只需验证操作是否符合全等判定逻辑即可。
【解析】
解：这种做法合理，理由如下：
在$△ BED$和$△ CGF$中：
$\begin{cases}BE=CG（操作①已知）\\BD=CF（操作②已知）\\DE=FG（测量得a=b）\end{cases}$
$\therefore △ BED ≌ △ CGF(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ B=∠ C$（全等三角形的对应角相等）
因此该做法可以判断∠B和∠C是否相等，是合理的。
【答案】
合理。因为他这样做相当于是利用“SSS”证明$△ BED≌△ CGF$，所以可得$∠B=∠C.$
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查全等三角形的应用，解题关键是从操作步骤中提取边相等的条件，利用全等三角形的判定和性质完成推导，体现了数学知识解决实际问题的实用性。
【难度系数】
0.8
要判断该做法是否合理，核心思路是借助三角形全等的判定与性质推导角的关系：操作步骤已经给出两组边相等（BE=CG、BD=CF），若测量得到DE=FG，就满足三边对应相等的全等判定条件，可证明两个三角形全等，再结合全等三角形对应角相等的性质就能推出∠B=∠C，因此只需验证操作是否符合全等判定逻辑即可。
【解析】
解：这种做法合理，理由如下：
在$△ BED$和$△ CGF$中：
$\begin{cases}BE=CG（操作①已知）\\BD=CF（操作②已知）\\DE=FG（测量得a=b）\end{cases}$
$\therefore △ BED ≌ △ CGF(\mathrm{SSS})$
$\therefore ∠ B=∠ C$（全等三角形的对应角相等）
因此该做法可以判断∠B和∠C是否相等，是合理的。
【答案】
合理。因为他这样做相当于是利用“SSS”证明$△ BED≌△ CGF$，所以可得$∠B=∠C.$
【知识点】
1. 全等三角形SSS判定
2. 全等三角形的性质
【点评】
本题结合实际生活场景考查全等三角形的应用，解题关键是从操作步骤中提取边相等的条件，利用全等三角形的判定和性质完成推导，体现了数学知识解决实际问题的实用性。
【难度系数】
0.8
