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1. 三角形的三边长分别为$5,1+2x,8$,则$x$的取值范围是
$1＜x＜6$
。答案
1. $1＜x＜6$
解析
【分析】
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条定长的边为5和8，第三条边为含参数x的表达式1+2x，因此只需根据第三边的取值范围：大于另外两边的差、小于另外两边的和，列出关于x的不等式，再解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形的第三边大于其余两边之差，小于其余两边之和，可得：
$8-5 ＜ 1+2x ＜ 8+5$
即$3 ＜ 1+2x ＜ 13$
分别解不等式：
左边：$3 ＜ 1+2x$，移项得$2x＞2$，解得$x＞1$
右边：$1+2x ＜13$，移项得$2x＜12$，解得$x＜6$
综上，x的取值范围是$1＜x＜6$。
【答案】
$1＜x＜6$
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解与应用，解题的关键是正确根据三边关系列出不等式，求解不等式时注意移项要变号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
本题考查三角形三边关系的应用，解题思路如下：首先回忆三角形三边的核心性质：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。已知三角形两条定长的边为5和8，第三条边为含参数x的表达式1+2x，因此只需根据第三边的取值范围：大于另外两边的差、小于另外两边的和，列出关于x的不等式，再解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形的第三边大于其余两边之差，小于其余两边之和，可得：
$8-5 ＜ 1+2x ＜ 8+5$
即$3 ＜ 1+2x ＜ 13$
分别解不等式：
左边：$3 ＜ 1+2x$，移项得$2x＞2$，解得$x＞1$
右边：$1+2x ＜13$，移项得$2x＜12$，解得$x＜6$
综上，x的取值范围是$1＜x＜6$。
【答案】
$1＜x＜6$
【知识点】
三角形三边关系、一元一次不等式求解
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对三角形三边关系的理解与应用，解题的关键是正确根据三边关系列出不等式，求解不等式时注意移项要变号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
2. 四条线段的长分别为5 cm，6 cm，8 cm，13 cm，以其中任意三条线段为边可以构成
2
个三角形。答案
2. 2
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确三角形的三边判定规则：三角形任意两边之和大于第三边，实际验证时只需看较短两条边的和是否大于最长边即可（最长边加任意短边一定大于另一条短边，无需重复验证）。解题时第一步先罗列出从四条线段中任选三条的所有组合，再逐一用三边规则判断是否能构成三角形，最后统计符合要求的组合数量即可。
【解析】
首先枚举从4条线段中选3条的所有可能组合，共4种，逐一验证：
1. 选取5cm、6cm、8cm：最长边为8cm，较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＞8$，满足三边关系，可以构成三角形；
2. 选取5cm、6cm、13cm：最长边为13cm，较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＜13$，不满足三边关系，不能构成三角形；
3. 选取5cm、8cm、13cm：最长边为13cm，较短两边之和为$5+8=13\mathrm{cm}$，两边之和等于第三边，无法构成三角形；
4. 选取6cm、8cm、13cm：最长边为13cm，较短两边之和为$6+8=14\mathrm{cm}$，$14＞13$，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，符合条件的组合共2个。
【答案】
2
【知识点】
三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题时需要完整枚举所有可能的三边组合，验证时要注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免出现多算或者漏算的错误。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确三角形的三边判定规则：三角形任意两边之和大于第三边，实际验证时只需看较短两条边的和是否大于最长边即可（最长边加任意短边一定大于另一条短边，无需重复验证）。解题时第一步先罗列出从四条线段中任选三条的所有组合，再逐一用三边规则判断是否能构成三角形，最后统计符合要求的组合数量即可。
【解析】
首先枚举从4条线段中选3条的所有可能组合，共4种，逐一验证：
1. 选取5cm、6cm、8cm：最长边为8cm，较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＞8$，满足三边关系，可以构成三角形；
2. 选取5cm、6cm、13cm：最长边为13cm，较短两边之和为$5+6=11\mathrm{cm}$，$11＜13$，不满足三边关系，不能构成三角形；
3. 选取5cm、8cm、13cm：最长边为13cm，较短两边之和为$5+8=13\mathrm{cm}$，两边之和等于第三边，无法构成三角形；
4. 选取6cm、8cm、13cm：最长边为13cm，较短两边之和为$6+8=14\mathrm{cm}$，$14＞13$，满足三边关系，可以构成三角形。
综上，符合条件的组合共2个。
【答案】
2
【知识点】
三角形三边关系、分类讨论
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，解题时需要完整枚举所有可能的三边组合，验证时要注意两边之和等于第三边的情况无法构成三角形，避免出现多算或者漏算的错误。
【难度系数】
0.8
3. 如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A=105°,∠B=35°,则这块三角形木板缺少的角的度数是
$40°$
。答案
3. $40°$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确该残余部分原本属于三角形，根据三角形的基本性质，三角形三个内角的和为180°。现在已知原三角形的两个内角∠A和∠B的度数，要求缺少的第三个角，直接用三角形内角和减去两个已知角的度数即可。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。
设缺少的角的度数为∠C，则：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=105°$，$∠ B=35°$代入上式得：
$∠ C = 180° - 105° - 35° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的直接应用，计算量小，只要牢记三角形内角和为180°就能快速求解。
【难度系数】
0.9
要解决这个问题，首先明确该残余部分原本属于三角形，根据三角形的基本性质，三角形三个内角的和为180°。现在已知原三角形的两个内角∠A和∠B的度数，要求缺少的第三个角，直接用三角形内角和减去两个已知角的度数即可。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。
设缺少的角的度数为∠C，则：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B$
将$∠ A=105°$，$∠ B=35°$代入上式得：
$∠ C = 180° - 105° - 35° = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查三角形内角和定理的直接应用，计算量小，只要牢记三角形内角和为180°就能快速求解。
【难度系数】
0.9
4. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,AB=5,CD=2,则△ABD的面积是
5
。答案
4. 5
解析
【分析】
要求△ABD的面积，已知底AB的长度，只需找到AB边上的高即可。已知AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离等于CD的长度，将该距离作为△ABD的高，代入三角形面积公式即可计算结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），
∴根据角平分线的性质，DE = CD = 2。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × DE = \frac{1}{2}×5×2=5$
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作AB边上的高，将已知的CD长度转化为所求三角形的高，再结合面积公式快速求解，解题时要注意对性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
要求△ABD的面积，已知底AB的长度，只需找到AB边上的高即可。已知AD是∠BAC的角平分线，且∠C=90°，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知点D到AB的距离等于CD的长度，将该距离作为△ABD的高，代入三角形面积公式即可计算结果。
【解析】
过点D作DE⊥AB，垂足为E。
∵AD平分∠BAC，∠C=90°（即DC⊥AC），
∴根据角平分线的性质，DE = CD = 2。
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}× AB × DE = \frac{1}{2}×5×2=5$
【答案】
5
【知识点】
角平分线的性质；三角形面积计算
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题，解题的关键是通过作AB边上的高，将已知的CD长度转化为所求三角形的高，再结合面积公式快速求解，解题时要注意对性质的灵活运用。
【难度系数】
0.8
5. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是（
A.2 cm,3 cm,5 cm
B.5 cm,6 cm,10 cm
C.1 cm,1 cm,3 cm
D.3 cm,4 cm,9 cm
B
）A.2 cm,3 cm,5 cm
B.5 cm,6 cm,10 cm
C.1 cm,1 cm,3 cm
D.3 cm,4 cm,9 cm
答案
5. B
解析
【分析】
要判断给定的三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，不需要逐一验证三组两边之和，只需验证较短的两条线段的长度之和是否大于最长的线段长度即可：如果较短两边之和大于最长边，那么其余两组两边之和必然也大于第三边，即可组成三角形；反之则不能。我们只需按照这个方法逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：较短两边之和大于最长边即可构成三角形。
对各选项逐一验证：
A选项：较短两边为2cm、3cm，最长边为5cm，2+3=5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B选项：较短两边为5cm、6cm，最长边为10cm，5+6=11＞10，满足三边关系，可以组成三角形；
C选项：较短两边为1cm、1cm，最长边为3cm，1+1=2＜3，不满足三边关系，不能组成三角形；
D选项：较短两边为3cm、4cm，最长边为9cm，3+4=7＜9，不满足三边关系，不能组成三角形。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“验证较短两边之和大于最长边”的简便判断方法，即可快速准确得出答案，属于基础类的得分题。
【难度系数】
0.9
要判断给定的三条线段能否组成三角形，核心依据是三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边。为了提高解题效率，不需要逐一验证三组两边之和，只需验证较短的两条线段的长度之和是否大于最长的线段长度即可：如果较短两边之和大于最长边，那么其余两组两边之和必然也大于第三边，即可组成三角形；反之则不能。我们只需按照这个方法逐个验证选项即可。
【解析】
根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便判断方法为：较短两边之和大于最长边即可构成三角形。
对各选项逐一验证：
A选项：较短两边为2cm、3cm，最长边为5cm，2+3=5，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形；
B选项：较短两边为5cm、6cm，最长边为10cm，5+6=11＞10，满足三边关系，可以组成三角形；
C选项：较短两边为1cm、1cm，最长边为3cm，1+1=2＜3，不满足三边关系，不能组成三角形；
D选项：较短两边为3cm、4cm，最长边为9cm，3+4=7＜9，不满足三边关系，不能组成三角形。
综上，符合条件的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
三角形三边关系
【点评】
本题是三角形三边关系的基础应用题型，掌握“验证较短两边之和大于最长边”的简便判断方法，即可快速准确得出答案，属于基础类的得分题。
【难度系数】
0.9
6. 等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，
则它的周长是 （
A.17
B.22
C.17或22
D.13
则它的周长是 （
B
）A.17
B.22
C.17或22
D.13
答案
6. B
解析
【分析】
解题时首先明确等腰三角形的两条腰长度相等，因此已知的两条边长4和9都有可能作为腰长，需要分两种情况讨论；其次根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对两种情况分别验证是否能构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为9，此时三角形三边长为4、4、9。
∵4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为9，底边长为4，此时三角形三边长为9、9、4。
∵4+9=13＞9，9+9=18＞4，满足三角形三边关系，
∴该情况成立。
此时周长为9+9+4=22。
综上，该等腰三角形周长为22。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，很多同学会忽略构成三角形的前提条件，直接分两种情况计算得到17和22错选C，解题时要牢记：涉及三角形边长的问题，一定要先验证三边是否满足三角形三边关系，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
解题时首先明确等腰三角形的两条腰长度相等，因此已知的两条边长4和9都有可能作为腰长，需要分两种情况讨论；其次根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”，对两种情况分别验证是否能构成三角形，排除不符合的情况后，再计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 若腰长为4，底边长为9，此时三角形三边长为4、4、9。
∵4+4=8＜9，不满足三角形三边关系，
∴该情况无法构成三角形，舍去。
② 若腰长为9，底边长为4，此时三角形三边长为9、9、4。
∵4+9=13＞9，9+9=18＞4，满足三角形三边关系，
∴该情况成立。
此时周长为9+9+4=22。
综上，该等腰三角形周长为22。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是易错题，很多同学会忽略构成三角形的前提条件，直接分两种情况计算得到17和22错选C，解题时要牢记：涉及三角形边长的问题，一定要先验证三边是否满足三角形三边关系，再进行后续计算。
【难度系数】
0.6
7. 适合条件$∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$的$△ ABC$是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等边三角形
答案
7. B
解析
【分析】
本题可利用三角形内角和为180°的定理求解，解题思路如下：首先根据题目给出的三个角的数量关系，设最小的∠A为未知数，将∠B、∠C都用该未知数表示；再代入三角形内角和公式列方程，计算出三个角的具体度数；最后根据最大角的类型判断三角形的类别即可。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore ∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得：$6x=180°$
解得：$x=30°$
$\therefore ∠ C=3x=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，解题核心是通过角的比例关系设未知数，结合内角和定理建立方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题可利用三角形内角和为180°的定理求解，解题思路如下：首先根据题目给出的三个角的数量关系，设最小的∠A为未知数，将∠B、∠C都用该未知数表示；再代入三角形内角和公式列方程，计算出三个角的具体度数；最后根据最大角的类型判断三角形的类别即可。
【解析】
设$∠ A = x$，
$\because ∠ A=\frac{1}{2}∠ B=\frac{1}{3}∠ C$，
$\therefore ∠ B = 2x$，$∠ C = 3x$。
根据三角形内角和为$180°$，可得：
$x+2x+3x=180°$
合并同类项得：$6x=180°$
解得：$x=30°$
$\therefore ∠ C=3x=90°$，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形的分类
【点评】
本题是三角形部分的基础常考题，解题核心是通过角的比例关系设未知数，结合内角和定理建立方程求解，掌握方程思想在几何计算中的应用即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 已知等腰三角形的一个角为$75°$,则其顶角为（
A.$30°$
B.$75°$
C.$105°$
D.$30°$或$75°$
D
）A.$30°$
B.$75°$
C.$105°$
D.$30°$或$75°$
答案
8. D
解析
【分析】
解题时首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出等腰三角形的一个角为75°，未说明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算顶角的度数，再验证两种情况是否都符合三角形内角和要求，最终确定结果。
【解析】
解：已知等腰三角形的一个角为75°，分两种情况讨论：
1. 若75°的角为顶角，此时顶角即为75°，符合三角形内角和要求；
2. 若75°的角为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得顶角为$180° - 75° × 2 = 30°$，也符合三角形内角和要求。
因此该等腰三角形的顶角为30°或75°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知角为底角或顶角，从而出现漏解。解题时遇到未明确说明等腰三角形已知角类型的问题，要分情况讨论，同时注意验证结果是否符合三角形内角和规则。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出等腰三角形的一个角为75°，未说明该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，分别计算顶角的度数，再验证两种情况是否都符合三角形内角和要求，最终确定结果。
【解析】
解：已知等腰三角形的一个角为75°，分两种情况讨论：
1. 若75°的角为顶角，此时顶角即为75°，符合三角形内角和要求；
2. 若75°的角为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，可得顶角为$180° - 75° × 2 = 30°$，也符合三角形内角和要求。
因此该等腰三角形的顶角为30°或75°。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题的易错点是忽略分类讨论，默认已知角为底角或顶角，从而出现漏解。解题时遇到未明确说明等腰三角形已知角类型的问题，要分情况讨论，同时注意验证结果是否符合三角形内角和规则。
【难度系数】
0.7
9. 下列说法:①形状相同的图形是全等图形；②全等图形的大小相同,形状也相同；③全等三角形的面积相等；④面积相等的两个三角形全等；⑤若$△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$，$△ A_1B_1C_1 ≌ △ A_2B_2C_2$，则$△ ABC ≌ △ A_2B_2C_2$。其中正确的说法有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
9. B
解析
【分析】
要判断这5个说法的正误，需结合全等图形、全等三角形的定义及性质逐一分析：首先明确全等图形的核心是“能完全重合”，即形状、大小都相同，再结合全等三角形的性质、全等的传递性逐个判断每个说法，最后统计正确说法的数量即可得出答案。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
①形状相同的图形是全等图形：错误。形状相同、大小也相同的图形才是全等图形，仅形状相同（如大小不同的两个正方形）不是全等图形。
②全等图形的大小相同，形状也相同：正确。全等图形的定义是能够完全重合的图形，完全重合意味着形状、大小均相同。
③全等三角形的面积相等：正确。全等三角形能够完全重合，底和对应高都相等，因此面积一定相等。
④面积相等的两个三角形全等：错误。举反例：底为2、高为3的三角形和底为3、高为2的三角形，面积均为3，但形状不一定相同，不能完全重合，因此不全等。
⑤若$△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$，$△ A_1B_1C_1 ≌ △ A_2B_2C_2$，则$△ ABC ≌ △ A_2B_2C_2$：正确。全等关系具有传递性，三个三角形都能互相重合，因此$△ ABC$和$△ A_2B_2C_2$也全等。
综上，正确的说法是②③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
全等形的定义；全等三角形的性质；全等的传递性
【点评】
本题考查全等相关的基础概念，解题的关键是准确理解全等的核心特征（形状、大小均相同，能完全重合），注意区分“面积相等”和“全等”的逻辑关系，不要混淆性质和判定条件。
【难度系数】
0.7
要判断这5个说法的正误，需结合全等图形、全等三角形的定义及性质逐一分析：首先明确全等图形的核心是“能完全重合”，即形状、大小都相同，再结合全等三角形的性质、全等的传递性逐个判断每个说法，最后统计正确说法的数量即可得出答案。
【解析】
我们对每个说法逐一判断：
①形状相同的图形是全等图形：错误。形状相同、大小也相同的图形才是全等图形，仅形状相同（如大小不同的两个正方形）不是全等图形。
②全等图形的大小相同，形状也相同：正确。全等图形的定义是能够完全重合的图形，完全重合意味着形状、大小均相同。
③全等三角形的面积相等：正确。全等三角形能够完全重合，底和对应高都相等，因此面积一定相等。
④面积相等的两个三角形全等：错误。举反例：底为2、高为3的三角形和底为3、高为2的三角形，面积均为3，但形状不一定相同，不能完全重合，因此不全等。
⑤若$△ ABC ≌ △ A_1B_1C_1$，$△ A_1B_1C_1 ≌ △ A_2B_2C_2$，则$△ ABC ≌ △ A_2B_2C_2$：正确。全等关系具有传递性，三个三角形都能互相重合，因此$△ ABC$和$△ A_2B_2C_2$也全等。
综上，正确的说法是②③⑤，共3个。
【答案】
B
【知识点】
全等形的定义；全等三角形的性质；全等的传递性
【点评】
本题考查全等相关的基础概念，解题的关键是准确理解全等的核心特征（形状、大小均相同，能完全重合），注意区分“面积相等”和“全等”的逻辑关系，不要混淆性质和判定条件。
【难度系数】
0.7
10. 已知△ABC的六个元素如图，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（
A.甲、乙
B.乙、丙
C.只有乙
D.只有丙
B
）A.甲、乙
B.乙、丙
C.只有乙
D.只有丙
答案
10. B
解析
【分析】
解题时首先回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意SSA、AAA不能判定三角形全等。接下来先明确△ABC的各边、对应角的位置和大小，再逐一对比甲、乙、丙三个三角形的已知条件，判断是否符合全等判定定理即可。
【解析】
我们逐个分析三个三角形：
1. 分析甲：甲的已知条件为两边长分别等于△ABC的边a、c，以及一个50°的角，但这个50°的角不是a、c两边的夹角，属于SSA的条件，不符合全等三角形的判定规则，因此甲和△ABC不全等。
2. 分析乙：乙的已知条件为两个角分别为50°、72°，且72°角的对边长为a，和△ABC中对应角、对应边完全匹配，符合AAS的全等判定定理，因此乙和△ABC全等。
3. 分析丙：丙的已知条件为两边长分别等于△ABC的边a、c，且两边的夹角为50°，和△ABC中对应两边及夹角完全匹配，符合SAS的全等判定定理，因此丙和△ABC全等。
综上，乙、丙和△ABC全等。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，易错点是误将SSA作为全等判定依据，解题时要格外注意对应边和对应角的位置关系，准确匹配判定条件。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），注意SSA、AAA不能判定三角形全等。接下来先明确△ABC的各边、对应角的位置和大小，再逐一对比甲、乙、丙三个三角形的已知条件，判断是否符合全等判定定理即可。
【解析】
我们逐个分析三个三角形：
1. 分析甲：甲的已知条件为两边长分别等于△ABC的边a、c，以及一个50°的角，但这个50°的角不是a、c两边的夹角，属于SSA的条件，不符合全等三角形的判定规则，因此甲和△ABC不全等。
2. 分析乙：乙的已知条件为两个角分别为50°、72°，且72°角的对边长为a，和△ABC中对应角、对应边完全匹配，符合AAS的全等判定定理，因此乙和△ABC全等。
3. 分析丙：丙的已知条件为两边长分别等于△ABC的边a、c，且两边的夹角为50°，和△ABC中对应两边及夹角完全匹配，符合SAS的全等判定定理，因此丙和△ABC全等。
综上，乙、丙和△ABC全等。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定
【点评】
本题考查全等三角形判定定理的实际应用，易错点是误将SSA作为全等判定依据，解题时要格外注意对应边和对应角的位置关系，准确匹配判定条件。
【难度系数】
0.7
11. 在$△ ABC$和$△ A'B'C'$中，$AB=A'B'$，$∠ B=∠ B'$，补充条件后仍不一定能保证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，则补充的这个条件是（
A.$BC=B'C'$
B.$∠ A=∠ A'$
C.$AC=A'C'$
D.$∠ C=∠ C'$
C
）A.$BC=B'C'$
B.$∠ A=∠ A'$
C.$AC=A'C'$
D.$∠ C=∠ C'$
答案
11. C
解析
【分析】
解题时首先明确已知条件：△ABC和△A'B'C'中已有一组对应边AB=A'B'、一组对应角∠B=∠B'，需找出补充后仍无法保证两三角形全等的条件。首先回忆三角形全等的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS，注意边边角（SSA）不能作为全等判定依据。接下来逐个将选项代入验证，判断是否符合合法的全等判定定理即可。
【解析】
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠B=∠B'，逐一分析选项：
1. 若补充选项A：$BC=B'C'$，此时两边及其夹角对应相等，满足SAS（边角边）全等判定定理，可证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，不符合题意；
2. 若补充选项B：$∠A=∠A'$，此时两角及其夹边对应相等，满足ASA（角边角）全等判定定理，可证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，不符合题意；
3. 若补充选项C：$AC=A'C'$，此时为两边及其中一边的对角对应相等（即SSA，边边角），该条件不能判定三角形全等，因此不一定能保证两三角形全等，符合题意；
4. 若补充选项D：$∠C=∠C'$，此时两角及其中一角的对边对应相等，满足AAS（角角边）全等判定定理，可证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形全等的判定
【点评】
本题核心考查对三角形全等判定定理的理解与运用，需特别注意边边角（SSA）不属于合法的全等判定依据，做题时要准确识别对应边、对应角和判定定理的匹配关系，避免混淆错用。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确已知条件：△ABC和△A'B'C'中已有一组对应边AB=A'B'、一组对应角∠B=∠B'，需找出补充后仍无法保证两三角形全等的条件。首先回忆三角形全等的判定定理：SAS、ASA、AAS、SSS，注意边边角（SSA）不能作为全等判定依据。接下来逐个将选项代入验证，判断是否符合合法的全等判定定理即可。
【解析】
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=A'B'，∠B=∠B'，逐一分析选项：
1. 若补充选项A：$BC=B'C'$，此时两边及其夹角对应相等，满足SAS（边角边）全等判定定理，可证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，不符合题意；
2. 若补充选项B：$∠A=∠A'$，此时两角及其夹边对应相等，满足ASA（角边角）全等判定定理，可证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，不符合题意；
3. 若补充选项C：$AC=A'C'$，此时为两边及其中一边的对角对应相等（即SSA，边边角），该条件不能判定三角形全等，因此不一定能保证两三角形全等，符合题意；
4. 若补充选项D：$∠C=∠C'$，此时两角及其中一角的对边对应相等，满足AAS（角角边）全等判定定理，可证$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，不符合题意。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形全等的判定
【点评】
本题核心考查对三角形全等判定定理的理解与运用，需特别注意边边角（SSA）不属于合法的全等判定依据，做题时要准确识别对应边、对应角和判定定理的匹配关系，避免混淆错用。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示，在$△ ABC$中，$∠ BAC$，$∠ ABC$，$∠ ACB$的三等分线相交于$D$，$E$，$F$（其中$∠ CAD = 2∠ BAD$，$∠ ABE = 2∠ CBE$，$∠ BCF = 2∠ ACF$），且$△ DFE$的三个内角分别为$∠ DFE = 54°$、$∠ FDE = 60°$、$∠ FED = 66°$，则$∠ BAC =$ （
A.$54°$
B.$60°$
C.$66°$
D.$48°$
D
）A.$54°$
B.$60°$
C.$66°$
D.$48°$
答案
12. D
解析
【分析】
首先根据角三等分线的定义，可将△ABC的三个内角分别拆分为3等份，我们设每一小份的角度分别为x、y、z，先利用△ABC的内角和为180°得到x+y+z=60°。再观察图形可知，△DFE的每个内角都与相邻的△ADB、△BEC、△AFC的内角互为邻补角，和为180°，据此可列出关于x、y、z的方程，联立求解得到x的值后，即可求出∠BAC=3x的度数。
【解析】
设∠BAD=x，∠CBE=y，∠ACF=z，根据三等分线的定义可得：
∠BAC=3x，∠ABC=3y，∠ACB=3z。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$3x+3y+3z=180°$，化简得$x+y+z=60°$ ①。
∵ ∠ADB与∠FDE互为邻补角，
∴ $∠ ADB=180°-∠ FDE=180°-60°=120°$。
在△ABD中，$∠ ADB + ∠ BAD + ∠ ABD = 180°$，其中$∠ ABD=2y$，代入得：
$120° +x +2y=180°$，化简得$x+2y=60°$ ②。
同理，∠BEC与∠FED互为邻补角，$∠ BEC=180°-66°=114°$。
在△BEC中，$∠ BEC + ∠ CBE + ∠ BCE=180°$，其中$∠ BCE=2z$，代入得：
$114° + y +2z=180°$，化简得$y+2z=66°$ ③。
将②变形为$x=60°-2y$，代入①得：
$60°-2y + y + z=60°$，解得$z=y$。
把$z=y$代入③得：$y+2y=66°$，解得$y=22°$，则$z=22°$。
将$y=22°$代入②得：$x + 2×22°=60°$，解得$x=16°$。
∴ $∠ BAC=3x=3×16°=48°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，角三等分线定义，邻补角性质
【点评】
本题结合角的等分线和三角形内角和定理考查几何计算，解题核心是合理设未知数，找到角之间的数量关系建立方程，体现了几何中的方程思想，需要学生具备一定的图形观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
首先根据角三等分线的定义，可将△ABC的三个内角分别拆分为3等份，我们设每一小份的角度分别为x、y、z，先利用△ABC的内角和为180°得到x+y+z=60°。再观察图形可知，△DFE的每个内角都与相邻的△ADB、△BEC、△AFC的内角互为邻补角，和为180°，据此可列出关于x、y、z的方程，联立求解得到x的值后，即可求出∠BAC=3x的度数。
【解析】
设∠BAD=x，∠CBE=y，∠ACF=z，根据三等分线的定义可得：
∠BAC=3x，∠ABC=3y，∠ACB=3z。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
$3x+3y+3z=180°$，化简得$x+y+z=60°$ ①。
∵ ∠ADB与∠FDE互为邻补角，
∴ $∠ ADB=180°-∠ FDE=180°-60°=120°$。
在△ABD中，$∠ ADB + ∠ BAD + ∠ ABD = 180°$，其中$∠ ABD=2y$，代入得：
$120° +x +2y=180°$，化简得$x+2y=60°$ ②。
同理，∠BEC与∠FED互为邻补角，$∠ BEC=180°-66°=114°$。
在△BEC中，$∠ BEC + ∠ CBE + ∠ BCE=180°$，其中$∠ BCE=2z$，代入得：
$114° + y +2z=180°$，化简得$y+2z=66°$ ③。
将②变形为$x=60°-2y$，代入①得：
$60°-2y + y + z=60°$，解得$z=y$。
把$z=y$代入③得：$y+2y=66°$，解得$y=22°$，则$z=22°$。
将$y=22°$代入②得：$x + 2×22°=60°$，解得$x=16°$。
∴ $∠ BAC=3x=3×16°=48°$。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理，角三等分线定义，邻补角性质
【点评】
本题结合角的等分线和三角形内角和定理考查几何计算，解题核心是合理设未知数，找到角之间的数量关系建立方程，体现了几何中的方程思想，需要学生具备一定的图形观察能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
